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2019 年全国硕士研究生入学统一考试 数学（二）试题 一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分下列每题给出的四个选项中，只有一个选 项是符合题目要求的 1、当0x 时，若tanxx与 k x是同阶无穷小，则k = A.1.B.2. C.3.D.4. 【答案】C 【解析】 3 tan 3 x xx，所以选 C. 2、设函数 3 sin2cos () 22 yxxxx=+的拐点 A. (,). 2 2 B.(0,2). C.(, 2).D. 33 (,). 22 【答案】C. 【解析】令sin0yxx = =，可得x =，因此拐点坐标为2（ ， ）. 3、下列反常积分发散的是 A. 0 e d x xx + B. 2 0 ed x xx + C. 2 0 arctan d 1 x x x + + D. 2 0 d 1 x x x + + 【答案】D 【解析】 2 2 0 0 1 dln(1) 12 x xx x + + =+= + + ，其他的都收敛，选 D. 4、已知微分方程y +a y +by= cex的通解为y=(C1+C2x)e-x+ex，则 a、b、c 依次为 A、1,0,1 B、 1,0,2 C、2,1,3 D、2,1,4 【答案】 D. 【解析】由通解形式知， 12 1= ，故特征方程为 22 1 =21=0+（），所以 2,1ab=，又由于exy =是+2 x yyyce + =的特解，代入得4c =. 5 、 已 知 积 分 区 域 ( , )| 2 Dx yxy=+， 22 1 d d D Ixyx y=+ ， 22 2 sind d D Ixyx y=+ ， 22 3 (1 cos)d d D Ixyx y=+ ，试比较 123 ,I II的大小 A. 321 IIIB. 123 III C. 213 IIID. 231 III 【答案】C 【解析】在区域 D 上 2 222222 0,sin 4 xyxyxy +，进而 213. III 6 、 已 知( ), ( )f x g x的 二 阶 导 数 在xa=处 连 续 ， 则 2 ( )g( ) lim0 () xa f xx xa = 是 曲 线 ( ),( )yf xyg x=在xa=处相切及曲率相等的 A. 充分非必要条件.B. 充分必要条件. C. 必要非充分条件.D. 既非充分又非必要条件. 【答案】A 【解析】充分性:利用洛必达法则,有 2 ( )g( )( )g ( )( )g ( ) limlimlim0. ()2()2 xaxaxa f xxfxxfxx xaxa = 从而有( )( ),( )( ),( )( )f ag afag afag a=,即相切,曲率也相等. 反之不成立,这是因为曲率 3 2 2 (1) y K y = + ,其分子部分带有绝对值,因此( )( )fag a=或 ( )( )fag a= ;选 A. 7、设A是四阶矩阵， * A是A的伴随矩阵，若线性方程组Ax = 0的基础解系中只有 2 个 向量，则 * A的秩是（） A.0B.1C.2D.3 【答案】 A. 【解析】由于方程组基础解系中只有 2 个向量，则( )2r A =，( )3r A ，()0r A=. 8、设A是3阶实对称矩阵，E是3阶单位矩阵. 若 2 2+=AAE，且4=A，则二次型 T x Ax规范形为 A. 222 123. yyy+B. 222 123. yyy+ C. 222 123. yyyD. 222 123. yyy 【答案】C 【解答】由 2 2+=AAE，可知矩阵的特征值满足方程 2 20+=，解得，1=或 2= . 再由4=A，可知 123 1,2= ，所以规范形为 222 123. yyy故答案选 C. 二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分 9. 2 0 lim(2 ) x x x x +=_. 【解析】 0 22 limln(2 ) 0 lim(2 )e x x x x xx x x + += 其中 000 221 limln(2 )2lim2lim(1 2 ln2)2(1 ln2) x xx xxx x x xx + +=+=+ 所以 2 2 2ln22 0 lim(2 )e4 x x x xe + += 10.曲线 sin 1 cos xtt yt = = 在 3 2 t=对应点处切线在y轴上的截距_. 【解析】 dsin d1 cos yt xt = 当 3 2 t=时， 3d 1,1,1 2d y xy x =+= 所以在 3 2 t=对应点处切线方程为 3 2 2 yx= + 所以切线在y轴上的截距为 3 2 2 + 11.设函数( )f u可导， 2 () y zyf x =，则2 zz xy xy += _. 【解析】 2232 22 ()()() zyyyy yff xxxxx = 22222 22 ()()()()() zyyyyyy fyfff yxxxxxx =+=+ 所以 2 2() zzy xyyf xyx += 12.设函数lncos (0) 6 yxx =的弧长为_. 【解析】弧长 22 666 000 1 1 () d1tandd cos syxx xx x =+=+= 6 0 11 ln|tan|ln3ln3 cos2 x x =+= 13.已知函数 2 1 sin ( )d x t f xxt t = ，则 1 0 ( )df xx = _. 【解析】设 2 1 sin ( )d x t F xt t =，则 11 00 ( )d( )df xxxF xx= 11 2212 0 00 111 ( )d( )d ( ) 222 F xxx F xxF x= 2 11 22 00 11sin ( )dd 22 x x F xxxx x = = 1 22 1 0 0 111 sindcos(cos1 1) 244 xxxx= = 14.已 知矩阵 1100 2111 3221 0034 = A， ij A表 示|A中( , )i j元的 代数余子 式，则 1112 AA=_. 【解析】 1112 11001000 21112111 | 32213121 00340034 AA = A 111111 1210104 034034 = = 三、解答题：1523 小题，共 94 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15、 （本题满分 10 分） 已知 2 ,0, ( ) e1,0, x x xx f x xx = + 求( )fx，并求( )f x的极值. 解:0x 时, 2 ln2 ln (0)(e)e(2ln2) xxxx fx=+; 0x 时,( )(1)exf xx=+; 又 2 ln 00 ( )(0)e1 (0)limlim 0 xx xx f xf f xx + + = 00 2 ln limlim 2ln xx xx x x + = , 所以(0) f 不存在,因此 2 2(1 ln ),0, ( ) (1)e ,0. x x xxx fx xx + = + 令( )0fx=,得驻点 13 1 1, e xx= =;另外( )f x还有一个不可导点 2 0x =; 又(, 1) 为单调递减区间,( 1,0)为单调递增区间, 1 (0, ) e 为单调递减区间, 1 ( ,) e +为单 调递增区间;因此有极小值 1 ( 1)1 e f = 和极小值 2 e 1 ( )e e f =,极大值(0)1f=. 16、 （本题满分 10 分） 求不定积分 22 36 d . (1) (1) x x xxx + + 解: 2222 362321 dd (1) (1)1(1)1 xx xx xxxxxxx + =+ + 2 3 2ln1ln(1) 1 xxxC x = + 17、 （本题满分 10 分） ( )yy x=是微分方程 2 2 1 e 2 x yxy x =满足(1)ey=的特解. （1）求( )y x； （2）设平面区域( , |12,0( )Dx yxy y x=，求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体 积. 解(1) 2 dd 2 1 ( )e ee d 2 x x xx x y xxC x =+ 22 22 1 e(d)e() 2 xx xCxC x =+=+ ; 又由(0)ey=得0C =,最终有 2 2 ( )e x y xx=. (2)所求体积 2 222 2 2 11 (e) de d x x Vxxxx= 2 2 4 1 e(ee) 22 x =. 18、已知平面区域D满足 22 34 ,()xy xyy+，求 22 d d D xy x y xy + + . 解:由xy可知区域D关于y轴对称,在极坐标系中, 3 44 ;将cos ,sinxryr= 代入 22 34 ()xyy+得 2 sinr ; 由奇偶对称性,有 2 sin 2 22220 4 sin d dd d2dd DD xyyr x yx yr r r xyxy + = + 522 22 44 43 2 sind(1 cos) dcos 120 = = 19、设n为正整数，记 n S为曲线esin (0) x yxx n =与x轴所围图形的面积，求 n S，并 求lim n n S . 解:设在区间 ,(1)kk +(0,1,2,1)kn=L上所围的面积记为 k u,则 (1)(1) e|sin|d( 1)esin d kk xkx k kk uxxx x + = ; 记esin d x Ix x =,则e dcos(ecoscos de ) xxx Ixxx = = ecose dsinecos(esinsin de ) xxxxx xxxxx = = e (cossin ) x xxI = +, 所以 1 e (cossin ) 2 x IxxC = +; 因此 (1) (1) 11 ( 1) ()e(cossin )(ee) 22 k kkkk k k uxx + + = +=+; (这里需要注意cos ( 1)kk = ) 因此 (1) 1 01 11ee e 221 e n nn k nk kk Su + = =+=+ ; (1) 1ee1e11 limlim 21 e21 e2e1 n n nn S + =+=+=+ 20、已知函数( , )u x y满足 22 22 22330 uuuu xyxy += ，求, a b的值，使得在变换 ( , )( , )eax byu x yv x y + =下，上述等式可化为( , )v x y不含一阶偏导数的等式. 解:ee ax byax by x u vva x + =+ , 2 2 2 eeee ax byax byax byax by xxxx u vv av ava x + =+ 2 e2ee ax byax byax by xxx vava v + =+ 同理,可得ee ax byax by y u vbv y + =+ , 2 2 2 e2ee ax byax byax by yyy u vbvb v y + =+ ; 将所求偏导数代入原方程,有 22 e22(43)(34 )(2233 ) 0 ax by xxyyxy vvavb vabab v + +=, 从而430,340ab+=,因此 33 , 44 ab= =. 21、已知函数( , )f x y在0,1上具有二阶导数，且 1 0 (0)0,(1)1,( )d1fff xx= ，证明： （1）存在(0,1)，使得( )0f=； （2）存在(0,1)，使得( )2f . 证明:(1)由积分中值定理可知,存在(0,1)c,使得 1 0 ( )d(1 0) ( )f xxf c= ,即( )1f c =. 因此( )(1)1f cf=,由罗尔定理知存在( ,1)(0,1)c,使得( )0f=. (2)设 2 ( )( )F xf xx=+,则有 2 (0)0,( )1,(1)2FF ccF= +=;由拉格朗日中值定理可得: 存在 1 (0, ) c,使得 2 1 ( )(0)1 () 0 F cFc F cc + = ; 存在 2 ( ,1)c,使得 2 2 (1)( )1 ()1 11 FF cc Fc cc = + ; 对于函数( )F x,由拉格朗然中值定理同样可得,存在 12 ( ,(0,1) ,使得 2 21 212121 11 (1)1 ()() ( )0 c c FF cc F + + = , 即( )20 f +;结论得证. 22. 已知向量组（） 23 2 111 = 1= 0 ,=2 443a + 1 ， （） 2 123 101 1,2,3, 313aaa = + ，若向量组（）和向量组（）等价， 求a的取值，并将 3 用 23 , 1 线性表示. 【解析】令 123 (,)=A , 123 (,)=B ，所以， 2 1 a= A， 2 2(1)a=B. 因向量组I与II等价，故( )( )( ,)rrr=ABA B，对矩阵( ,)A B作初等行变换.因为 2222 111101111101 ( ,)102123011022. 4433 130011 11aaaaaaaa = + A B 当1a =时，( )( )( ,)2rrr=ABA B；当1a = 时，( )( )2rr=AB，但( ,)3r=A B； 当1a 时，( )( )( ,)3rrr=ABA B. 综上，只需1a 即可. 因为对列向量组构成的矩阵作初等