东南大学出版社孙志忠版《数值分析》习题答案.pdf

习题 1 1 以下各表示的近似数，问具有几位有效数字？并将它舍入成有效数。 （1）451.023， 451.01； * 1 x 1 x （2）0.045 113， 0.045 18； * 2 x 2 x （3）23.421 3， 23.460 4； * 3 x 3 x （4） * 4 x 3 1 ， 0.333 3； 4 x （5）23.496， 23.494； * 5 x 5 x （6）96， 96.1； * 6 x 5 10 6 x 5 10 （7）0.000 96， 0.96 * 7 x 7 x 3 10； （8）8 700， 8 700.3。 * 8 x 8 x 解：(1) 451.023 = * 1 x= 1 x451.01 = 1 * 1 xx0.013 1 10 2 1 ，具有 4 位有效数字。451.0 1 x 1 x (2) 0.045 113 = * 2 x= 2 x0.045 18 =x时； (3) x x x+ +1 1 21 1 , 当1 x f 03 3 5 3 10 3)5 3 5 ( 3 5 ) 3 5 (=f， 03)0(= x 迭代格式(I)发散 2) 35 3 += xx, 3 35 +=xx, 构造迭代格式 3 1 35+= +kk xx， (II) 3 2 35)(+=xx， 3 2 3 2 2 )35( 1 3 5 5)35( 3 1 )( + =+= x xx 当 3 , 2x时 1 3 1 125 1 3 5 169 1 3 5 )325( 1 3 5 )( 33 3 2 2 x f 02 . 0 3 2 3 3 2 . 0) 1 3 1 ( 3 1 ) 3 1 (=f 2 . 0)0(=f 02 . 0 3 2 3 3 ) 3 1 (=f 3 1 , 1 * 1 x， 0 , 2 1 * 2 x， 2 , 1 * 3 x 1)2 . 0 3 = xx 迭代格式 ， 2 . 0 3 1 = +kk xx , 2 . 0)( 3 = xx03)( 2 =xx 当0 , 2 1 x时， 4 3 )( x ， 0 , 2 1 2 . 0, 2 . 0 8 1 )0(), 2 1 ()(= = iii n i i xxx 00= ii xx，ni, 2 , 1L= 0, 2 , 1, 0=xnixiL o 2 R xxxx i n i ii n i i = = 11 o 3 , n Rx n Ry i n i ii n i iii n i iii n i i yxyxyxyx = +=+=+ 1111 )( yx+= 所给 i n i i xx = = 1 为 n R上的一个范数 18.设 n Rx。证明 (1) 212 xnxx ; (2) xnxx 1 ; (3) xnxx 1 。 解： (1) xxxxx n i i n i i n i i = =1 2 11 2 2 )( 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 )(1(xnxnxxx n i i n i i n i n i i = = (2) xxxx n i ii ni = = 1 1 max 1 = =xnxnxx i ni n i i 1 1 1 max (3) 2 1 2 1 maxxxxx n i ii ni = = = = xnxnxx i ni n i i 2 1 1 2 2 )max( 19. 设 A= 121 012 101 求 A， 1 A， 2 A及， 。 )(Acond 2 )(Acond 解： 4= A,4 1 =A = = 222 250 206 121 012 101 101 210 121 AAT 0164413 222 250 206 23 =+= = AAE T 0164413)( 23 =+=f44263)( 2 +=f Newton迭代格式 44)263( 16)44)13( )( )( 1 + + = = + kk kkk k k k kk f f 45 0 = 5136.31 1 = 5495.22 2 = 9586.15 3 = 29633.12 4 = 94299. 9 5 = 48979. 8 6 = 66765. 7 7 = 29312. 7 8 = 19629. 7 9 = 189534. 7 10 = 189534. 7 11 = 00002033. 0)22546. 2810466. 5)(189534. 7()( 2 +=f 189534. 7 1 = 398207. 5 2 = 412259. 0 3 = 68133. 2 1 2 =A = 4 1 2 1 4 5 2 1 0 2 1 4 1 2 1 4 1 1 A , 2 1 = A 824)( 1 = AAACond 17605. 4 412259. 0 189534. 7 )( 2 =ACond 20. 设 qP AA,为 nn R 上任意两种矩阵(算子)范数，证明存在常数 1 c ，使得 0 2 c Pqp AcAAc 21 对一切 nn RA 均成立。 解：由向量范数的等价性知道存在正常数使得 21,m m pqp xmxxm 21 pqp AxmAxAxm 21 对 n Rx成立，于是 当0x时， p q p p p q q A m m x Ax m m xm Axm x Ax 1 2 1 2 1 2 = 即 p q q A m m x Ax 1 2 由此可以得到 p q q x Rx q A m m x Ax A n 2 1 0 max= 同理，当0x时 q q q q q p p A m m x Ax m m x m Ax m x Ax 1 2 1 2 2 1 1 1 = q p p x Rx p A m m x Ax A n 1 2 0 max= 即 qp AA m m 2 1 综合 得 pqp A m m AA m m 1 2 2 1 即 pqp AcAAc 21 其中 2 1 1 m m c=， 1 2 2 m m c= 22. 设，证明 nn ij RaA =)( = n i n j ij aA 11 2 2 2 解： )( ij aA= = = = = = n j j n i n j j n j ij x Rx n j j n i n j jij x Rx x Rx x xa x xa x Ax A nnn 1 2 11 2 1 2 0 1 2 1 2 1 0 2 2 2 2 0 2 2 )( max )( maxmax = = n i n j ij a 11 2 = n i n j ij aA 11 2 习题三 (第 24、25、26、27、29、31、33 题) 24.设 nn RA ，证明当1)(=g 3 1 124 6 1 )2(=+=g 1212 6 1 1 6 1 22 + ,)626 , 0( )( S 1 )2 ,626( 当 )626 , 0( + += 12122 122 1212 6 1 1 3 1 )( 2 2 S 1212 61212 6 1 1 3 1 2 22 + + += 12123 69 1 3 1 2 2 + + += 现用分析法证明 当)626 , 0(时 0)( 2 57 2 9 2 57 2 9 当 ) 2 579 , 0( 时 )1212()3()69( 2222 + )1212)(96()69( 2222 + 10812183681 2324 + 1081089727261212 223234 + 7272 1 2 626 )23(6251626| )(= = S )( S 1212 6 1 1 6 1 22 + 1 1 625 1 626 2 626 = opt 625)(= opt 习题四 (第 1、2、4、5、6、7、11、13、14、16、17 题) 1. 给定xxf=)(在144,121,100=x 3 点处的值，试以这 3 点建立)(xf 的2次(抛物)插值公式，利用插值公式115求的近似值并估计误差。再 给13169 =建立3次插值公式，给出相应的结果。 解：xxf=)( 2 1 2 1 )( =xxf ， 2 3 4 1 )( = xxf , 2 5 8 3 )( = xxf, 2 7 )4( 16 15 )( =xxf ，72380529.10)115(=f 100 0 =x， ， 121 1 =x144 2 =x， 169 3 =x 10 0 =y， ， 11 1 =y12 2 =y ， 13 3 =y )( )( )( )( )( )( )( 1202 10 2 2101 20 1 2010 21 02 xxxx xxxx y xxxx xxxx y xxxx xxxx yxL + + = )121144)(100144( )121115)(100115( 12 )144121)(100121( )144115)(100115( 11 )144100)(121100( )144115)(121115( 10)115( 2 + + =L = 2344 )6(15 12 )23(21 )29(15 11 )44)(21( )29)(6( 10 + + 72276.1006719. 190683. 988312. 1=+= )()( ! 3 )( )()( 2102 xxxxxx f xLxf = ，144100 )44115()121115()100115()(max 6 1 )115()115( 144100 2 xfLf x 2961510 8 3 6 1 5 001631. 0101631. 0 2 = 实际误差 2 2 101045. 0)115()115( = Lf )()( )()( )()( )()( )( 312101 320 1 302010 321 03 xxxxxx xxxxxx y xxxxxx xxxxxx yxL + = )()( )()( )()( )()( 231303 210 3 321202 310 2 xxxxxx xxxxxx y xxxxxx xxxxxx y + + )169100()144100()121100( )169115()144115()121115( 10)115( 3 =L )169121()144121()100121( )169115()144115()100115( 11 + )169144()121144()100144( )169115()121115()100115( 12 + )144169()121169()100169( )144115()121115()100115( 13 + )48()23(21 )54()29(15 11 )69()44()21( )54()29()6( 10 + = 254869 )29()6(15 13 )25(2344 )54()6(15 12 + + 723571.10409783. 0305138. 2145186.11473744. 1=+= )()()( ! 4 )( )()( 3210 )4( 3 xxxxxxxx f xLxf= ，169100 )169115)(144115)(121115)(10115(10 16 15 24 1 )115()115( 7 3 Lf )54()29()6(1510 16 15 24 1 7 = 0005505. 0105505. 0 3 = 实际误差 3 2 1023429. 0)115()115( = Lf 2. 设为互异节点 j x), 1 , 0(njL=求证： (1) k n j j k j xxlx= = )( 0 ), 1 , 0(nkL=; (2) 0)()( 0 = = xlxx j k n j j ), 1(nkL=。 解：(1) 考虑函数 以为插值节点的 次插值多项式，由插值余项公式有 )0( ,)(nkxxg k h = n xxx, 10 L n 0)( )!1( )( )( 0 ) 1( 0 = + = = + = = i i nk j n j k j k xx n x xlxx x , k j n j k j xxlx= = )( 0 nk 0 (2) 法1 当nk 1时 )()()()()( 000 xlxxCxlxx j lkl j n j k l l kj n j k j = = )()()( 00 xlxxC j n j l j lk k l l k = = = 00)()( 0 =+= = kkllk k l l k xxxxC 法2 设 ， k txxg)()(=nk 1考虑它的次插值多项式 n 有 ， k j n j k j txxltx)()()( 0 = = nk 1 令 xt =得 ， = = n j j k j xlxx 0 0)()(nk 1 4. 设，且,)( 2 baCxf=0)()(=bfaf，求证： )(max)( 8 1 )(max 2 xfabxf bxabxa 解： 考虑)(xf以bxax= ,为节点的一次插值多项式， 则有 )( 1 xL 0)()()( 1 = + = ab ax bf ba bx afxL )( 2 )( )()()( 1 bxax f xLxfxf = ， 当,bax时 ),(ba 于是 )(max)( 8 1 )(max)(max 2 1 )( 2 xfabbxaxxfxf bxabxabxa = ,bax )(max 8 )( )(max 2 xf ab xf bxabxa 法2 设)(xf在处达到最大值，如果,bacac =或 bc = 则结论显然成立，现设),(bac 则有0)(= c f 0)()( 2 1 )()( 1 2 = +=fcacfaf ),( 1 ca 0)()( 2 1 )()( 2 2 = +=fcbcfbf ),( 1 bc 当) 2 ,( ba ac + 时， )(max 8 )( )()( 2 1 )( 2 1 2 xf ab fcacf bxa = 当), 2 (b ba c + 时， )()( 2 1 )( 2 2 fabcf = 5.设有个不同的实根, nn nn axaxaxaxf+= 1 1 10 )(L n xxx, 21 L 证明: = = 1 0 1 0 )(axf x n jj k j 1 20 = nk nk 。 解：由于是 n xxx, 21 L)(xf的个不同的实根，所以n)(xf可为 = = n ji i ij n i i xxxxaxxaxf 1 0 1 0 )()()()( += = = n ji i ij n ji i i xxxxxxaxf 11 0 )()()()( = = n ji i ijj xxaxf 1 0 )()( 因而 = = = = n j n ji i ij k j n ijj k j xx x axf x 1 1 0 )( 1 )( (*) 法 1 记 ，则 k k xxg=)( )!1( )( , )( )( )( ) 1( 21 1 1 1 1 = = = = = = n g xxxg xx kg xx x n k nk n j n ji i ij jk n j n ji i ij k j L = 1 0 1 20 = nk nk 将上式代入(*)得 = = n jj k j xf x 1 )( , 1 , 0 0 a 1 20 = nk nk 法2 考虑以为插值节点的)(xgk n xxx, 21 L1n次插值多项式， 则有 = = n ji i ij n ji i i n j k j xxxxx 111 )()( k x=，10nk 比较两边 1n x的系数，得 = = = n j n ji i ij k j xx x 1 1 )( 0 1 20 1 = nk nk 6. 设有函数值表 x 1 3 4 6 7 9 9 7 6 4 3 1 y 试求各阶差商，并写出Newton插值多项式。 解： 9 7 6 4 3 1 1 3 4 6 7 9 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) 1)(1(9)( 5 +=xxN 7.设，求及。 13)( 47 +=xxxxf2 ,2 ,2 710 Lf2 ,2 ,2 810 Lf 解：1 ! 7 )( 2,2 ,2 )7( 710 = f fL，0 ! 8 )( 2 ,2,2 ,2 )8( 8710 = f fL 11. 设互不相同， n xxx, 10 L (1) 作次多项式满足 12+n)(xai ijji xa=)( , 0)(= ji xa ()0nj (2) 作多项式12+n)(x i 满足 0)(= ji x , ijji x=)( (nj 0) 解：由条件 0)(, 0)(= jiji xx jn0,ij 可设 )()( iiii xxBAx+=)( 2 xli 再由 1)(= ii x 得 1)( 2 = iiii AxlA 对)(x i 求导得 )()()( 2 iiiiii xxBAxlBx+=)()(xlxl ii 由 0)(2)(2)(=+=+= iiiiiiiii xlBxlABx 得 )(2 iii xlB= 于是 )()(21 )( 2 xlxlx iiii = 2) 由 0)(= ji x，jn0 0)(= ji x，nj 0，ij 可设 )()()( 2 xlxxCx iiii = 求导得 )()(2)()()( 2 xlxlxxxlCx iiiiii += 求 1)(= ii x 得 1= i C 于是 )()()( 2 xlxxx iii = 13. 给定。设 x exf=)(0=x是4重插值节点，1=x是单重插值节点， 试求相应的Hermite插值公式，并估计误差)1 , 0(x。 解：1)0(=f，1) 1 (= f 1) 1 (= f ，1) 1 (= f ，ef=) 1 ( 1 0 0 0 0 e 1 1 1 1 2 1 1 1 e 2 2 1 2 1 e 2 5 6 1 e 3 8 e 432 4 ) 3 8 ( 6 1 2 1 1)(xexxxxH+= ) 1( ! 5 ) 1()0( ! 5 )( )( 44 )5( =xx e xx f xR ) 1( ! 5 )( 4 xx e xR 00186 . 0 08192 . 0 120 718. 2 5 1 ) 5 4 ( ! 5 )(max 4 10 = e xR x 14. 在上求插值多项式，使得 ba,)( 3 xH )()( 3 afaH=, )()( 3 afaH=, )()( 3 afaH = , )()( 3 bfbH = 解： 作满足 )( 2 xH )()( 2 afaH=)()( 2 afaH=，)()( 2 afaH = ， 则 2 2 )( 2 1 )()()(axafaxafafxH += 令 ， (*) )()()( 23 xHxHxg= 则 0)(=ag，0)(= a g，0)(= a g 又 )(xg为3次多项式，故 3 )()(axAxg= 代入(*)得 )()()( 23 xgxHxH+= 32 )()( 2 1 )()(axAaxafaxafaf+ += (*) 求2阶导数得 )()()( 3 axbAafxH+ = 由 得 )()( 3 bfbH = )()()(bfabbAaf =+ 解得 ab afbf A = )()( 6 1 因而 2 3 )( 2 1 )()()(axafaxafafxH += 3 )( )()( 6 1 ax ab afbf + 16设 2 251 1 )( x xf + =，在11x上取20=n，按等距节点求分段 线性插值函数，计算各相邻节点间中点处的与)(xIh)(xIh)(xf的值， 并计算误差。 解：1 . 0 20 2 =h，,1 . 011iihxi+=+=200i )( 2 1 1 2 1+ + += ii i xxx，190i )( )()( )()( 1 1 i ii ii ih xx xx xfxf xfxI += + + ， 1+ ii xxx， 19, 2 , 1 , 0L=i )()( 2 1 )( 1 2 1+ + += ii i h xfxfxI，190i 各相邻节点间中点处的的值)(xIn)(xf的值及误差列于下表 i 2 1 +i x )( 2 1 +i h xI )( 2 1 +i xf )()( 2 1 2 1 + i n i xIxf 0 0.0427602 0.0424403 0.0003199 95. 0 1 0.0529412 0.0524590 0.0004822 85. 0 2 0.0671476 0.0663900 0.0007576 75. 0 3 0.0877358 0.0864865 0.0012493 65. 0 4 0.1167883 0.0021772 55. 01189655 . 0 5 0.1689655 0.1649485 0.0040170 45 . 0 6 0.2538162 0.2461538 0.0076924 35. 0 7 0.4038462 0.3902439 0.0136023 25. 0 8 0.65 0.64 0.01 15. 0 9 0.9 0.0411765 05. 0 9411765. 0 9411765. 0 10 0.9 0.64 0.0411765 05. 0 11 0.15 0.65 0.3902439 0.01 12 0.25 0.4038462 0.2461538 0.0136023 13 0.35 0.2538462 0.1649485 0.0076924 14 0.45 0.1689655 0.1167883 0.004017 15 0.55 0.1189655 0.0864865 0.0021772 16 0.65 0.0877358 0.0663900 0.0012493 17 0.75 0.0671476 0.0524590 0.0007576 18 0.85 0.0529412 0.0424403 0.0004822 19 0.95 0.0427602 0.0003199 17. 欲使线性插值具有4位有效数字。在区间0,2上列出函数的 具有五位有效数字的等距节点的函数值表，问步长最多可取多大？ x esin 解： ， ihxi=ni 0 n h 2 =。 ， x exf sin )(=xexf x cos)( sin = xexexf xx sincos)( sin2sin = sinsin1 2sin xxe x = ， 1 2 uueu=xusin= )(ug= 当 1 , 02 , 0ux时， ii i i ii i i xx xx xf xx xx xfxL + = + + + + 1 1 1 1 1 )()()( h xx xf h xx xfxL i i i i + = + + )()()( 1 1 1 )()()()()()( 1 11 1 xLxLxLxfxLxf+= h xx xfxf h xx xfxfxxxxf i ii i iiiii + + = + + + )()( )()()()( 2 1 1 1 1 1 10 2 1 )(max 8 1 )()(max 142 1 11 h xx h xx xfhxLxf ii xxxxxx iiii + + + + 0)3()3()21()1 ()( 22 +=+= uuuu euuuueueuueug 1)0(=g, eg=) 1 (, eugxf ux = )(max)(max 1020 42 1 10 2 1 8 1 )()(max 1 + + ehxLxf ii xxx 342 10 2 1 10 2 1 8 1 +eh 4432 1091010 4 1 =eh e h 2 106 即 只要 e h 2 106 习题四 （第 18、19、30、31、33、34、35、36 题） 18. 求在0,5上的分段 3 次 Hermite 插值，并估计误差()。 4 )(xxf=1=h 解： ， ixi=5 , 2 , 1 , 0L=i 当时 ),( 1+ ii xxx 2 1 2 )4( )( 3 )()( ! 4 () )( + = ii i xxxx f Hxf，. 4 , 3 , 2 , 1 , 0=i ， 2 1 2 )()( + = ii xxxx, 1+ ii xxx ， 224)( 3 ) 1()(=ixixxH i , 1+ ii xxx 19.给定下列函数值表 0 1 2 i 3 4 6 i x 6 0 2 i y 1 i y 1 求3次样条插值函数。 解： , , 3 0 =x4 1 =x6 2 =x , , 6 0 =y0 1 =y2 2 =y 1 0 = y 1 2 = y 1 010 =xxh, 2 121 =xxh, 3 1 1 =u, 3 2 1 = 7, 110 =xxxf, 3 7 , 210 =xxxf, 1, 221 =xxxf 6 6 4 3 3 2 2 0 6 6 1 1 6 1 1 3 7 7 210 3 2 2 3 1 012 = = 6 14 42 1 3 7 7 6 2 1 0 M M M 解得 667.28 3 86 0 =M，333.15 3 46 1 =M，667.10 3 22 2 =M 将代入插值函数表达式中 得 210, MMM和 =)(xS ,)4( 6 13 )4( 3 23 )4( 3 17 ,)3( 3 22 )3( 3 43 )3(6 32 32 + + xxx xxx 6 , 4 4 , 3 x x 30. 观测物体的直线运动，得出以下数据： st 0 0.9 1.9 3.0 3.9 5.0 ms 0 10 30 51 80 111 求运动方程。 解： 设 , 2 210 )(tctcctS+=1)( 0 =t,tt =)( 1 , 2 2 )(tt = = 1 1 1 1 1 1 0 , , = 0 . 5 9 . 3 0 . 3 9 . 1 9 . 0 0 1 = 25 21.15 9 61. 3 81 . 0 0 2 = 111 80 51 30 10 0 S , 6),( 00 = 7 .14),( 10 = , 63.53),( 11 = 907.218),( _ 21 = 63.53),( 20 = 032.951),( 22 = 282),( 0 = s 1086),( 1 = s 2 .4567),( 2 = s 正规方程为 032.951907.21863.53 907.21863.537 .14 63.537 .146 = 2 .4567 1086 282 2 1 0 c c c 6184. 0 0 =c，1607.11 1 =c2683. 2 2 =c 2 2683. 2160.116184. 0)(ttts+= 均方误差 0245.19)( 6 1 2 = = i ii stsss 31. 用最小二乘法，求一个形如的经验公式，使它与下列数 据拟合，并计算均方误差： 2 bxay+= x 19 25 31 38 44 y 19.0 32.3 49.0 73.3 97.8 解： i 1 2 3 4 5 i x 19 25 31 38 44 i y 19.0 32.3 49.0 73.3 97.8 1)( 0 =x, 2 1 )(xx = , 5)(),( 5 1 2 000 = =i i x5327)()(),( 2 0 5 1 010 = = ii i xx 7277699),( 11 =, 4 .271),( 0 =y 5 .369321),( 1 =y 正规方程组 72776995327 53275 = 5 .369321 4 .271 b a 列主元Gauss消去法得到 050035 . 0 =a,972748. 0=b 经验公式 2 972748. 0050035. 0xy+= 12257. 0)( 5 1 2 = =i ii yxy 33. 设已知一组实验数据 x 2.2 2.6 3.4 4.0 1.0 65 61 54 50 90 y 试用最小二乘法确定拟合模型中的参数。 b axy =ba, 解： i 1 2 3 4 5 2.2 2.6 3.4 4.0 1.0 i x 65 61 54 50 90 i y b axy = xbaylnlnln+= 令 yYln=，xtln=，则有 tccY 10 +=，其中acln 0 =， bc = 1 实验数据转化为 i 1 2 3 4 5 0.342 0.415 0.531 0.602 0 ii xtln= 1.813 1.785 1.732 1.699 1.954 ii yYln= 正规方程组 983. 889. 15 10 =+cc 303311. 3933554. 089. 1 11 =+cc , 421. 0 1 =c956. 1 0 =c 即 956. 1ln=a071. 7 956. 1 = ea 421. 0 1 = cb 经验公式为 421. 0 071. 7 =ey 34. 试用最小二乘法，求解下列超定方程组： 42 21 =+xx 52 21 =+ xx 622 21 =+xx 22 21 =+xx 43 21 = xx 解：将该方程组两边同时左乘以 T A，得 12212 31221 = 12212 31221 13 21 22 12 21 4 2 6 5 4 143 319 = 25 36 2 1 x x 解得 42802. 1 2 =x，66926. 1 1 =x 最小二乘解为 42802. 1 66926. 1 35. 求，使ba,dxbxax +2 0 2 )(sin 为最小，并与26题结果作比较。 解： xxfsin)(=， bxaxp+=)(， 1)( 0 =x，xx =)( 1 =2 0 2 00 2 1),( dx ， 2 2 0 10 8 1 ),( =xdx， =2 0 3 2 21 24 ),( dxx =2 0 0 cossin),( xxdxf1 2 0 = =2 0 2 0 1 cos)cos(sin),( xxxxdxdxxf =+2 0 2 0 sincos xxdx1 2 0 = 正规方程组为 248 8 1 2 32 2 = 1 1 b a 11477. 0)3( 8 2 = a, 66444. 0)4( 24 ) 4 1 1 ( 96 33 = b xxp66444. 011477. 0)(+= 36. 设，在中求, 1 42 3 xxSpanM = 3 Mxxf=)(在1,1上的最佳平方 逼近多项式。 解： , 1 42 3 xxSpanM =1)( 0 =x， 2 1 )(xx = 4 2 )(xx = )()()()( 210 xcxbxaxp+= xxf=)(， 1 , 1 = 1 1 2 00 21),(dx， 5 2 ),( 1 1 4 11 =dxx， 9 2 ),( 1 1 8 22 =dxx 3 2 ),( 1 1 2 10 =dxx， 7 2 ),( 1 1 6 21 =dxx， 5 2 ),( 1 1 4 20 =dxx 12),( 1 1 1 0 0 = xdxdxxf， 2 1 2),( 1 1 1 0 32 1 = dxxdxxxf 3 1 2),( 1 0 5 1 1 4 2 = dxxdxxxf 正规方程组 9 2 7 2 5 2 7 2 5 2 3 2 5 2 3 2 2 = 3 1 2 1 1 c b a 15 2 225 32 105 16 0 6 1 105 16 45 8 0 1 5 2 8 3 2 3 1 9 2 7 2 5 2 2 1 7 2 5 2 3 2 1 5 2 3 2 2 13 12 5 1 3 1 rr rr 105 1 715 128 00 6 1 105 16 45 8 0 1 5 2 3 2 2 22 7 6 23 rr 8203 . 0 128 105 =c 6406 . 1 64 105 88 715 824 745 = = =b 1172 . 0 128 15 3212 45 3212 2105385 = = =a =),(cba1172 . 0 ( 6406. 1)8203 . 0 所求最佳平方逼近多项式为 42 8203. 06406. 11172. 0)(xxxp+= 习题五（第 1、2、3、5、7、9、10、12、21 题） 1导出如下 3 个求积公式，并给出截断误差的表达式。 (1) 左矩形公式： b a abafdxxf)()( (2) 右矩形公式： )()(abbfdxxf b a (3) 中矩形公式： + b a ab ba fdxxf)( 2 ()( 解：(1) )()(afxf， )( )()()(abafdxafdxxf b a b a = = b a b a b a b a dxafxfdxafdxxfabafdxxf)()()()()()( ),()( 2 1 )()()( )( 2 fabdxaxfdxaxf b a b a = ),(,ba (2) )()(bfxf， = b a b a abafdxbfdxxf)()()( = b a b a b a b a dxbfxfdxbfdxxfabbfdxxf)()()()()()( )()( 2 1 )()()( )( 2 fabdxbxfdxbxf b a b a = ，),(,ba (3) 法 1 ) 2 ()( ba fxf + ， + = + b a b a ab ba fdx ba fdxxf)( 2 () 2 ()( + b a ab ba fdxxf)( 2 ()( + = b a b a dx ba fdxxf) 2 ()( dx ba fxf b a + =) 2 ()( dx ba xf ba x ba f b a + + + + = 2 ) 2 )( 2 1 ) 2 )( 2 ( dx ba xfdx ba x ba f b a b a 2 ) 2 ()( 2 1 ) 2 () 2 ( + + + + = 3 )( 24 1 abf = 法 2 可以验证所给公式具有 1 次代数精度。作一次多项式 )(xH 满足 ) 2 () 2 ( ba f ba H + = + ，) 2 () 2 ( ba f ba H + = + ，则有 ) 2