概率论典型例题第2章.pdf

第二章 随机变量及其分布 例 1例 1设随机变量X的密度函数为( ) x，且()( )xx=。 是( )F xX的分 布函数，则对任意实数，有 a。 （A） 0 ()1( ) a Fa= x dx （B） 0 1 ()( ) 2 a Fax dx= （C） （）()(FaF a=)D()2 ( ) 1FaF a= 分析分析：利用分布函数、密度函数的性质，以及分布函数与密度函数的关系分布函数、密度函数的性质，以及分布函数与密度函数的关系 解决问题。 解解：()( )( )( ) xt aa a Fax dxt dtx dx = + + = = 令 ， 而( )1x dx + = ，所以 0 0 1( )( )( )( ) aa aa x dxx dxx dxx dx + =+ 0 2 ()2( ) a Fax=+ dx， 从而得 0 1 ()( ) 2 a Fax dx=，故应选B。 例 2例 2设 1 X和 2 X是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度 分别为 1( ) fx和 2( ) fx， 分布函数分别为和， 则下列说法正确的是 1( ) F x 2( ) Fx。 （A） 1( ) fx+ 2( ) fx必为某一随机变量的概率密度。 （B） 1( ) fx 2( ) fx必为某一随机变量的概率密度。 （C）+必为某一随机变量的分布函数。 1( ) F x 2( ) Fx （）必为某一随机变量的分布函数。 D 1( ) F x 2( ) Fx 分析分析：显然这是考察随机变量的概率密度以及分布函数的性质及其构成要 素 性质及其构成要 素。 解解：首先可否定选项A与C，因 1212 ( )( )( )( )21fxfx dxfx dxfx dx + +=+= 1 ， 12 ()()1 12FF+ + = + =。 对于选项B，若 1 1,21, ( ) 0, x fx 2P Y 二、设顾客在某银行窗口等待服务的时间X（分钟）服从参数为 1 5 的指数分 布，某顾客在窗口等待服务，若超过 10 分钟他就离开，他一个月要到银行 5 次， 以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布律，并求 。 （提示：） 1P Y (5, 10)YBP X 三、设测量从某地到某目标的距离时，带有的随机误差X具有分布密度 2 (20) 3200 1 ( ), 40 2 x f xex = 0.0001p=，故可使用泊松定理计算 ，即令2P X 0.1np=，有 (1),0 ! k k kn k n e P Xkppnp k C = .1， 从而 。 0.10.1 210110.10.0047P XP XP Xee = = = 注注：泊松定理说出了二项分布与泊松分布之间的近似关系。 注意在实际应 用中，一般当时，上述公式就有较好的近似程度。 而10,0.1np ! ke k 的值 可查泊松分布表可查泊松分布表，本例由于0.1np=，表中没有对应的值可查，所以只有通 过泊松分布的表达式直接求出。 例 11例 11设随机变量X和Y都服从正态分布，且它们不相关，则 。 (A)X与Y一定独立。 (B)服从二维正态分布。 (,)X Y 9 (C)X与Y未必独立。 ()DXY+服从一维正态分布。 分析分析：显然这是考察正态分布(一维或二维)性质的题目。 解解： 对于二维正态分布，(,)X YX与Y相互独立当且仅当X与Y不相关。 但 不知X与Y的联合分布是否为二维正态分布，因此不能判定X与Y是否独立， 比如，若(,的联合密度为 )X Y 2222 9292 ()( 163163 3 ( , ) 82 xxy yxxy y f x yee +) =+ ， 则有X与Y都服从正态分布，但是(0,1)NX与Y不独立。 若的联合密度为(,)X Y 22 2 1 ( , ) 2 xy f x ye + =，则X与都服从正态分布 ，且 Y (0,1)NX与Y相互独立。 综上分析，应选C。 注注：本例中，由题设不能确定X与Y的联合分布是否为二维正态分布，这正 验证了随机向量的联合分布与边缘分布之间的关系， 即由联合分布可确定边缘分 布，但由边缘分布却一般不能确定联合分布。 另外，选项还考察了正态分布 的一个性质，即若随机变量 D X和Y都服从正态分布，且它们相互独立，则XY+ 仍服从一维正态分布。 由于独立性未必满足，所以选项未必成立。 D 例 12例 12 若 2 ( ,)XN ， 而方程 2 4yyX0+=无实根的概率等于 1 2 ， 求。 分析分析： 本例由方程无实根的充要条件， 即可将其转化为求正态分布的随机变 量在某区间上的取值概率，又此概率已知，将其与未知参量联系起来，即可解决 问题。 解解：二次方程无实根的充要条件是判别式1640X =，故得4=。 注注：本例实际也有巧合成分，因为其概率给出的是 1 2 ，所以的取值立刻就 可由正态分布的对称性得到。 若给出的是其他概率值，则 2 的值一定会给定。 这类题目较为常见，本例出现的是正态分布，有时会结合其他分布，但解决 方法都是如出一辙。 例 13例 13设，求 2 ln(1, 2 )XN 1 2 2 PX (2)确定c，使得； P XcP Xc= (3)设d满足，问至多为多少？ 0P Xdd 另外，类似的计算也可简单变形为应用题，下面例题既是。 例14例14 某地区18岁的女青年的血压 （收缩压， 以mmHg计） 服从 分布。 在该地区任选一 18 岁的女青年，测量她的血压 2 (110,12 )N X。 求 (1)； 105, 100120P XPX 分析分析：本例(1)仍是正态分布简单的概率计算，不同之处是表达成应用题的 形式。 而(2)则需用到分布函数的不减性来解决。 解解：(1)因为，故有 2 (110,12 )XN 110105 110105 11015 105 12121212 X P XP = = ()10.41710.66170.3383= = =。 100 110110120 110 100120 121212 X PXP = = ，即要 求 110 10 12 x .05， 即需 () 110 0.951.645 12 x = 。 由此得 110 1.645 12 x ，即。故129.74xx的最小值为 129.74。 注注：类似的应用题有许多，例如 由某机器生产的螺栓的长度(cm)服从参数10.05=，0.06=的正态分布。 规定长度在范围10内为合格品，求一螺栓为不合格品的概率。 .050.12 再如，一工厂生产的某种元件的寿命X(以小时计)服从参数为 160=,(0) 的正态分布。 若要求1202000.80PX = 其他. 0; (1)确定常数C； (2)求边缘分布密度( ) X fx，( ) Y fy； (3)求(,的联合分布函数； )X Y (4)讨论X与Y的独立性； (5)求XY+的概率分布； (6)求； 01,02PXY = 同理可求得 4 4,0 ( ) 0,0. y Y ey fy y = ; 容易看出X服从参数为 3 的指数分布，Y服从参数为 4 的指数分布。 (3)当或时，0x0y( , )0F x y=； 当，时， 0x0y (34 )34 0000 ( , ),( , ) 1212 xy xyxy uvuv F x yP Xx Yyf u v dudv edudveduedv + = = 其他. ; (4)由， (34 ) 12,0,0; ( , ) 0, xy exy f x y + = 其他. 3 3,0 ( ) 0,0. x X ex fx x = ， 4 4,0 ( ) 0,0. y Y ey fy y = ; ， 不难验证有 ( , )( )( ) XY f x yfx fy=， 所以X与Y相互独立。 (5)设ZXY=+，由和的密度公式，0z 时，( )0 Z fz =， 时， 0z (34() 0 ( )( ,)12 z xz x Z fzf x zx dxe + + = dx 44 0 1212(1) z xzzz edxee = 。 故 4 12(1),0, ( ) 0,0. zz Z eez fz z = (6)由于(,的分布函数与密度函数均已求出，因而既可以用分布函数， 又可以用密度函数求。 )X Y 01,02PXY = , (1)记两周的需要量为Z，即 12 ZXX=+，则Z的概率密度为 ( )( ) () Z fzf x f zx + = dx。 由( )f t的定义知，仅当 0, 0, x zx 亦即 0, , x xz = 3 2 0 (), 3! 0,0. z z z z e exzxdxz z = = 0, (2)记三周的需要量为W，即 3 WZX=+，因 12 , 3 XXX 相互独立，故 12 ZXX=+与 3 X 相互独立，从而W的概率密度为 3 ( )( )() WZX fufx fux + = dx。 由上述( ) Z fz及( )f t的定义知，仅当 0, 0, x ux 亦即 0, , x xu , = 5 34 0 (), 3!5! 0,0. uu u eu e x uxdxu u = = 0, 注注：本题中我们假设第一周的需要量为 1 X ，第二周的需要量为 2 X 。 两周 的需要量为 12 ZXX=+，注意到， 1 X 与 2 X 是相互独立的随机变量，虽然它们 具有相同的分布， 但它们的取值是相互独立的， 因而两周的需要量不能写成2X， 而必须写成 12 XX+。