算符与对易关系习题解.pdf

第三章 算符与对易关系习题解 门福殿教授著量子力学 第 1 页 共 18 页 题解仅供参考,如有问题请联系 zhyjiao ,谢谢 第二章 第二章 算符与对易关系算符与对易关系 1设设 d , d D x =试证：试证： 22 ()()1Dx DxDx+= 证明：证明： 22 ()()Dx DxDDxxDx+=+ （1） 其中的： DxxD+，让其作用在( )x上，有 d( )d () ( )( ) x xDDxxxxx dxdx = d( )d( ) ( )( ) xx xxxx dxdx = ， 因此 1xDDx= ，代入（1）式，得所求证结果。 2如果算符如果算符、 满足条件 满足条件1 =， 求证：求证： 2 22 =， 233 3 =， 1 = nnn n 证明：证明： 利用条件1 =，以左乘之得 2 = 则有 ) 1 ( 2 = 最后得 2 22 =。 再以 左乘上式得 222 2 ) ( =， 即 232 2 = 则有 3332 2 = 最后得 233 3 = 应用数学归纳法可以证明 1 = nnn n： 先设 211 ) 1( = nnn n 成立， 以 左乘上式得 11 ) 1( = nnn n 则有 11 ) 1( ) 1 ( = nnn n 最后得 1 = nnn n 3.求算符求算符 d d ix Fie x = 和和 ix Ge=的对易关系的对易关系。 解：解： d , d ixix F Giee x = 让其作用在( )x上，有 22 dd( )d( )d( )d( ) , ( )( ) ddddd ix ixixixi xixixixixi x exxxx ieexieieie iexie eie xxxxx = += + 2 ( )( ) ixixi x ie iexex= = 因此有： d , ( ) d ixix ieex x 2 ( ) i x ex= 2 d , d ixixi x ieee x = 4.下列算符中哪些是厄密算符：下列算符中哪些是厄密算符： 22 22 dddd ,4, dddd ii xxxx 。 第三章 算符与对易关系习题解 门福殿教授著量子力学 第 2 页 共 18 页 题解仅供参考,如有问题请联系 zhyjiao ,谢谢 解：解： （1） - dd * d* (*) d dd xx xx = 00x 当， ddd * d(*) d()* d ddd xxx xxx = = d ()* d d x x d dx 不是厄米算符 （2） - dd * d* * d dd ixiix xx = dd ()* d()* d dd ixix xx = = d d i x 是厄米算符 （3） 2 - 2 ddd* d *4 d4* 4 d dddd xx xxxx = 2 2 d* dd*d* 4 d(44 d ) dddd xx xxxx = = 22 22 d*d 4 d(4)* d dd xx xx = 2 2 d 4 dx 是厄米算符 （4）对于 2 2 d d i x ，仿照（3）的步骤，可知，不是厄米算符。 5.下列函数中哪些是下列函数中哪些是 2 2 d dx 的本征函数？的本征函数？ （1） x e （2） 2 x （3）sin x (4)3cosx (5)sincosxx+ 解：解： 2 2 2 d ()2 d x x = 2 x不是 2 2 d dx 的本征函数。 2 2 d d xx ee x = x e是 2 2 d dx 的本征函数，其对应的本征值为 1。 2 2 dd (sin )(cos )sin dd xxx xx = 可见，sin x是 2 2 d dx 的本征函数，其对应的本征值为1。 2 2 dd (3cos )( 3sin )3cos(3cos ) dd xxxx xx = = 第三章 算符与对易关系习题解 门福殿教授著量子力学 第 3 页 共 18 页 题解仅供参考,如有问题请联系 zhyjiao ,谢谢 3cosx 是 2 2 d dx 的本征函数，其对应的本征值为1。 2 2 dd (sincos )(cossinsincos ddx (sincos ) xxxxxx x xx += = + ） sincosxx+是 2 2 d dx 的本征函数，其对应的本征值为1。 6.求算符求算符 d d ix Fie x = 的本征函数和本征值。的本征函数和本征值。 解： F的本征方程为 FF= ix d ieF dx =即 ()() ixixix d iFedxd FedFe = = lnln ix Fec = + ix Fe ce =（ FF是的本征值） 7.对一维运动，求算符对一维运动，求算符 p x+的本征函数和本征值。的本征函数和本征值。 解：解：设波函数为( )x，本征值为，则有 d () ( )( ) d ixxx x +=? 1 () d xdx i = ? 积分得： 2 1 ln() 2 x xC i =+ ? 整理得： 2 () 2 i x x Ce = ? 8若若为为K 的本征函数， 对应的本征值为的本征函数， 对应的本征值为， 且， 且MLK =和和 ,1L M =， 证明， 则， 证明， 则Lu = 也是也是K 的本征函数，对应的本征值为的本征函数，对应的本征值为1； vM=也是也是K 的本征函数，对应的本征值为的本征函数，对应的本征值为 1+。 解解 依题意 =K 则 LKLMLLLMLLKuK ) 1 ( = uLLL) 1( ) 1( = 故u是K 的本征函数，对应的本征值为1， (1)KvKMLMMML MMMK=+=+ 第三章 算符与对易关系习题解 门福殿教授著量子力学 第 4 页 共 18 页 题解仅供参考,如有问题请联系 zhyjiao ,谢谢 (1)(1)MMMv=+=+=+ 故v也是K 的本征函数，对应的本征值为1+。 9.一维线形谐振子的势能一维线形谐振子的势能 22 1 ( ) 2 U xx=，处在，处在 22 1 2 ( )(21) 2 x xex =的状态中， 式中 的状态中， 式中 = ? ，问：，问： （1）它的能量有无确定值？如果有，是多少？）它的能量有无确定值？如果有，是多少？ （2）它的动量有无确定值？）它的动量有无确定值？ 解：解： （1）用哈密顿算符作用在波函数上： 2 2 122 22 2 2 d1 (21) 2d22 x xex x + ? （1） 令 22 1 2 (21) x ex = 2 22 222 111 22 222 d1 2 (21)22 d2 xxx x exexe x = += + 2 222 112 2222 22 2 d1 22()2 d2 xx xxee x = + 222222 111 242332423 222 224 xxx xxexexxe = += + 带入（1）式得： 2222 1122 2423223 22 11 4()( 4) 2222 xx xxexxe +=+ ? ? 因此能量无确定值。 另外，很显然 222 22 2 111 222 10 1 ( )(21)2 2222 xxx xexexe =+ 能量可能取值为 01 13 , 22 EE=?，概率分别为：1/3,2/3 （2）用动量算符作用在波函数上： 2 22 2 11 22 22 d (2)()2 d22 xx iixeixie x = +=? 因此动量也无确定值。 10.一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为 , ; ( ) 0, ra U r ra = 求粒子处于求粒子处于S态的能级和定 态波函数。 态的能级和定 态波函数。 解：解：据题意，在ra的区域，( )U r = ，所以粒子不可能运动到这一区域，即在这区域 粒子的波函数 0= (ra) 第三章 算符与对易关系习题解 门福殿教授著量子力学 第 5 页 共 18 页 题解仅供参考,如有问题请联系 zhyjiao ,谢谢 由于在ra的区域内，( )0U r =。只求角动量为零的情况，即0=?，这时在各个方向 发现粒子的几率是相同的。即粒子的几率分布与角度、无关，是各向同性的，因此，粒 子的波函数只与r有关，而与、无关。设为( )r，则粒子的能量的本征方程为 2 2 1 () 2 dd rE r drdr = ? 令 2 2 2 ( ), E U rrk = ? ，得 2 2 2 0 d u k u dr += 其通解为 ( )cossin ( )cossin u rAkrBkr AB rkrkr rr =+ =+ 波函数的有限性条件知， (0)有限，则 A = 0 ( )sin B rkr r = 由波函数的连续性条件，有 ( )0 sin0 B aka a = 0B (1,2,)kann=? n k a = 222 2 2 n n E a = ? ( )sin Bn rr ra = 其中 B 为归一化，由归一化条件得 2 2 000 222 0 1( )sin 4sin2 a a ddrrdr n BrdraB a = = 1 2 B a = 归一化的波函数 sin 1 ( ) 2 n r a r ar = 11设氢原子处在设氢原子处在 0 3 0 1 ),( a r e a r = 的态，的态， 0 a为玻尔半径，求为玻尔半径，求 第三章 算符与对易关系习题解 门福殿教授著量子力学 第 6 页 共 18 页 题解仅供参考,如有问题请联系 zhyjiao ,谢谢 （1）r 的平均值； （的平均值； （2）势能）势能 r e2 的平均值； （的平均值； （3）动能的平均值； （）动能的平均值； （4）最概然半径）最概然半径。 解解 先检验是否归一化。 = = ddrdre a d a r sin 1 0 2 2 0 2 3 0 * 0 = 0 2 0 2 3 0 sin 2 0 ddrre a a r drrere a drre a a r a r a r + = 0 2 2 2 2 0 2 0 2 3 0 000 4 0 24 1 0 2 0 2 0 22 0 2 0 000 = =+ = a r a r a r edre a re a 这表明是归一化的。 （1） = 0 2 00 2 3 3 0 * sin 1 0 dddrer a drr a r 000 222 332 322 00 000 422 3 0 rrr aaa r edrr er edr aaa = + 0 0 3 0 2 0 2 2 2 0 2 3 4 66 0 a a a drer a a r = （2） = = = 0 2 00 2 3 0 22 * 2 sin)( 0 dddrre a e d r e r e rU a r dre a e re a e drre a e a r a r a r = 0 2 2 0 2 2 2 0 2 0 2 3 0 2 000 2 0 24 0 2 2 0 2 0 0 a e e a e a r = = 这个结果和旧量子论中，氢原子的电子沿波尔半径所规定的轨道运动时的库仑能一致。 （3） 2 2 2 2 2 1 = ? pT 其中 22 222 111 ()(sin) sinsin r rrr =+ = 0 2 00 2/2/ 3 0 2 sin)( 1 2 00 ddrdree a T arar ? = 0 2 00 2/2 2 / 3 0 2 sin)( 11 2 00 ddrdre dr d r dr d r e a arar ? 第三章 算符与对易关系习题解 门福殿教授著量子力学 第 7 页 共 18 页 题解仅供参考,如有问题请联系 zhyjiao ,谢谢 = 0 / 0 2 0 3 0 2 )2( 1 ( 2 4 0 dre a r r aa ar ? 2 0 22 0 2 0 4 0 2 2 ) 44 2( 2 4 a aa a ? = （4）电子出现在 r+dr 球壳内出现的概率为 2 22 00 ( ) ( , , )sin w r drrrdrdd = drre a ar2/2 3 0 0 4 = 0 2 /2 3 0 4 ( ) r a w rer a = 0 2 / 3 00 ( )42 (2) r a dw r r re draa = 令 1230 ( ) 0 0, , dw r rrra dr = =， 当 12 0, ( )0rrw r= =时，为几率最小位置 0 2 2 /2 232 000 ( )484 (2) r a d w r rre draaa =+ 0 2 2 23 0 ( )8 0 r a d w r e dra = = 求求 (1)粒子动量的几率分布函数；粒子动量的几率分布函数； (2)粒子的平均动量。粒子的平均动量。 解：解：(1)先求归一化常数，由 2 222 0 1( ) x xdxA x edx = 2 3 1 4 A = 3/2 2A= 在上面的计算中利用了积分公式 1 0 )2( ! + = n xn n dxex 3/22 ( )2 x xxe = (0)x ( )0x= (0)x 1/23/2() 11 ( )( )()2 22 ikxik x c pex dxxedx + = ? 3 1/2()() 0 21 () 2 ik xik x x eedx ikik + =+ + ? 第三章 算符与对易关系习题解 门福殿教授著量子力学 第 8 页 共 18 页 题解仅供参考,如有问题请联系 zhyjiao ,谢谢 33 1/21/2 2 2 221 ()() 2()2 () x p ik i = + + ? ? 动量概率分布函数为 333 2 22222 22 2 2121 ( )( ) () () w pc p pp = + + ? ? ? (2) *3 ( )( )4() xx d px px dxixeedx dx = ? 32 4(1) x ixx edx = ? 322 4() x ixx edx = ? 3 22 11 4() 44 i = ?0= 13在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为 a，如果粒子的状态由波函数，如果粒子的状态由波函数 )()(xaAxx=描写，描写，A 为归一化常数，求粒子能量的概率分布和能量的平均值。并由 此计算 为归一化常数，求粒子能量的概率分布和能量的平均值。并由 此计算 4 0 1 ? (21) n n = = + 解解 先把波函数归一化，求归一化系数 A。 = += aa a A aaa AdxxaxAdx 00 5 2 555 2222* 30325 )(1 故 5 30 a A = x a n C a xCx nnn sin 2 )()(= 而 = a nn xdx a n xax aa dxC 0 5 * sin)( 230 +=1) 1( 2 ) 1() 1( 152 33 333 nnn n a n a n a a n n ) 1(1 154 33 = 能量的概率分布为 = 为偶数当 为奇数当 n n n n C n n , 0 , 960 ) 1(1 240 66 2 66 2 2 0 ( )( )( )( ) 2 a p Ex Hx dxxx dx = 22 52 0 30 () () 2 a d x xax xa dx adx = ? 2233 55 0 3030 ()() 23 a aa x xa dx aa = ? 2 2 5 a = ? 另外能量的平均值也可由下面的方法得到 第三章 算符与对易关系习题解 门福殿教授著量子力学 第 9 页 共 18 页 题解仅供参考,如有问题请联系 zhyjiao ,谢谢 2 22 2 662442 1,3, 96048015 2 nn n n ECE naana = = = = ? ? 因而： = = ?3 , 1 4 4 96 1 n n 讨论：讨论：由于几率分布与 6 n成反比，可看出能级愈低，概率愈大。当1=n时，概率 999. 0 960 6 2 = n C，故知粒子绝大部分可能处于这个态。 14.求处于下列状态下粒子的动量分布概率：求处于下列状态下粒子的动量分布概率： （1）在一维无限深势阱中运动的基态粒子； （）在一维无限深势阱中运动的基态粒子； （2）基态一维谐振子。）基态一维谐振子。 解：解： （1）对一维无限深势阱有： =dxxxpc p )()()( * 0 12 sin 2 i aPx x edx aa = ? ? 利用公式)cossin(sin 22 bxbbxa ba e bxdxe ax ax + = 可得 2222 2222 (1) 1211 ( ) 2 i pa i pa e e a C p ppaaa aa = ? ? ? ? 2 a 动量概率分布函数为 2 ( )( )w pc p= 2 2 222 22 11 () i pa e pa a a = ? ? ? （2）对基态一维谐振子有： =dxxxpc p )()()( * 2 2 1 2 1 2 i xPx eedx = ? ? =dxee Px i x ? ? 22 2 1 2 1 2 22 222 1 () 2 2 1 2 ipp x edx + = ? ? 2 22 222 1 () 2 2 1 2 pip x eedx + = ? ? 2 22 2 12 2 p e = ? ? 2 22 2 1 p e = ? ? 动量概率分布函数为 2 2221 ( )( ) p w pc pe = ? ? 第三章 算符与对易关系习题解 门福殿教授著量子力学 第 10 页 共 18 页 题解仅供参考,如有问题请联系 zhyjiao ,谢谢 15证明：处于基态证明：处于基态 22 2 ( ) x xe =的一维谐振子，其不确定关系为的一维谐振子，其不确定关系为 2 22 ()() 4 xp = ? 证明：证明： 2222 )()(xxxxx=。 = 222 22*2 2 1 2 1 22 dxexdxxx x =0 22 * dxxedxxx x 2 222 2 1 )( =xxx 同理， 222 )(ppp= 注意到一维情况下，只须考虑 x p，因此 dxe x e i dx xi p xx x 22 * 2222 = = ? 0)( 2 22 = dxxe i x ? dxe x ep xx x 2 2 2 2 22 2222 = ? dxxe dx d e xx = 2 2 2 2 2222 ? dxexee xxx = 2 22 22 23 222222 ? =dxexdxe xx 2222 2 2523 ? 22 1 22 22 2523 ? = 2 )()( 22 2 222 ? = xxx pppp 最后得 422 1 )()( 222 2 22 ? = px 讨论：讨论：通过上面的计算看到，在一维谐振子的特殊情况下，其结论与测不准关系 4 )()( 2 22 ? x px一致。 0=p的结论，可以从动量几率分布函数得出，处于基态的一维谐振子的动量几率分 布函数为 ? ? 2 2 1 2 1 1 ),( p etpC = ， 第三章 算符与对易关系习题解 门福殿教授著量子力学 第 11 页 共 18 页 题解仅供参考,如有问题请联系 zhyjiao ,谢谢 它是p的偶函数，0=p，这从物理上看是很清楚的。这种对称性（坐标空间和动 量空间）是一维谐振子的主要特征之一。 2 p也可以从动量空间中求平均而得到。 在以x为自变量的表示式中，一维谐振子的薛定谔方程为 0)( 2 12 22 22 2 = +xxE dx d ? ， 令 ? E xx 2 ,=代入上式可得 0)( 2 =+ 在以p为自变量的表示式中，考虑到算符 p ix ?，故薛定谔方程为 0)( 2 2)( 2 222 2 = +pc p E dp pcd ? 同理可令 ? E pp 2 , 1 =，于是有 0)()( )( 2 2 2 =+pc dp pcd 显然)(pc的解只须在)(x中以p代替x即得： )( 2 ! )( 2 2 1 22 pHe n pC n p n n = = ? ? p He n n p n 2 2 2 ! 1 而 ? ? ? ? 111 = = 故 = 22 1 )()( 22 2 2 0 2 0 2 22? dpepdppcppcp p 和上面得出的结果一致。 16.设氢原子处于状态设氢原子处于状态 2110211 1 13 ( , , )( )( , )( )( , ) 22 rRr YRr Y = 求氢原子能量、角动量平方及角动量求氢原子能量、角动量平方及角动量 Z 分量的可能值，这些可能值出现的概率和这些力学 量的平均值。 分量的可能值，这些可能值出现的概率和这些力学 量的平均值。 解：解：在此能量中，氢原子能量有确定值 22 2 222 28 ss ee E n = = ? (2)n= 角动量平方有确定值为 第三章 算符与对易关系习题解 门福殿教授著量子力学 第 12 页 共 18 页 题解仅供参考,如有问题请联系 zhyjiao ,谢谢 222 (1)2L=+=? ? (1)=? 角动量 Z 分量的可能值为 1 0 Z L= 2Z L= ? 其相应的概率分别为 1 4 ， 3 4 其平均值为 133 0 444 Z L= = ? 17设粒子处在态设粒子处在态 lm Y态，试求角动量的态，试求角动量的x分量和角动量分量和角动量y分量的平均值分量的平均值 yx LL,；并证明：；并证明： 22 2 22 )( 2 )()(mllLL yx = ? 解解（1）先证明两个普遍的关系： 1, ) 1)() ( += mllmyx YmlmlYLiL? 可以用两种方法来证明。 （a）从角动量算符L ? 所满足的对易关系出发： LiLL ? ? ? = 或 = = = zxyyx xyzzy yzxxz LiLLLL LiLLLL LLLLL ? ? ? 由一式与二式乘 i 后相加减可得： ) ( ) () ( yxzyxyxz LiLLLiLLiLL=? 或 ) )( () ( ?= zyxyxz LLiLLiLL 用算符) ( yxz LiLL对 lm Y运算得： lmyxlmzyxlmyxz YLiLmYLLiLYLiLL) () 1() )( () ( =? 另外，注意到 2 L和 zyx LLL , , 均可对易，故有： 22 ) () ( LLiLLiLL yxyx = 所以 lmyxlmyxlmyx YLiLllYLLiLYLiLL) () 1( ) () ( 222 +=? 从上面二式可见 lmyx YLiL) (既是 z L 的本征函数， 本征值为?) 1(m， 又是 2 L的本征函数， 本征值为 2 ) 1(?+ll，亦即 lmyx YLiL) (，具有 1,ml Y的形式。 令 1, ) ( = mllmyx YCYLiL 它的共轭复式是1) ( * * * = lmlmyx YCYLiL 二式相乘，对,积分，再注意到 ml Y,的正交性，得： =dYLiLYLiLC lmyxlmyx * 2 ) () ( dYLiLLiLY lmyxyxlm ) () ( * = + ) ( ) ( yxyxyx LiLiLLLiL= + 第三章 算符与对易关系习题解 门福殿教授著量子力学 第 13 页 共 18 页 题解仅供参考,如有问题请联系 zhyjiao ,谢谢 dYLiLLiLYC lmyxyxlm ) )( ( * 2 = dYLLLLiLLY lmxyyxyxlm +=) ( 22* =dYLLLY lmzzlm ) ( 22* ? 222 ) 1)() 1(?+=+=mlmlmmll 1, ) 1)() ( += mllmyx YmlmlYLiL? （b）用直接求微分的方法证明 + = cossin ctgiLx? = sincos ctgiLy? + =+ ictgeLiL i yx ? + = ictgeLiL i yx ? 而 imm llm eP ml lml Y)(cos )!(4 ) 12()!( + + =； 其中 )(cos )(cos sin)(cos l m m mm l p d d p= 故 =+ )(cos )(cos cossin) ( 1 l m m m lmyx p d d myLiL? + + + )(cos )(cos sinsin)(cos )(cos sin 1 1 imp d d ictgp d d l m m m l m m m )!(4 ) 12()!( )1( ml lml e mi + + + )!1(4 ) 12()!1( ) 1)() ( + + +=+ ml lml mlmlYLiL lmyx ? 1, )1( 1 1 1 ) 1)()(cos )(cos sin + + + + + += ml mi l m m m Ymlmlep d d ? 同样，对 yx LiL 也有 = + + + 1 1 11 )(cos sin)(cos )(cos cossin) ( m m m l m m m lmyx d d p d d mYLiL ? )!(4 ) 12()!( )(cos )(cos sin)(cos )1( ml lml eimp d d ictgp mi l m m m l + + + + + + = + + )(cos )(cos sinsin )!1(4 ) 12()!1( ) 1)( 1 1 21 l m m m p d d ml lml mlml ? 第三章 算符与对易关系习题解 门福殿教授著量子力学 第 14 页 共 18 页 题解仅供参考,如有问题请联系 zhyjiao ,谢谢 )1( )(cos )(cos cos2 mi l m m ep d d m ) 1)(sin )!1(4 ) 12()!1( ) 1)( 1 + + + + = mlml ml lml mlml m ? 1, )1( 1 1 ) 1)()(cos )(cos += ml mi l m m Ymlmlep d d ? 其中 )(cos )(cos cos2)(cos )(cos sin 1 1 2 l m m l m m p d d mp d d + + )() 1)()(2)()1 ( 1 1 1 1 2 l m m l m m l m m p d d mlmlp d d mp d d + + += 可证明如下： 因为勒襄德多项式)()(cos ll pp=满足方程 0) 1()1 ( 2 =+ l l pll d dp d d 对上式求微商1m次后得到 0) 1()1 ( 1 1 1 2 =+ m l m m m d pd ll d dp d d 或 0) 1() 1(2)1 ( 1 1 1 1 1 1 1 2 =+ + + l m m m m m l m l m m p d d llp d d mm d pd mp d d 故有 l m m m l m l m m p d d mlml d pd mp d d 1 1 1 1 2 ) 1)(2)1 ( + + += （2）现在来求 x L和 y L 注意到 lm Y的正交性，亦即 = 0sin * ddYY lmlm 令 ddYLiLYiLL lmyxlmyx sin) ( * += =+= + 0sin) 1)( 1, * ddYmlmlY mllm ? 同理可知 0=+ yx iLL 故 00= yx LL （3） += lmyxlmyxxlmx YLiLYLiLLYL) ( 2 1 ) ( 2 1 2 += +1,1, ) 1)( 2 ) 1)( 2 mlmlx YmlmlYmlmlL ? += +lmml YmlmlYmlmlmlml) 1)( 2 1 ) 1)(2( 2 1 ) 1)( 2 2, 2 ? 第三章 算符与对易关系习题解 门福殿教授著量子力学 第 15 页 共 18 页 题解仅供参考,如有问题请联系 zhyjiao ,谢谢 + 2, 2 )2)(1( 2 1 ) 1)( 2 1 ) 1)( 2 mllm YmlmlYmlmlmlml ? 注意到 lm Y的正交性，得： ) 1)() 1)( 4 sin 2 2*2 +=mlmlmlmlddYLYL lmxlm x ? )( 2 22 2 mll+= ? 同理可证： )( 2 22 2 2 mllLy+= ? 故 )( 2 )( 22222 mllLLL xxx += ? )( 2 )( 22222 mllLLL yyy += ? 方法三：在固定 z 轴不变的情况下，进行坐标旋转，把原来的 y 轴变为 x 轴，仍然保持 右旋坐标， 这时角不变， 唯一的改变是变为， 注意到x和y的对称性， 不难由 yx LL , 在球坐标中的算符表示式看出 22 yx LL = )( 2 ) 1( 2 1 )( 2 1 22 2 2222222 mllmllLLLL zyx +=+= ? ? 而 0= yx LL )( 2 )( 22 2 222 mllLLL xxx += ? )( 2 )( 22 2 222 mllLLL yyy += ? 讨论：讨论：为了证明0; 0= yx LL，我们还可以用下面的简便方法： 设),( lm Y为 z L 的本征态，则有 ),(),( lmlmz YmYL?= 而 xyzzy LiLLLL ?= 故 =dYLLYdYLL i LLLL i L lmyzlmlmzylmyzzyx 1 1 * ? =dYLYLdYLYm i lmylmzlmylm ) ( 1 * ? ? 0 1 * = dYLYmdYLYm i lmylmlmylm ? ? 同理，因为 yzxxz LiLLLL ?=，可以证明 0= y L 在方法三中，不从物理上考虑，直接从对易关系出发，也很容易证明 22 yx LL = 注意到 yzzyx LLLLLi =? 第三章 算符与对易关系习题解 门福殿教授著量子力学 第 16 页 共 18 页 题解仅供参考,如有问题请联系 zhyjiao ,谢谢 即 ) ( 1 yzzyx LLLL i L= ? 左乘 x L 得：) ( 1 2 yzxzyxx LLLLLL i L= ? =dYLLLYdYLLLY i L lmyzxlmlmzyxlmx 1 *2 ? dYLLLYdYLLYm i lmyzxlmlmyxlm = 1 * ? ? 利用 ) ( 1 zxxzy LLLL i L= ? 右乘 y L 得：) ( 1 2 yzxyxzy LLLLLL i L= ? =dYLLLYdYLLLY i L lmyzxlmlmyxzlmy 1 *2 ? =dYLLLYdYLLYL i lmyzxlmlmyxlmz ) ( 1 * ? =dYLLLYdYLLYm i lmyzxlmlmyxlm 1 * ? ? 比较 2 x L和 2 y L可见， 22 yx LL =。 再利用0= yx LL，按照方法三的讨论，很容易证明。 )( 2 )()( 22 2 22 mllLL yx += ? 18设体系处在设体系处在 102111 YCYC+=态中，求：态中，求： （1）力学量）力学量 z L 的可能值和平均值； （的可能值和平均值； （2）力学量）力学量 2 L的本征值；的本征值； （3）力学量）力学量 x L 和和 y L 的可能值。的可能值。 解解（1）因为 11 Y和 10 Y都是 z L 的本征函数。对应于 10 Y态， z L 的本征值为0；对应于 11 Y 态， z L 的本征值为?。因此，对态来说， z L 的可能值是 0，?。 力学量 z L的平均值为 2 222 1 1212222 1212 1 0 z C LCCC CCCC =+= + ? （2）因为 11 Y和 10 Y也都是 2 L的本征函数，对应的本征值是 22 2) 1(?=+ll， 故 2 102111 2 10 2 211 2 1 2 22 ?=+=+=YCYCYLCYLCL 故对应于态， 2 L的本征值为 2 2?，平均值也是 2 2?。 （3）根据教材中的讨论，),( 11 Y和),( 10 Y不再是力