数理统计课后答案第三章.pdfVIP

1 习题三习题三 3.1 3.1 设 的概率密度为 = 00 0e 4 )( 2 2 3 2 x x a x x a x 其中，0a 是未知参数，),( 21n XXXL 是 的样本，求 a 的极大似然估计。 解 解 似然函数 = = n i i xL 1 )( = = = 其他0 ),2, 1(0e 4 1 3 2 2 2 nix a x i n i a x i i L 5 = = = 其他0 0mine 4 1 2 2 1 23 1 2 i i x a nn n i i n x a x n i i 。 当 0L 时，对 L 取对数，得到 = += n i i n i i x a n anxnL 1 2 2 1 1 ln 2 ln3ln24lnln 。 解方程 = a L d lnd 0 23 1 2 3 =+ = n i i x aa n ，得到 = = n i i x n a 1 2 3 2 ，因为0a，负根舍 去，得到极大似然估计 = = n i i X n a 1 2 3 2 2 3 2 X= 。 3.8 3.8 设总体服从对数正态分布，概率密度为 = 00 0 2 )(ln exp 2 1 )( 2 2 x x x x x ， 其中， 2 , 都未知，),( 21n XXXL 是 的样本，求 和 2 的极大似然估计。 解解 似然函数 = = = = 其他0 ), 2, 1(0 2 )(ln exp 2 1 )( 1 2 2 1 nix x x xL i n i i i n i i L = = 其他 ）（ 0 0min)(ln 2 1 exp 1 2 1 2 2 1 2 i i n i i n i i n n xx x ， 取对数 = = n i i n i i xxn n L 1 2 2 1 )(ln 2 1 lnln)2ln( 2 ln ， 求导，列方程 =+= = = = = )2(0)(ln 1ln ) 1 (0)ln( 1 )(ln 2 2ln 1 2 3 1 2 1 2 n i i n i i n i i x nL nxx L 从（1）解得 xx n n i i lnln 1 1 = = ，代入（2）可解得 = = n i i xx n 1 22 )ln(ln 1 ， 6 所以，和 2 的极大似然估计为 Xln = 和 = = n i i XX n 1 22 )ln(ln 1 。 3.9 3.9 设总体 服从 1, 1+ 上的均匀分布，概率密度为 + = 其他0 1121 )( x x 其中， 是未知参数，),( 21n XXXL 是 的样本，求 的极大似然估计。 解 解 似然函数 = = n i i xL 1 )( =+ = = 其他0 ,2, 1,11 2 1 1 nixi n i L + = 其他0 1maxmin1 2 1 i i i i n xx + = 其他0 1min1max 2 1 i i i i n xx 。 可以看出，当且仅当 1min, 1max+ i i i i xx 时，似然函数L取到最大值 n 2 1 ， 其他情况下0=L。所以，根据极大似然估计的定义，区间 1min, 1max+ i i i i XX 中 的任何一个值都是的极大似然估计，也就是有 1min, 1max+ i i i i XX 。 3.10 3.10 设总体 的概率分布为 0 1 2 kP= 31 2 其中，（ 3 1 0n）的样本 。 （1）求 的极大似然估计 ； （2）求总体 的分布函数 )(xF ； （3）求 的分布函数 )( xF ； （4） 是不是 的无偏估计 ？ （5）求 的方差 ) (D 。 解解 （1）似然函数 = = n i i xL 1 )( = = = 其他0 ),2, 1( 1 2 nix x i n i i L = = 其他0 min 1 2 i i n i i n x x 。 当 0L 时，对 L 取对数，得到 = = n i i xnL 1 ln2lnln 。 求导，列方程 = d lndL 0= n ，这一方程无解，说明不能通过解方程求出的极大似 然估计。 从似然函数的表达式 L = = n i i n x 1 2 可以看出，越大，L就越大，但此式成立的条件 是 i i xmin，在其它情况下有0=L，所以，只有当 i i xmin= 时，似然函数L才能 11 取到最大值。因此，根据极大似然估计的定义， 的极大似然估计是 i i Xmin =。 （2）的分布函数 = x ttxFd)()( =,1 21 xXxXxXP n =L 1 21 xXPxXPxXP n =L1xPxPxP=L 1 11 1xPxPxP=L n xF)(1 1= = = = x x xx n n n n 0)01 (1 1111 。 （4） i i Xmin = 的概率密度 )( x x xF d )(d = = = =+ x x x n x n n n n 00 1 1 ， 的数学期望 ) (E + =xxxd)( + + = x x n x n n d 1 + = x x n n n d 1 1 = n n ， 所以， 不是 的无偏估计。 （5）因为 2 的数学期望 ) ( 2 E + =xxxd)( 2 & & + + = x x n x n n d 1 2 + = x x n n n d 1 1 2 2 = n n ， 所以， 的方差 22 ) () () (EED= 2 2 = n n 2 1 n n 2 2 ) 1)(2( = nn n 。 12 3.17 3.17 设随机地从一批钉子中抽取 8 枚，测得它们的长度（单位：cm）为 2.14，2.10，2.13，2.15，2.12，2.16，2.13，2.11。 设钉子的长度),( 2 N ，求长度的平均值的置信水平为 95% 的置信区间。 考虑两种情况： （1）已知01. 0= cm ； （2）未知。 解解 8=n， X13. 2= ，02. 0* =S 。 （1）已知01. 0=。对95. 01=，975. 021=，查) 1 , 0(N分布的分位数表，可 得9600. 1 975. 0 2 1 = uu 。 0069. 0 8 01. 0 9600. 1 0 2 1 = n u ， n uX 2 1 =1231. 20069. 013. 2= ， n uX 2 1 +=1369. 20069. 013. 2=+= 。 01. 0=时，的置信水平为 95% 的置信区间为 1369. 2,1231. 2。 （2） 未知。对95. 01=，975. 021=，7181=n，查 t 分布的分位 数表可得 3646. 2)7() 1( 975. 0 2 1 = tnt 。 0167. 0 8 02. 0 3646. 2 * ) 1( 2 1 = n S nt ， 1133. 20167. 013. 2 * ) 1( 2 1 = n S ntX ， 1467. 20167. 013. 2 * ) 1( 2 1 =+=+= n S ntX 。 未知时，的置信水平为 95% 的置信区间为 1467. 2,1133. 2 。 3.18 3.18 对铝的比重（单位：g/cm 3 ）进行 16 次测量，测得样本均值705. 2=X,样本标准差 029. 0=S 。设样本来自正态总体 ),( 2 N ，求： （1）总体均值 的置信水平为 95% 的置信区间 ； （2）总体标准差 的置信水平为 95% 的置信区间。 13 解解 16=n，705. 2=X，029. 0=S，029951. 0029. 0 15 16 1 *= =S n n S。 （1） 对95. 01=，查 t 分布表可得 1314. 2)15() 1( 975. 0 2 1 = tnt 。 016. 0 16 029951. 0 1314. 2 * ) 1( 2 1 = n S nt ， 689. 2016. 0705. 2 * ) 1( 2 1 = n S ntX ， 721. 2016. 0705. 2 * ) 1( 2 1 =+=+= n S ntX 。 的水平为 95% 的置信区间为721. 2,689. 2 。 （2）013456. 0029951. 0) 116(*) 1( 22 =Sn 。 对95. 01=，查 2 分布表，可得 262. 6)15() 1( 2 025. 0 2 2 =n ，488.27)15() 1( 2 975. 0 2 2 1 = n 。 0004895. 0 488.27 013456. 0 ) 1( *) 1( 2 2 1 2 = = n Sn ， 0021488. 0 262. 6 013456. 0 ) 1( *) 1( 2 2 2 = = n Sn 。 0221. 00004895. 0= ，0464. 00021488. 0= 。 的水平为 95% 的置信区间为0464. 0,0221. 0 。 3.19 3.19 从自动车床生产的螺丝钉中抽取9只，测得质量（单位：g）如下： 53. 5,49. 5,44. 5,21. 5,58. 5,24. 5,40. 5,29. 5,42. 5 。 设螺丝钉的质量),( 2 N ，求： （1）的置信水平为 95% 的置信区间 ； （2）的置信水平为 95% 的置信区间。 解 解 9=n，4 . 5=X，12903. 0* =S。 （1） 对95. 01=，查 t 分布表可得 3060. 2)8() 1( 975. 0 2 1 = tnt 。 14 099. 0 9 12903. 0 3060. 2 * ) 1( 2 1 = n S nt ， 301. 5099. 04 . 5 * ) 1( 2 1 = n S ntX ， 499. 5099. 04 . 5 * ) 1( 2 1 =+=+= n S ntX 。 的水平为 95% 的置信区间为499. 5,301. 5 。 （2）1332. 012903. 0) 19(*) 1( 22 =Sn 。 对95. 01=，查 2 分布表，可得 180. 2)8() 1( 2 025. 0 2 2 =n ，535.17)8() 1( 2 975. 0 2 2 1 = n 。 007596. 0 535.17 1332. 0 ) 1( *) 1( 2 2 1 2 = = n Sn ， 06110. 0 180. 2 1332. 0 ) 1( *) 1( 2 2 2 = = n Sn 。 08716. 0007596. 0= ，2472. 006110. 0= 。 的水平为 95% 的置信区间为2472. 0,08716. 0 。 3.20 3.20 某种炮弹的炮口速度服从正态分布),( 2 N，随机地取 9 发炮弹作试验，测得炮口 速度的修正样本标准差 11* =S（m/s） ，求 2 和 的置信水平为 95% 的置信区间。 解 解 9=n，96811) 19(*) 1( 22 =Sn。 对95. 01=，查 2 分布表，可得 180. 2)8() 1( 2 025. 0 2 2 =n ，535.17)8() 1( 2 975. 0 2 2 1 = n 。 ) 1( *) 1( 2 2 1 2 = n Sn 2 .55 535.17 968 = ， ) 1( *) 1( 2 2 2 = n Sn 444 180. 2 968 = 。 43. 72 .55= ，1 .21444 = 。 2 的置信区间为 444, 2 .55 ； 的置信区间为 1 .21,43. 7 。 15 3.21 3.21 设总体)4,(N，样本均值为X，要使得总体均值的置信水平为95. 0的置信 区间为 560. 0, 056. 0+XX，样本容量（样本观测次数）n 必须是多少？ 解解 因为在已知 0 = 的情况下， 的水平为 1 的置信区间为 , 0 2 1 0 2 1 n uX n uX +， 已知有 24 0 =。对95. 01=，查) 1 ,0(N分布表，可得 9600. 1 975. 0 2 1 = uu 。 现在，要有 560. 0 0 2 1 = n u ，即要有 2 0 2 1 560. 0 = un497 560. 0 2 9600. 1 2 2 = =。 3.22 3.22 设用原料 A 和原料 B 生产的两种电子管的使用寿命（单位：h）分别为 ),( 2 11 N 和 ),( 2 22 N ，其中 1 ， 2 都未知，但已知 21 =。现对这 两种电子管的使用寿命进行测试，测得结果如下： 原料A 1460，1550，1640，1600，1620，1660，1740，1820 原料B 1580，1640，1750，1640，1700 求 21 的置信水平为 0.95 的置信区间。 解 解 8=m，25.1636=X，6 .12169*2= x S，5=n，1662=Y，0 .4220*2= y S。 3267.96 258 0 .422046 .121697 2 *) 1(*) 1( 22 = + + = + + = nm SnSm S yx w 。 对05. 0=，查 t 分布表，可得 2010. 2)11()2( 975. 0 2 1 =+ tnmt 。 nm Snmt w 11 )2( 2 1 + 87.120 5 1 8 1 3267.962010. 2=+=， = nm StYX w 11 2 1 + 62.14687.120166225.1636=， = nm StYX w 11 2 1 + 12.9587.120166225.1636=+=。 21 的水平为 95% 的置信区间为12.95,62.146 。 16 3.23 3.23 甲、乙两人相互独立地对一种聚合物的含氯量用相同的方法各作 10 次测定，测定值 的样本方差分别为 5419. 0 2 = x S 和 6050. 0 2 = y S，设测定值服从正态分布，求他们测定 值的方差之比的置信水平为 95% 的置信区间。 解 解 10=m，5419. 0 2 = x S，602111. 0 1 * 22 = = xx S m m S ； 10=n，6050. 0 2 = y S，672222. 0 1 * 22 = = yy S n n S 。 22 * yx SS8957. 0 672222. 0 602111. 0 =。 对05. 0=，查F分布表，可得 03. 4)9 , 9() 1, 1( 975. 0 2 1 = FnmF ， 248. 0 03. 4 1 )9 , 9( 1 ) 1, 1( 1 ) 1, 1( 975. 0 2 1 2 = = FmnF nmF 。 ) 1, 1( * 2 1 22 = nmF SS yx 222. 0 03. 4 8957. 0 =， ) 1, 1( * 2 22 = nmF SS yx 61. 3 248. 0 8957. 0 = 。 2 2 2 1 的水平为 95% 的置信区间为 61. 3,222. 0 。 3.24 3.24 设甲、 乙两种灯泡的使用寿命(单位： 小时)分别为),( 2 11 N和),( 2 22 N。 从甲种灯泡中任取 5 只，测得样本均值1000=X，修正样本标准差20* = x S；从乙种灯 泡中任取 7 只，测得样本均值980=Y，修正样本标准差21* = y S。 （1）假定已知 21 =，求 21 的置信水平为 95 的置信区间； （2）求 21 的置信水平为 95 的置信区间。 解解 (1) 606.20 275 21) 17(20) 15( 2 *) 1(*) 1( 22 22 = + + = + + = nm SnSm S yx w 。 对05. 0=，查 t 分布表，可得 2281. 2)10()2( 975.