数值分析模拟试题XAUT15套.pdfVIP

模拟试题一 一、填空（每小题3分，共30分） 1. 设是真值的近似值，则有 位有效数字。 2. 牛顿柯特斯求积公式的系数和 。 3 已知 。 4 若 是三次样条函数，则a=_, b=_, c=_. 5 以n + 1个 整 数 点k ( k =0,1,2,n) 为 节 点 的 Lagrange 插 值 基 函 数 为 ( k =0,1,2,n)，则 6 序列满足递推关系：，若有误差, 这个计算过程_稳定. 7 若则 8 数值求积公式的代数精度是_. 9当很大时，为防止损失有效数字，应该使 . 10已知A ，x，则 . 二、(10分) 用最小二乘法确定一条经过原点的二次曲线，使之拟合下列 数据 x 0 1.0 2.0 3.0 y 0.2 0.5 1.0 1.2 三、(10分) 用迭代公式 求解问取什么实数可使迭代收敛，什么可使迭代收敛最快。 四、（10）设四阶连续可导，试建立如下 并推导该公式的截断误差。 五 （10）设，试求的一次最佳平方逼近多项式，并估计误差。 六（10分）给定方程 分析该方程存在几个根，并构造求近似根的迭代公式，证明所用的 迭代公式是收敛的。 七、（10分）对于积分，若取节点试推导一个插值型求积公式，并用这 个公式求的近似值。 八、（10分）用预估校正法求初值问题 在x=0.2处的数值解，步长取h=0.1（要求保留小数点后4位）。 模拟试题二 一、填空题 1、要使的相对误差不超过0.1%，应取 位有效数字。 2、设，则差商 。 3、求积分的近似值，其辛卜生公式为 。 4、已知，则 。 5、求解方程的Newton迭代公式为 。 、能用高斯消元法求解的充要条件是_。 7、六点高斯求积公式，其代数精度为 。 8、方阵A的谱半径是指 。 9、要使求积公式具有2次代数精确度，则 ， 。 10、牛顿柯特斯求积公式的系数和 。 二、用复化梯形公式计算积分，应将区间0,1多少等分，才可以使其 截断误差不超过。 三、利用改进的尤拉方法求解初值问题： 。 在x=0.4处的数值解，其中步长（要求保留小数点后4位）。 四、设，求解方程组，求雅可比迭代法与高 斯塞德尔迭代法收敛的充要条件。 五、证明如下迭代过程收敛 六、求上的一次最佳平方逼近多项式及平方误差。 七、给定方程 （1）分析该方程存在几个根； （2）用迭代法求出这些根，只计算到； （3）证明所用的迭代格式是收敛的。 八、已知由数据和构造出的三次插值多项式的的系数是6，试确定数据。 模拟试题三 1、 填空（每小题3分，共30分） (1) 设，则= _。 (2) 对于方程组, Jacobi迭代法的迭代矩=_。 (3) 的相对误差约是的相对误差的_倍。 (4) 求方程根的牛顿迭代格式是_。. (5) 设，则 。 (6) 设矩阵G的特征值是, 则矩阵G的谱半径 = 。 (7) 已知, 则条件数_。 (8) 为了提高数值计算精度, 当正数充分大时, 应将改写 为 _。. (9) 个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为_次。 (10) 求解常微分方程处值问题 的改进Euler公式为 。 二、(10分) 定义内积 试在中寻求对于的最佳平方逼近元素. 三、(10分) 试用Simpson公式计算积分 的近似值, 并估计截断误差. 四、（10分）给定线性方程组Axb，其中A ，证明雅 可比迭代法发散，而高斯赛德尔迭代法收敛。 五、（10分）给定求积公式 试决定使它的代数精度尽可能得高。 六、（10分）求解矛盾方程组 七、（10分）给定方程 （1）分析该方程存在几个根，找出每个根所在的区间； （2）构造求近似根的迭代公式，并证明所用的迭代公式是收敛的。 八、（10分）用预估一校正法求初值问题 在x=0.2处的数值解，步长取h=0.1（要求保留小数点后4位）。 模拟试题四 2、 填空（每小题3分，共30分） 1. 已知，则其近似数具有 位有 效数字，且近似数的绝对误差限为 。 2. 设，则差商 。 3. 求积分的近似值，其辛卜生公式为 。 4. 设有矩阵，则 。 5. 求解方程的Newton迭代公式为 。 6. 能用高斯消元法求解的充要条件是_。 7. 6点高斯求积公式，其代数精度为 。 8. 方程组 中， ，则求解方程组的Jacobi迭代与 Gauss-Seidel迭代均收敛的a的范围是_。 9数值求积公式的代数精度是_。 10牛顿柯特斯求积公式的系数和 。 二、(10分) 试确定常数A，B，C和 ，使得数值积分公式 有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它 是否为Gauss型的？ 三、(10分) 利用改进的尤拉方法求解初值问题，其中步长 。 四、（10分）讨论用Jacobi和Gauss-Seidel迭代法求解方程组Ax=b的收 敛性，如果收敛，比较哪种方法收敛快。其中 . 五、（10分）证明如下迭代过程收敛 六、（10分）求上的一次最佳平方逼近多项式及平方误差。 七、（10分）给定方程。 （1） 分析该方程存在几个根； （2） 用迭代法求出这些根，只计算到； （3） 证明所试用的格式是收敛的。 。 八、（10分）在求非线性f(x)=0根的近似值时，论证简单迭代法一般为 线性收敛，而牛顿迭代法为平方收敛 模拟试题五 一 填空 1近似数x*=0.4231关于真值x=0.4229有 位有效数字. 2设，则差商 3求积分的近似值，其复化梯形公式为 45点高斯求积公式，其代数精度为 5设f(x)可微，则求方程x2=f(x)根的近似值的牛顿迭代格式为 6利用二分法求在上根的近似值，误差限为 7方阵的谱半径是指 8矩阵的条件数是指 9能用高斯消元法求解的充要条件是 10设，则 二 给定线性方程组 （1） 用列主元消元法求解所给线性方程组。 （2） 写出GaussSeidel迭代格式，并分析该迭代格式是否收 敛。 三 设试在中求在区间上的最佳平方逼近元。 四 对于积分，若取节点试推导一个插值型求积公式，并用这个公式求 的值。 五 给定方程 （1）分析该方程存在几个根，找出每个根所在的区间； （2）构造求近似根的迭代公式，并证明所用的迭代公式是收 敛的。 六 已知观测数据（1，-5），（2，0），（4，5），（5，6），试用最 小二乘法求形如的经验公式。（10分） 七 已知初值问题有精确解，求证：用欧拉法以为步长所得近似解的整 体截断误差为 八 给定线性方程组，其中，用迭代公式求解，问取什么实数可使迭代 收敛，什么可使迭代收敛最快。 模拟试题六 一、填空 1. 已知准确值x*与其有t位有效数字的近似值 的绝对误差x*x 。 2. 过(0，1)，(2，4)，(3，1)点的分段线性插值函数P(x)= 。 3. 解方程f(x)=0的简单迭代法的迭代函数(x)满足在有根区间 内 ，则在有根区间内任意取一点作为初始值，迭代解都 收敛。 4. 求积公式的代数精度为_。 5. 解常微分方程初值问题的改进欧拉法预报-校正公式是 预报值：，校正值：yk+1= 。 6.记 计算 的复化梯形公式为_。 7.设，则。 8.,当满足条件_时,可作分解, 当满足条件 _时,必有分解式,其中是对角元素为正的下三角阵。 9三次样条函数S(x)满足：S(x)在区间a,b内二阶连续可 导，S(xk)=yk(已知)， k=0,1,2,n，且满足S(x)在每个子区间xk, xk+1上是 。 10已知y=f(x)的均差, , fx4, x3, x2=14， fx0, x3, x2=8 ,.那么均差fx4, x2, x0= 。 二、求上的一次最佳平方逼近多项式及平方误差。 三、 考虑求解方程的迭代公式 （1）试证：对任意初始值，该方法收敛。 （2）写出用牛顿迭代法求解此方程的迭代公式。 四、若用梯形公式求 的近似解，其中， 试证明： （1）（其中为步长）。 （2）对固定的，当时，收敛于准确解。 五、对下述方程组直接应用高斯塞德尔迭代法求解是否收敛？如 果不收敛试设法给出收敛的迭代公式，并简述理由。 六、如果，证明用梯形公式计算积分所得结果比准确值大，并说明其几 何意义。 七、 设在上具有三阶连续导数，且 ，是区间的中点，是经过点 的二次多项式。试证明对任意 有 ，其中。 八、作一个三次多项式使满足 。 模拟试题七 一、填空 1.设一近似数x*=2.5231具有5位有效数字，则其相对误差限是 . 2.求的近似值，其牛顿迭代格式是 . 3.设有函数表如下 x x0 x1 x2 x3 x4 y y0 y1 y2 y3 y4 y， m0 m1 m2 m3 m4 则可利用 插值，其插值多项式的次方为 . 4.设f(x)=3x3+2x2+1,则差商f 0,1,2,3,4= . 5.设A ，则 . 6.具有三个节点的高斯型求积公式其代数精度是 . 7.非奇异矩阵A的条件数CondA ，A是病态是指 . 8.微分方程数值解的几何意义是指 . 二、给定线性方程组Axb，其中A ，证明雅可比迭代法发散， 而高斯赛德尔迭代法收敛。 三、已知观测数值如下 x 1 2 4 5 y -5 0 5 6 试用最小二乘法求形如的经验公式。 四、利用矩阵的三角分解法，解方程组 五 给定方程 （1）分析该方程存在几个根，找出每个根所在的区间； （2）构造求近似根的迭代公式，并证明所用的迭代公式是收 敛的。 六 求解矛盾方程组 七 已知初值问题有精确解，求证：用欧拉法以为步长所得近似解的整 体截断误差为 八 给定线性方程组，其中，用迭代公式求解，问取什么实数可使迭代 收敛， 模拟试题八 一、填空 (1) 求解方程的Newton迭代公式为 ，割线公式 为 . (2) 设有矩阵，则 .， .。 (3) 设有数据 1 1 2 0 3 2 则其2次Lagrange插值多项式为 .，2次拟合多 项式为 .。 （4）设，则用梯形公式所得近似值为 （5）求解常微分方程处值问题 的改进Euler公式为 ，它是 阶的。 （6）设，则 。 二、给定数据 1.30 1.32 1.34 1.36 1.38 3.602010 3.90330 4.25560 4.67344 5.17744 用Simpson公式计算的近似值，并估计误差。 三、给定线性方程组 （1） 用列主元三角分解法求解所给线性方程组。 （2） 写出GaussSeidel迭代格式，并分析该迭代格式是否收 敛。 四、给定数据 0 2 3 5 4 1 1 9 试求的3次Newton插值多项式，并写出插值余项。 五、给定方程。 （4） 分析该方程存在几个根； （5） 用迭代法求出这些根，精确至四位有效数； （6） 证明所试用的格式是收敛的。 六、设试在中求在区间上的最佳平方逼近元。 七、初值问题 的解为。若是用改进欧拉公式得到的在处的近似值，证明 八、设有个正的实的特征值试证当时迭代公式收敛。 模拟试题九 一、填空题( 每题6分，共30分) 1、辛普生求积公式具有 次代数精度，其余项表达式为 。 2、按四舍五入原则数2.7182818与8.000033具有五位有效数字的近似值 分别为 和 。 3、设是区间上的一组n次插值基函数。则插值型求积公式的代数精度为 ；插值型求积公式中求积系数 ；且 。 4、则。 5、设是n次拉格朗日插值多项式的插值基函数，则 ； 。 二、计算题(每题9分,共计72分,注意写出详细清晰的步骤) 1、 用二次拉格朗日插值多项式计算。插值节点和相应的函数值如下 表。 0 1 2 0.0 0.30 0.40 0.0 0.2955 0.3894 2、已知函数的相关数据 0 1 2 3 4 0 1 4 3 6 0 7 8 5 14 由牛顿插值公式求四次插值多项式。（注：要求给出差商表） 3、利用尤拉公式求解初值问题，其中步长 。 4、确定求积公式 。 中待定参数的值，使求积公式的代数精度尽量高；并指出此时求积公式 的代数精度。 5、已知一组试验数据如下 0 1 2 3 4 1.1 1.9 3.1 3.9 4.9 求它的拟合曲线（直线：）。 6、用二分法求方程在区间内的根时，若要求精确到小数点后二位，(1) 需要二分几次；(2)给出满足要求的近似根。 7、用列主元消去法解线性方程组 四、简述题（本题7分） 叙述在数值运算中，误差分析的方法与原则是什么？ 模拟试题十 一、填空题（20分）： 1. 若a=2.42315是2.42247的近似值，则a有( )位有效数字. 2. 是以 为插值节点的Lagrange插值基函数，则 ( ). 3. 设f (x)可微，则求方程 的牛顿迭代格式是( ). 4. 已知f (0)1，f (3)2.4，f (4)5.2，则过这三点的二次插 值基函数l1(x)=( )， =( ),插值多项式P2(x)=( ), 用 三点式求得 ( ). 5. 解线性方程组Ax=b (其中A非奇异，b不为0) 的迭代格式 中的B称为( ). 给定方程组 ，解此方程组的雅可比迭代格式为( )。 6. 数值求解初值问题的二阶龙格库塔公式的局部截断误差为( )。 二、判断题（共5分） 1. 若 ，则 在 内一定有根。 ( ) 2. 区间a,b上的三次样条函数是一个次数不超过三次的多项式。 ( ) 3. 若方阵A的谱半径 ，则解方程组Ax=b 的Jacobi迭代法收敛。 ( ) 4. 若f (x)与g (x) 都是n次多项式，且在n+1个互异点 上 ，则 。 ( ) 5. 用 近似表示 产生舍入误差。 ( ) 三、(20分) 1. 已知一元方程 。 1）求方程的一个含正根的区间； 2）给出在有根区间收敛的简单迭代法公式(判断收敛性)； 3）给出在有根区间的Newton迭代法公式。 2. 确定求积公式 的待定参数，使其代数精度尽量高，并确定其代数精度. 四、(25分) 1. 设初值问题 . (1) 写出用Euler方法、步长h=0.1解上述初值问题数值解的公 式； (2) 写出用改进的Euler法（梯形法）、步长h=0.2解上述初值问 题数值解的公式，并求解 ，保留两位小数。 2. 取节点 ，求函数 在区间 上的二次插值多项式 ，并估计误差。 3. 已知数据如下： xi1.01.41.82.22.6 yi0.9310.4730.2970.2240.168 求形如 拟合函数。 五、(10分)讨论用Jacobi和Gauss-Seidel迭代法求解方程组Ax=b的收敛 性，如果收敛，比较哪种方法收敛快。其中 . 模拟试题十一 一、填空题 (每小题4分, 共20分) 1、方程组 中， ，则求解方程组的Jacobi迭代与Gauss-Seidel迭代均收敛的a的范围是 _。 2、 ，则A的LDLT分解中， 。 3、 ，则 _， _. 4、已知 ，则用复合梯形公式计算求得 ，用三点式求得 _. 5、 ，则 _，三点高斯求积公式 _. 二、单项选择题（每小题2分, 共10分） 1、 在近似计算中，要注意以下原则： （1）计算速度快 （2）避免大数“吃掉”小数， （3）防止溢出 （4）减少计算次数 列主元消元法解方程组 是（ ）. A(1)和(2) B.(2)和(3) C. (3)和(4) D. (4)和(1) 2、 已知 ，在0, 1内 ， 有一位整数，用复合梯形求积公式计算要保证有3位有效数字，至少应 将0, 1（ ）等分。 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3、 求解常微分方程的二阶R-K方法的局部截断误差为( ). A. B. C. D. 4、 是给定的互异节点， 是以它们为插值节点的插值多项式，则 是一个( ). A. n+1次多项式 B. n次多项式 C. 次数小于n的多项式 D. 次数不超过n的多项式 5、 求解方程 在(1, 2)内根的下列迭代法 (1) (2) (3) (4) 中，收敛的迭代法是（ ）. A(1)和(2) B. (2)和(3) C. (3)和(4) D. (4)和(1) 三、是非题（每小题2分，共10分) 1、 已知观察值 ( )，用最小二乘法求得的拟合多项式其次数为小于n。 （ ） 2、 求解一阶常微分方程初值问题的R-K方法为单步法。 （ ） 3、 是超定方程组 的最小二乘解的充分必要条件是 是方程组 的解。 ( ). 4、 一个近似数的有效数位越多，误差限越小。 ( ) 5、 舍入误差是模型准确值与用数值方法求得的准确值产生的误差。 ( ) 四、计算题（ (每小题15分，共30分) 1、 已知方程组 . (1) 证明系数矩阵正定； (2) 用平方根法 (LLT分解)解此方程组。 2、 已知 -1245 -2457 (1) 用拉格朗日插值法求 的三次插值多项式 ； (2) 求x， 使 =0。 五、（15分） 设有常微分方程的初值问题 试用Taylor展开原理构造形如 的方法，使具有二精度，并推导其局部截断误差主项。 六、（15分） 已知方程组 ，其中 （1） 试讨论用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解此方程组的收 敛性。 （2） 若有迭代公式 ，试确定一个 的取值范围，在这个范围内任取一个 值均能使该迭代公式收敛。 模拟试题十二 一、填空题 （20分） 1).设 是真值 的近似值，则 有_位有效数字。 2) _， _。 3).求方程 根的牛顿迭代格式是_。 4).已知 _ 二、计算题 1).（12分）已知单调连续函数 的如下数据： -0.11 0.00 1.50 1.80 -1.23 -0.10 1.17 1.58 求若用插值法计算， 约为多少时 （小数点后保留5位）。 2).（12分）用矩阵三角分解法解线性方程组 3).（12分）选取常数 。 4).（12分） 。 三、证明题 1).（10分）设 ，若取 ， 作节点，证明Lagrange插值余项有估计式 。 2).（10分）设 ，初等矩阵 非奇异，且逆矩阵可表示为 。 四、程序题（12分） 试用MATLAB语言写出(Jacobi)迭代公式求解线性方程组Ax=b的算 法。 要求：Input 方程个数n,矩阵A的元素和b,初始向量 ，Output近似解和迭代次数。 模拟试题十三 1、 填空（共30分，每空3分） 1、 ，则A的谱半径 -，A的 - 2、设 则 -和 - 3、向量 是不是一种向量范数？(填是或不是) - 是不是一种向量范数？(填是或不是) - 4、设 是区间0，1，上权函数为 的最高项系数为1的正交多项式族，其中 ，则 -， - 5、设 ，当 -时，必有分解式 ，其中L为下三角阵，当其对角线元素 足条件-时，这种分解是唯一的。 二、（14分）设 （1）试求 在 上的三次Hermite插值多项式H（x）使满足 H（x）以升幂形式给出。 （2）写出余项 的表达式 三、（14分）设有解方程 的迭代法 （1） 证明 均有 （ 为方程的根）； （2） 取 用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过 ，列出各次迭代值； （3）此迭代的收敛阶是多少，证明你的结论。 四、(16分) 试确定常数A，B，C和 ，使得数值积分公式 有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它 是否为Gauss型的？ 五、计算题（ (每小题10分，共30分) 1、 试求 使求积公式 的代数精度尽量高，并求其代数精度。 2、 取步长 ，用梯形法解常微分方程初值问题 3、 已知 -2-1012 42135 求 的形如 的二次拟合曲线，并求 的近似值。 六、（8分） 方程组 ，其中 ，A是对称的且非奇异。设A有误差 ，则原方程组变化为 ，其中 为解的误差向量，试证明 其中 和 分别为A的按模最大和最小的特征值。 模拟试题十四 一、填空题（15分）： 1、-43.578是舍入得到的近似值，它有 ( ) 位有效数字，相对误差限 为( )。 2、二分法求非线性方程 在区间(1,3)内的根时，二分9次后的误差限为( )。 3、f(1)1，f(3)3.6，f(4)5.2，则过这三点的二次插值多项式中x2 的系数为( )，插值基函数l1(x)=( )， 二次插值多项式P2(x)=( )。 1、 已知f (1)1，f (3)2，f (5)4，用复合梯形求积公式求 得 ( )。 2、 (xi,yi) i=1,2, ,15的线性拟合曲线 的正规方程组为( )。 3、 幂法的迭代公式为( )。 4、 已知f(1)1，f(3)2，则 ( )。 二、单项选择题：(5分) 1. 截断误差是 ( ) 产生的误差。 A. 只取有限位数 B. 模型准确值与用数值方法求得的准确值 C. 观察与测量 D. 数学模型准确值与实际值 2. 用x近似表示sinx所产生的误差是（ ）误差。 A. 模型 B. 观测 C.