数学物理方程第四章练习题.pdf

. . . . . . . 二阶线性偏微分方程的分类与总结 齐 海 涛 山东大学（威海）数学与统计学院 htqisdu 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-31 / 39 目录 . . . 1二阶线性方程的分类 . . . 2二阶线性方程的特征理论 . . . 3三类方程的比较 . . . 4先验估计 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-32 / 39 . . . 1二阶线性方程的分类 . . . 2二阶线性方程的特征理论 . . . 3三类方程的比较 . . . 4先验估计 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-33 / 39 二阶线性方程的分类 . Example 1.1 . . . . . . . . 证明: 两个自变量的二阶线性方程经过自变量的可逆变换后, 其类型不会改 变, 即变换后 = a2 12 a11a12 的符号不变. 证明: 设自变量可逆变换为 = (x,y), = (x,y). 记 J = ( xy xy ) , 则 detJ , 0. 由复合函数求导得以 , 为自变量的新方程系数为 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-33 / 39 二阶线性方程的分类 . Example 1.1 . . . . . . . . 证明: 两个自变量的二阶线性方程经过自变量的可逆变换后, 其类型不会改 变, 即变换后 = a2 12 a11a12 的符号不变. 证明: 设自变量可逆变换为 = (x,y), = (x,y). 记 J = ( xy xy ) , 则 detJ , 0. 由复合函数求导得以 , 为自变量的新方程系数为 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-33 / 39 二阶线性方程的分类 a11= ( xy )( a11a12 a12a22 )( x y ) , a12= ( xy )( a11a12 a12a22 )( x y ) , a22= ( xy )( a11a12 a12a22 )( x y ) , 故 ( a11a12 a12a22 ) = J ( a11a12 a12a22 ) JT, 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-34 / 39 二阶线性方程的分类 而判别式 = ? ? ? ? ? ? a11a12 a12a22 ? ? ? ? ? ? = (detJ)2. 这就证明了 与 符号相同, 即经自变量可逆变换后方程类型不改变. 设未知函数可逆变换为 u = f(v), f(v) , 0, 对以 v 为未知函数的新方程 系数分别为 a11= a11f , a12 = a12f , a22 = a22f , 故 = f2 , 所以经未知函数可逆变换后方程类型不改变.? 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-35 / 39 二阶线性方程的分类 . Example 1.2 . . . . . . . . 判定下列方程的类型: . . . 1 x2uxx y2uyy= 0; . . . 2 uxx+ (x + y)2uyy= 0; . . . 3 uxx+ xyuyy= 0; . . . 4 sgnyuxx+ 2uxy+ sgnxuyy= 0; . . . 5 uxx 4uxy+ 2uxz+ 4uyy+ uzz= 0. 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-36 / 39 二阶线性方程的分类 解:(1) 当 xy , 0 时, 方程为双曲型; 当 xy = 0 时, 方程为抛物型. (2) 当 x + y , 0 时, 方程为椭圆型; 当 x + y = 0 时, 方程为抛物型. (3) 当 xy 0 时, 方程为椭圆型; 当 xy = 0 时, 方程为抛物型; 当 xy 0 时, 方程为抛物型; 当 xy 0 时, 方程为双曲型. (5) 系数矩阵为不定型, 且非退化, 故方程为双曲型. 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-37 / 39 二阶线性方程的分类 . Example 1.3 . . . . . . . . 化下列方程为标准形式: . . . 1 uxx+ 4uxy+ 5uyy+ ux+ 2uy= 0; . . . 2 x2uxx+ 2xyuxy+ y2uyy= 0; . . . 3 uxx+ yuyy= 0; . . . 4 uxx 2cosxuxy (3 + sin2x)uyy yuy= 0; . . . 5 (1 + x2)uxx+ (1 + y2)uyy+ xux+ yuy= 0. 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-38 / 39 二阶线性方程的分类 解:(1) 令 = y 2x, = x, 则得 u+ u+ u= 0. (2) 令 = y/x, = y, 则得 2u= 0. (3) 当 y 0 时, 方程为椭圆型, 令 = 2 y, = x, 则得 u+ u 1 u= 0. (4) 令 = y 2x + sinx, = y + 2x + sinx, 则得 u+ + 32 (u+ u) = 0. (5) 令 = ln(y + 1 + y2), = ln(x + 1 + x2), 则得 u+ u= 0. 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-310 / 39 二阶线性方程的分类 . Example 1.4 . . . . . . . . 证明: 两个自变量的二阶常系数双曲型方程或椭圆型方程一定可以经过自变量 及未知函数的可逆变换 u = e+v, 将它化成 v v+ cv = f 的形式. 证明: 由方程的化简可知, 对二阶双曲型或椭圆型方程总可通过自变量可 逆变换化为 u u= A1u+ B1u+ C1u + D1(1.1) 的形式. 注意到原方程为常系数, 特征根 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-311 / 39 二阶线性方程的分类 . Example 1.4 . . . . . . . . 证明: 两个自变量的二阶常系数双曲型方程或椭圆型方程一定可以经过自变量 及未知函数的可逆变换 u = e+v, 将它化成 v v+ cv = f 的形式. 证明: 由方程的化简可知, 对二阶双曲型或椭圆型方程总可通过自变量可 逆变换化为 u u= A1u+ B1u+ C1u + D1(1.1) 的形式. 注意到原方程为常系数, 特征根 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-311 / 39 二阶线性方程的分类 1,2= a12 a2 12 a11a22 a11 (1.2) 为常数. 此时变换式为线性变换 = 1x + 2y, = 3x + 4y, 其中 i(i = 1,2,3,4) 均为常数. 由此得 (1.1) 式中系数 A1, B1, C1, D1 均为常数. 再引入未知函数变换 u = e+v,(1.3) 将 (1.3) 式代入 (1.1) 式中, 在双曲型时, 只要取 = A1/2, = B1/2, 而 在椭圆型时, 取 = A1/2, = B1/2 就可将方程化成 vv+cv = f 的简 单形式.? 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-312 / 39 . . . 1二阶线性方程的分类 . . . 2二阶线性方程的特征理论 . . . 3三类方程的比较 . . . 4先验估计 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-313 / 39 二阶线性方程的特征理论 . Example 2.1 . . . . . . . .求下列方程的特征方程和特征方向: (1) 2u x2 1 + 2u x2 2 = 2u x2 3 + 2u x2 4 解:特征方程: 2 1+ 2 2= 2 3+ 2 4. 特征方向 l 满足: 2 1+ 2 2= 2 3+ 2 4, 2 1+ 2 2+ 2 3+ 2 4= 1. 解得: l = ( 2 2 sin, 2 2 cos, 2 2 sin, 2 2 cos), 其中 , 为任意参数. 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-313 / 39 二阶线性方程的特征理论 . Example 2.1 . . . . . . . .求下列方程的特征方程和特征方向: (1) 2u x2 1 + 2u x2 2 = 2u x2 3 + 2u x2 4 解:特征方程: 2 1+ 2 2= 2 3+ 2 4. 特征方向 l 满足: 2 1+ 2 2= 2 3+ 2 4, 2 1+ 2 2+ 2 3+ 2 4= 1. 解得: l = ( 2 2 sin, 2 2 cos, 2 2 sin, 2 2 cos), 其中 , 为任意参数. 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-313 / 39 二阶线性方程的特征理论 . Example 2.1 . . . . . . . .求下列方程的特征方程和特征方向: (1) 2u x2 1 + 2u x2 2 = 2u x2 3 + 2u x2 4 解:特征方程: 2 1+ 2 2= 2 3+ 2 4. 特征方向 l 满足: 2 1+ 2 2= 2 3+ 2 4, 2 1+ 2 2+ 2 3+ 2 4= 1. 解得: l = ( 2 2 sin, 2 2 cos, 2 2 sin, 2 2 cos), 其中 , 为任意参数. 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-313 / 39 二阶线性方程的特征理论 (2) 2u t2 = 2u x2 1 + 2u x2 2 + 2u x2 3 解:特征方程: 2 0= 2 1+ 2 2+ 2 3. 特征方向 l 满足: 2 0= 2 1+ 2 2+ 2 3, 2 0+ 2 1+ 2 2+ 2 3= 1. 解得: l = ( 2 2 , 2 2 sinsin, 2 2 sincos, 2 2 cos), 其中 , 为任意参数. 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-314 / 39 二阶线性方程的特征理论 (2) 2u t2 = 2u x2 1 + 2u x2 2 + 2u x2 3 解:特征方程: 2 0= 2 1+ 2 2+ 2 3. 特征方向 l 满足: 2 0= 2 1+ 2 2+ 2 3, 2 0+ 2 1+ 2 2+ 2 3= 1. 解得: l = ( 2 2 , 2 2 sinsin, 2 2 sincos, 2 2 cos), 其中 , 为任意参数. 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-314 / 39 二阶线性方程的特征理论 (3) u t = 2u x2 2u y2 解:特征方程: 2 1 2 2= 0. 特征方向 l 满足: 2 1 2 2= 0, 2 0+ 2 1+ 2 2= 1. 解得: l = (cos, 2 2 sin, 2 2 sin), 其中 为任意参数. 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-315 / 39 二阶线性方程的特征理论 (3) u t = 2u x2 2u y2 解:特征方程: 2 1 2 2= 0. 特征方向 l 满足: 2 1 2 2= 0, 2 0+ 2 1+ 2 2= 1. 解得: l = (cos, 2 2 sin, 2 2 sin), 其中 为任意参数. 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-315 / 39 二阶线性方程的特征理论 . Example 2.2 . . . . . . . . 证明: 经过可逆的坐标变换 xi= fi(y1, ,yn) (i = 1, ,n), 原方程的特征曲 面变为经变换后的新方程的特征曲面, 即特征曲面关于可逆坐标变换具有不变 性. 解: 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-316 / 39 二阶线性方程的特征理论 . Example 2.2 . . . . . . . . 证明: 经过可逆的坐标变换 xi= fi(y1, ,yn) (i = 1, ,n), 原方程的特征曲 面变为经变换后的新方程的特征曲面, 即特征曲面关于可逆坐标变换具有不变 性. 解: 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-316 / 39 二阶线性方程的特征理论 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-317 / 39 二阶线性方程的特征理论 . Example 2.3 . . . . . . . . 试证二阶线性偏微分方程解的 m 阶弱间断(即直至 m 1 阶的偏导数为连续, 而 m 阶偏导数为第一类间断)也只可能沿着特征发生. 解: 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-318 / 39 二阶线性方程的特征理论 . Example 2.3 . . . . . . . . 试证二阶线性偏微分方程解的 m 阶弱间断(即直至 m 1 阶的偏导数为连续, 而 m 阶偏导数为第一类间断)也只可能沿着特征发生. 解: 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-318 / 39 二阶线性方程的特征理论 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-319 / 39 二阶线性方程的特征理论 . Example 2.4 . . . . . . . .试定义 n 阶线性偏微分方程的特征方程、特征方向和特征曲面. 解: 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-320 / 39 二阶线性方程的特征理论 . Example 2.4 . . . . . . . .试定义 n 阶线性偏微分方程的特征方程、特征方向和特征曲面. 解: 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-320 / 39 二阶线性方程的特征理论 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-321 / 39 . . . 1二阶线性方程的分类 . . . 2二阶线性方程的特征理论 . . . 3三类方程的比较 . . . 4先验估计 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-322 / 39 三类方程的比较 . Example 3.1 . . . . . . . . 试回顾以前学过的求解偏微分方程定解问题的各种方法, 并指出叠加原理在哪 里被用到. 解:略 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-322 / 39 三类方程的比较 . Example 3.1 . . . . . . . . 试回顾以前学过的求解偏微分方程定解问题的各种方法, 并指出叠加原理在哪 里被用到. 解:略 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-322 / 39 三类方程的比较 . Example 3.2 . . . . . . . . 证明热传导方程 u t = a2 2u x2 的初边值问题 u(0,t) = u(l,t) = 0, u(x,0) = (x) 的解关于自变量 x(0 x 0) 可进行任意次微分. 解:见教材第二章2对解的验证. 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-323 / 39 三类方程的比较 . Example 3.2 . . . . . . . . 证明热传导方程 u t = a2 2u x2 的初边值问题 u(0,t) = u(l,t) = 0, u(x,0) = (x) 的解关于自变量 x(0 x 0) 可进行任意次微分. 解:见教材第二章2对解的验证. 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-323 / 39 三类方程的比较 . Example 3.3 . . . . . . . .举例说明弦振动方程不成立极值原理. 解:求解 utt= uxx, u(x,0) = 1,ut(x,0) = 1. 由达朗贝尔公式知 u = 1 + t, 显然不成立极值原理. 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-324 / 39 三类方程的比较 . Example 3.3 . . . . . . . .举例说明弦振动方程不成立极值原理. 解:求解 utt= uxx, u(x,0) = 1,ut(x,0) = 1. 由达朗贝尔公式知 u = 1 + t, 显然不成立极值原理. 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-324 / 39 三类方程的比较 . Example 3.4 . . . . . . . . 若曲面 S 将区域 分成 1与 2两部分, 函数 u(x,y,z) 在 1, 2中分 别二次连续可微, 且满足拉普拉斯方程 u = 0, 又 u 在 S 上一阶偏导数连 续, 试证明函数 u(x,y,z) 在 S 上也具有二阶连续偏导数, 且在 中满足方程 u = 0. 解:设 是 内任一闭曲面, 当 完全落在 1或 2内, 而 M0为 内任一点时, 显然成立 u(M0) = 1 4 “ u(M) n ( 1 rM0M ) 1 rM0M u n dSM. 而当 有一部分落在 1内, 另一部分落在 2内时, 记在 1内部分为 1, 在 2内部分为 2, 此时在 所包含区域内的曲面 S 相应记为 S, 则 当 M0 1时有 u(M0) = 1 4 “ 1+S u(M) n ( 1 rM0M ) 1 rM0M u n dSM. 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-325 / 39 三类方程的比较 . Example 3.4 . . . . . . . . 若曲面 S 将区域 分成 1与 2两部分, 函数 u(x,y,z) 在 1, 2中分 别二次连续可微, 且满足拉普拉斯方程 u = 0, 又 u 在 S 上一阶偏导数连 续, 试证明函数 u(x,y,z) 在 S 上也具有二阶连续偏导数, 且在 中满足方程 u = 0. 解:设 是 内任一闭曲面, 当 完全落在 1或 2内, 而 M0为 内任一点时, 显然成立 u(M0) = 1 4 “ u(M) n ( 1 rM0M ) 1 rM0M u n dSM. 而当 有一部分落在 1内, 另一部分落在 2内时, 记在 1内部分为 1, 在 2内部分为 2, 此时在 所包含区域内的曲面 S 相应记为 S, 则 当 M0 1时有 u(M0) = 1 4 “ 1+S u(M) n ( 1 rM0M ) 1 rM0M u n dSM. 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-325 / 39 三类方程的比较 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-326 / 39 . . . 1二阶线性方程的分类 . . . 2二阶线性方程的特征理论 . . . 3三类方程的比较 . . . 4先验估计 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-327 / 39 先验估计 . Example 4.1 . . . . . . . . 设 u(x1, ,xn) 在区域 上满足不等式 n i,j=1 aij(x)uxixj+ n i=1 bi(x)uxi+ c(x)u 0, 其中 aij, bi, c 在 上的具有一阶连续偏导数, 满足 (4.38) 式, 且 c(x) 0, 证明极值原理 (4.3) 成立. 解: 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-327 / 39 先验估计 . Example 4.1 . . . . . . . . 设 u(x1, ,xn) 在区域 上满足不等式 n i,j=1 aij(x)uxixj+ n i=1 bi(x)uxi+ c(x)u 0, 其中 aij, bi, c 在 上的具有一阶连续偏导数, 满足 (4.38) 式, 且 c(x) 0, 证明极值原理 (4.3) 成立. 解: 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-327 / 39 先验估计 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-328 / 39 先验估计 . Example 4.2 . . . . . . . . 设 u C2() C() 是椭圆型方程狄利克雷问题 n i,j=1 aij(x)uxixj+ n i=1 bi(x)uxi+ c(x)u = f(x), 的解, 系数 aij, bi, c 满足定义题中的条件, 则成立最大模估计式 (4.4). 解: 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-329 / 39 先验估计 . Example 4.2 . . . . . . . . 设 u C2() C() 是椭圆型方程狄利克雷问题 n i,j=1 aij(x)uxixj+ n i=1 bi(x)uxi+ c(x)u = f(x), 的解, 系数 aij, bi, c 满足定义题中的条件, 则成立最大模估计式 (4.4). 解: 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-329 / 39 先验估计 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-330 / 39 先验估计 . Example 4.3 . . . . . . . . 在 QT= (0,l) (0,T) 中考察下列初边值问题 utt a2uxx+ b(x,t)ux+ b0(x,t)ut+ c(x,t)u = f(x,t), u|x=0= 0,(ux+ ku)|x=l= 0, u|t=0= (x),ut|t=0= (x), 证明其解的唯一性及稳定性. 解: 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-331 / 39 先验估计 . Example 4.3 . . . . . . . . 在 QT= (0,l) (0,T) 中考察下列初边值问题 utt a2uxx+ b(x,t)ux+ b0(x,t)ut+ c(x,t)u = f(x,t), u|x=0= 0,(ux+ ku)|x=l= 0, u|t=0= (x),ut|t=0= (x), 证明其解的唯一性及稳定性. 解: 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-331 / 39 先验估计 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-332 / 39 先验估计 . Example 4.4 . . . . . . . . 建立下列初边值问题的能量估计式: ut u + n i=1 bi(x,t)uxi+ c(x,t)u = f(x,t), u n ? ? ?= 0, u|t=0= (x). 解: 齐海涛(SDU)数