若干周期性复合材料结构数学均匀化方法的计算精度.pdf

航空学报 A C t aA e r o n a u t i c ae tA s t r o n a u t i c aS i n i c a M a y2 52 0 1 5V 0 1 3 6N o5 1 5 2 0 - 1 5 2 9 I S S N1 0 0 0 6 8 9 3O N11 1 9 2 9 V h t t p ：h k x b b u a a e d u c n h k x b b u a a e d u C 1 3 D O I ：1 0 7 5 2 7 S 1 0 0 0 一6 8 9 3 2 0 1 4 0 2 1 6 若干周期性复合材料结构数学均匀化方法的 计算精度 邢誉峰* ，陈磊 北京航空航天大学航空科学与工程学院，北京 1 0 0 1 9 1 摘要：数学均匀化方法( M H M ) 一般需要通过有限元方法( F E M ) 来实现，摄动阶次和单元阶次直接影响计算结果。在 解耦格式中，各阶摄动位移是相应阶次的影响函数和均匀化位移导数的乘积。单元阶次的选取取决于影响函数和均匀 化位移的精度要求，而摄动阶次的选取则主要依赖于虚拟载荷的性质和均匀化位移各阶导数的计算精度；针对周期性复 合材料杆的静力学问题，在施加不同阶次的载荷时，通过选择合适阶次的单元和摄动阶次得到了精确解。使用类似的方 法研究了2 D 周期性复合材料静力学问题，指出了四边固支作为周期性单胞边界条件以及宏观位移求导精度对计算结 果将有很大的影响。强调了二阶摄动对数学均匀化方法计算精度的作用；在数值结果中，应用最小势能原理评估了各阶 摄动数学均匀化方法的计算精度，数值比较结果验证了结论的正确性。 关键词：周期性复合材料结构；数学均匀化方法；摄动阶次；单元阶次；势能泛函 中图分类号：V 2 1 4 8文献标识码：A文章编号：1 0 0 0 6 8 9 3 ( 2 0 1 5 ) 0 5 1 5 2 0 1 0 复合材料具有比强度高、比刚度大等优点，广 泛应用于航天、航空等工业领域。众所周知，对于 很多复合材料的宏观解，如低阶频率和模态，可以 使用等应变模型或等应力模型 1 及其他均匀化方 法 2 。相对于宏观分析，细观分析要复杂很多。 为了在计算精度和效率之间达到平衡，各种多尺 度方法相继被提出，例如数学均匀化方法 ( M H M ) 3 。4 | 、广义有限单元方法( G F E M ) 5 省 、多 尺度有限单元方法( M s F E M ) 7 - 8 、异类多尺度方 法( H M M ) 9 。1 们以及多尺度特征单元方法 ( M E M ) 1 卜1 2 ，在这些方法当中，数学均匀化方法 具有代表性，很多文献( 如文献 1 3 文献 2 1 ) 对该方法都作了详细的阐述。但到目前为止除了 笔者发表的文献 2 2 外，没有其他文献研究在使 用该方法时如何选择单元阶次和摄动阶次以满足 计算精度的要求。 文献 2 2 研究了单元阶次和摄动阶次对多尺 度渐进展开方法( 数学均匀化方法之一) 计算精度 的影响，为单元阶次和摄动阶次的选择提供了依 据；应用最小势能原理评估了各阶渐进展开方法 的计算精度。 本文在文献 2 2 的研究基础上，详细探讨了 一维问题的均匀化位移各阶求导精度与均匀化位 移阶次以及单元阶次之间的关系，指出了决定摄 动阶次选取的因素，考虑了细观结构更加复杂的 单胞模型；强调了摄动小参数和单元阶次对2 D 周期性复合材料结构计算精度的影响，指出了四 边固支作为单胞边界条件对一维问题和二维问题 收稿日期：2 0 1 4 0 5 2 1 ；退修日期：2 0 1 4 0 6 2 7 ；录用日期：2 0 1 4 - 0 9 - 0 5 ；网络出版时间：2 0 1 4 0 9 - 2 3 1 4 ：3 7 网终出版地址：W W W c n k i n e t k c m s d o i 1 0 7 5 2 7 $ 1 0 0 0 6 8 9 3 2 0 1 4 0 2 1 6 h t m I 基金项目：国家自然科学基金( 1 1 1 7 2 0 2 8 ，1 1 3 7 2 0 2 1 ) ；高等学校博士学科点专项科研基金( 2 0 1 3 1 1 0 2 1 1 0 0 3 9 ) ；北京航空航天大学基本科 研业务费博士研究生创新基金( Y W F - 1 4 - Y J S Y 一0 1 9 ) * 通讯作者T e l ：0 1 0 8 2 3 1 9 9 6 4E m a i l ：x i n g y f b u a ae d u c n 戡甬撂武iX i n gYF 。C h e nL A c c u r a c ya n a l y s mo f m a t h e m a t i c a lh o m o g e n i z a t i o nm e t h o df o rs e v e r a lp e r i o d i c a lc o m p o s i t es t r u c t u r e L J J A c t a A e r o n a u t i c ae t A s t r o n a u t i c aS i n i c a 2 0 1 5 3 6 ( 5 ) ：1 5 2 0 1 5 2 9 i 邢誉峰睬磊i 若f 周期性复合材料结构数学均匀化方法的计 算精庹 J 航空学摄2 0 1 5 3 6 ( 5 ) ：1 5 2 0 - 1 5 2 9 万方数据 邢誉峰等：若干周期性复合材料结构数学均匀化方法的计算精度 的不同影响。 1 解耦数学均匀化方法 二维周期性复合材料的控制方程为椭圆型偏 微分方程 f 砉( c x ，丢( 罄+ 豢) ) + 似，一o t 剐：誓破 式中：E 。( i ，歹，m ，咒一1 ，2 ) 为4 阶弹性张量， 小参数为单胞尺寸和宏观结构尺寸的比值；f l 为外载荷；实际位移U 。的渐进展开形式是细观尺 度和宏观尺度的函数，即 “乞( x ) = “。0 ( 工) + 铡茏( 工，y ) + e 2 “象( x ，y ) + 式中：“：l 为由均匀化模型得到的均匀化位移，变 量X 和Y x A 分别为慢( 宏观) 尺度和快( 微观) 尺度。当e i 时，变量Y 比X 变化更快，并且在 微观尺度下考虑问题时，可将工看做常数，即将X 和Y 看成独立变量，这就实现了尺度分离。摄动 位移“皇( x ，j ，) 在单胞尺度Y 上具有周期性。 表1 给出了二维周期性复合材料的前3 阶摄 动位移的解耦形式以及影响函数的控制方程，其 中：E H 为均匀化弹性模量；控制方程中的算子 V ，和V 靠分别为散度和梯度。影响函数X 是 单胞尺度( 微观尺度) Y 的函数，而均匀化位移及 其各阶导数只依赖于宏观尺度X 。 表1 二维周期性复合材料的摄动位移和影响函数的控 制方程 T a b l e1P e r t u r b e dd i s p l a c e m e n t sa n dg o v e r n i n ge q u a t i o n s o fi n f l u e n c ef u n c t i o n sf o r2 Dp e r i o d i c a lc o m p o s i t e P e r t u r b e dd i s p l a c e m e n t G i o n v f l u e e r n i n n c g ee f q u u n a c t i o t i o n n s o f “：( j ，Y ) = z 乞c y ，掣 V y ，( 目。V zk l l 。( y ) ) = V ，皤。 “：( x ，J ，) ： V 。皤m ”V z 等一 般，裟。- - v V 斌y j E ：j m 篙k l 卜- - E “二( x ，y ) 一 V y j 峨m nV x 鬈9 ( y ) 一 呓，一3 3 u 2 x ) 豢羹燮赢 从摄动位移的解耦形式和影响函数的控制方 程可以看出： 1 ) 摄动位移的解耦形式是影响函数和均匀 化位移导数的乘积，影响函数是通过求解单胞问 题得到的，均匀化位移是通过求解外载荷作用下 的均匀化模型得到的。 2 ) 1 阶影响函数右端项的虚载荷V 。E E 为线性载荷，是由材料参数决定的，只在基体和夹 杂交界线及单胞边界上非零；2 阶影响函数右端 项的虚拟载荷为面载荷，其中的E 锄一E 暴州也是 由材料参数决定的；但是3 阶或更高阶影响函数 右端项不再含有只由材料参数决定的部分，所以 可以认为1 阶和2 阶摄动项都是摄动主项，如果 忽略了2 阶摄动项将会对M H M 计算精度造成 很大的影响。 3 ) 解耦后的均匀化位移和影响函数相互独 立，所以可以使用不同阶次的单元分别计算。一般 来说，即使用相同单元时，二者的计算精度也不同。 对于周期性复合材料杆来说，可以选择不同阶次的 单元进行计算得到精确的影响函数和均匀化位移。 4 ) 实际位移包含了均匀化位移的各阶导数， 其计算精度直接影响数学均匀化方法的计算结 果，而求导精度与单元阶次相关。 2 周期性复合材料杆的静力问题 对应于一维问题，表1 变成了表2 ，其中给出 了杆单胞摄动位移的解耦形式和影响函数控制方 程，从中可以看出： 1 ) 1 阶影响函数控制方程的右端项为虚拟 集中载荷，分布在基体和夹杂的交界处，2 阶和3 阶影响函数控制方程右端项为虚拟分段均布载荷 和分段线性载荷，所以在基体或夹杂区域内，、 兄和Z 。分别为线性、二次和三次函数。 2 ) 可以分别使用线性、二次和三次杆单元得 到Z 。、Z 。和；( 。的精确解，当然使用更高阶次的 单元同样可以得到精确解。 均质杆的宏观位移阶次比外载荷阶次高2 阶，所以可以选择相应阶次的单元求得精确解，如 在均布载荷作用下，宏观位移精确解是二次的，使 用二次杆单元计算的结果就是精确的。 在计算摄动位移时需要求解均匀化位移的各 万方数据 1 5 2 2航空学报M a y2 52 0 1 5V 0 1 3 6N o 5 表2 周期性复合材料杆摄动位移和影响函数控制方程 T a b l e2P e r t u r b e dd i s p l a c e m e n t sa n dg o v e r n i n ge q u a t i o n s o fi n f l u e n c ef u n c t i o n sf o rap e r i o d i c a lc o m p o s i t e r o d P e r t u r b e dG o v e r n i n ge q u a t i o n d i s p l a c e m e n t o fi n f l u e n c ef u n c t i o n s 阶导数，当求导阶次大于单元阶次时，可用式( 3 ) 进行计算。 a 7 “o0 N ，a 1U ? ， 万一刍百。石万 u 式中：r 为求导阶次；a r _ 1 甜? a z 1I 一一“? ；m 为 单元数量；N i 为单元节点形函数。 当求导阶次不高于单元阶次时，可以直接对 单元形函数进行求导，也可以使用式( 3 ) 计算。下 面算例说明单元阶次对宏观位移导数计算精度的 影响。 算例1 两边固支的均质杆长度为1 5m m ， 弹性模量为2 9 5 08G P a ，均匀划分为1 5 个单元。 在均布载荷，一1 0 5N m 作用下，分别使用线性 单元、二次单元和三次单元计算宏观位移的1 阶、 2 阶、3 阶导数。计算结果分别如表3 表5 所 示，从中可以看出： 1 ) 在均布载荷作用下，均质杆的精确解是二 次的，l 阶导数为线性函数，2 阶导数为常数，3 阶 导数为0 。 2 ) 使用二次单元或更高阶次的单元计算时， 对形函数直接求导或使用式( 3 ) 计算各阶导数都 可以得到精确解且只需求解到二次导数。 3 ) 使用线性单元时，在边界固支点处l 阶导 数不准确，如表3 和表4 中加粗数据所示，随着求 导阶次的提高，误差逐渐向内部节点扩展且越来 越大，内部节点的3 阶导数为0 。所以当单元阶 次小于均匀化位移的精确解阶次时，均匀化位移 的高阶求导精度是无法保证的。 表3 宏观位移的1 阶导数 T a b l e3F i r s t - o r d e rd e r i v a t i v e so fm a c r od i s p l a c e m e n t s 表4 宏观位移的2 阶导数 T a b l e4S e c o n d - o r d e rd e r i v a t i v e so fm a c r od i s p l a c e m e n t s E l e m e n t N o d en u m b e r t y p e 1234 - 1 31 41 51 6 表5 宏观位移的3 阶导数 T a b l e5T h i r d - o r d e rd e r i v a t i v e so fm a c r od i s p l a c e m e n t s 2 1 杆单胞问题 通过杆单胞静力学问题研究单元阶次和摄动 阶次对数学均匀化方法计算精度的影响，此时的 小参数e 一1 ，即单胞就是结构。文献 2 2 中给 出的单胞细观结构较为简单，为了研究复杂细观 结构M H M 的计算精度，本文给出了单胞内部夹 杂随机分布的复杂模型。 算例2 如图1 所示，两端固支的杆单胞的 基体和夹杂的弹性模量分别为E ，一2 9 7G P a 和 E 2 9 0 5 8 5G P a ，横截面积A 一0 2 5m m 2 ，长度 L 一1 5m m 单元长度Z 一1m m 。 图1 包含1 5 个单元的杆单胞模型 F i g 1Au n i tc e l lm o d e lo fr o dw i t h15e l e m e n t s 均匀化弹性模量为 E H 一糍 ( 4 ) 在单胞上施加不同阶次的载荷时，单元阶次 和摄动阶次对实际位移的影响如图2 所示，其中 万方数据 邢誉峰等：若干周期性复合材料结构数学均匀化方法的计算精度 1 5 2 3 F E M 为用有限元细网格模型得到的计算结果， M H M l M H M 4 分别为实际位移摄动到1 4 阶。为了准确评估各阶摄动的求解精度，计算杆 单胞在二次载荷作用下，M H M l M H M 4 和 F E M 的总势能泛函，结果如表6 所示。的计 算公式为 f I I U 1 + W U 一( H ) 1 K u ( 5 ) 厶 【w = 一( 旷) 1 ， 式中：U 和W 分别为应变能和外力势；K 为单胞 刚度矩阵。综合图2 和表6 可以得到： 1 ) 当单元阶次和摄动阶次都不小于精确解 l 岽差 呈薹 o E 兰 E 譬 五 苎 。 蔷董 基葛 苟g 呈 0 吾 凸 E E 兰 o x m m U n i f o r ml o a d ，I 厂= lN ，m E E ： C E 厶 苎 。 的阶次时，M H M 结果就是精确的。 2 ) 当单元阶次小于精确解的阶次时，无论摄 动到多高阶次，M H M 结果都是近似的。 3 ) 当单元阶次小于解析解阶次时，边界节点 位移精度随着摄动阶次的提高而降低，导致该现 象的原因是边界区域的节点均匀化位移求导精度 随着求导阶次的提高而降低。 4 ) 势能泛函越小说明计算结果越精确，当单 元阶次不小于精确阶的阶次时，M H M 的计算精度 随着摄动阶次的提高而提高。在二次载荷作用下， 杆单胞位移的解析解是四次的，但从表6 和图2 可 以看出即使用四次单元，M H M 3 的计算精度也低 于M H M 2 ，这可能与外载荷的具体形式有关。 x l m m L i n e a rl o a d ，f = 15 ( x L ) N r a m O0 1 6 l0 0 1 2 0 0 0 8 量o0 0 4 凸 O 量 E C E 冀 五 竺 o 8 x m m x m m Q u a d r a t i cl o a d ，= 22 5 ( x L ) - 22 5 ( x z ) 2N r a m 图2不同单元阶次和摄动阶次的单胞实际位移 F i g 2 A c t u a ld i s p l a c e m e n t so fau n i tc e l lu s i n gd i f f e r e n to r d e r so fe l e m e n ta n dp e r t u r b a t i o n gEcuE甚一dsfT E uI1uoEo譬一一。 芒oo面譬苟Jp113 E1cuEou旦dso EEjcu#西冀一ds一(I gEcogId一。 兰uEo面芏苗Jp时110 万方数据 1 5 2 4航空学报 M a y2 52 0 1 5V 0 1 3 6N o 5 表6 二次载荷作用下使用四次单元的杆单胞势能泛函 T a b l e6P o t e n t i a le n e r g yf u n c t i o no fu n i tc e l lu s i n gq u a r t i ce l e m e n tf o rq u a d r a t i cl o a d 1 0 4 J 2 2 复合材料杆结构 考虑两边固支由9 个单胞组成的周期复合材 料杆，每个单胞包含7 个子单元，如图3 所示，影 响函数是由两边固支的杆单胞计算得到的，此时 的小参数e 一1 9 。 M a c r om o d e lw i t h 9u n i tc e l l s U n i te e l lm o d e lw i t h 7s u b e l e m e n t s 图3 周期性复合材料杆的宏观模型和细观模型 F i g 3 M a c r om o d e la n dm i c r om o d e lo fp e r i o d i c a l c o m p o s i t er o d 在宏观结构上施加均布载荷，= 1N m m ，使 用二次单元计算，结果如图4 所示。除了M H M l 之外，M H M 2 、M H M 3 和M H M 4 结果均与F E M 结果重合，用二次单元摄动到二次即可得到解析 解，当然摄动到更高阶次或使用更高阶次的单元 同样可以得到解析解，与单胞问题的规律相同。 图4 用二次单元计算周期性复合材料杆的位移 F i g 4D i s p l a c e m e n t so fp e r i o d i c a lc o m p o s i t er o dv i a q u a d r a t i ce l e m e n t 值得注意的是，单胞边界的影响函数为0 ，即只有 均匀化位移，且与解析解相同。 3 二维复合材料结构 基于周期性复合材料杆的研究，下面使用相 同的方法研究二维复合材料结构的单胞问题和多 胞问题，把各阶摄动位移与有限元细网格计算结 果进行比较，结合最小势能原理探讨了M H M 的 计算精度。 3 1 单胞问题 算例32 D 单胞尺寸为1 5m m 1 5m m ，包 含4 个夹杂，如图5 所示( 一1 ) ，单胞划分为 3 0 3 0 个单元，每个夹杂包含6 6 个单元。基 体的弹性模量为1 0G P a ，泊松比为0 2 ，夹杂为正 交各向异性材料，其弹性模量为E 。= 1 8 5G P a ， E 2 = 1 0 5G P a ，泊松比= 0 2 8 ，剪切模量G 。2 = 7 3G P a 。模型四边固支且在表面施加沿z 。方 向大小为0 1M P a 的均布载荷。 下面分别使用线性单元和二次单元进行计算， 图6 给出了沿线口和线C 各阶摄动M H M 的位移曲 线，表7 给出了总势能泛函。可以得到如下结论： 甜型m麒础单mt 国叭图5 F D 万方数据 邢誉峰等：若干周期性复合材料结构数学均匀化方法的计算精度 工一m m ( a ) L i n e d ( b ) L i n eC 图6不同单元阶次和摄动阶次的2 D 单胞M H M 位移 x m m m m F i g 6D i s p l a c e m e n t so fM H M f o r2 Du n i tc e l lu s i n gd i f f e r e n to r d e r so fe l e m e n ta n dp e r t u r b a t i o n 1 5 2 5 一EEo一一，l c o L L u o k 时L I 一广T E uloI) 1 u o E 3 I o 3I专k口对：3 兰uQ13矗ucll 一EEoI) 一uJEo一)， 1uoEo面3l岩Jp日110 万方数据 航空学报 M a y2 52 0 1 5V 0 1 3 6N o 5 表72 D 单胞结构的势能泛函 T a b l e7P o t e n t i a le n e r g yf u n c t i o nf o r2 Du n i tc e l l 1 I ( 1 0 1J ) I I EL i n e a re l e m e n t Q u a d r a t i ce l e m e n t M H MF E MM H MF E M 1 ) M H M 2 的精度要明显高于M H M l 的；除 了线C 的口( 位移相对较小) 之外，M H M 2 和 M H M 3 的计算精度基本相同，即3 阶摄动的效果 不如2 阶摄动效果明显；M H M 3 的总势能泛函小 于M H M 2 是由于宏观位移高阶导数不准确。 2 ) 使用二次单元的计算精度要比线性单元 的高，主要表现在靠近边界周围区域的位移曲 线更加光滑，而在内部区域基本上没有区别。所 以在不关注边界结果的情况下，使用线性单元 即可。 3 2 二维多胞结构 算例4四边固支的宏观结构尺寸为 4 5m m 4 5I T l m ，包含5 5 个单胞( 小参数e = 1 5 ) ，单胞由9 9 个子单元组成，单胞中包含一 个夹杂，划分为3 3 个单元，单元长度为1m m ， 材料参数和外载荷与算例3 相同，参见图7 。计 算步骤为： 1 ) 单胞四边固支，尺寸扩大5 倍，计算各阶 影响函数和均匀化弹性模量。 2 ) 计算宏观结构均匀化位移及其各阶导数。 3 ) 计算各阶摄动M H M 的实际位移。 ( a ) M a c r om o d e lw i t h5 x 5 ( b ) U n i tc e l lw i t h9 9 u n i tc e l l ss u b e l e m e n t s 图7 包含5 5 个单胞的2 D 复合材料结构 F i g 72 Dc o m p o s i t es t r u c t u r ew i t h5 5u n i tc e i l s 图8 给出了沿口、C 两条竖线各阶摄动M H M 的实际位移和有限元细网格计算结果的比较，表8 x 2 m m ( b ) X 2d i r e c t i o n 图82 D 复合材料结构不同摄动阶次M H M 的位移 F i g 8D i s p l a c e m e n t so fM H Mf o r2 Dc o m p o s i t es t r u c t u r eu s i n gd i f f e r e n to r d e r so fp e r t u r b a t i o n “ll一 3 5 8 8 3 2 O 1 1 一 一 一 331l一 0 1 O 8 3 3 O 1 1 一 一 一矿舻+ 驴+ 一+神1 L 引矿+扩 万方数据 给出了势能泛函计算结果。由此可以得到： 1 ) M H M 2 的精度要明显高于M H M l 的，而 M H M 3 与M H M 2 基本上没有区别，这主要是由 于e 3 导致其作用较小。 2 ) M H M l 、M H M 2 和M H M 3 在单胞边界 上都等于均匀化位移，精度很差，如图8 ( 线c ) 所 示，这是因为影响函数是通过四边固支的单胞计 算的，边界处为0 ，即U 1 、H 2 、U 3 都为0 。 3 ) 由于单胞边界处只有均匀化位移，导致了 边界周围各阶摄动M H M 的计算精度都比较低， 所以对于二维周期性复合材料来说，四边固支边 界条件作为单胞问题边界条件，在边界处得不到 满意的结果。 表82 D 周期复合材料结构的势能泛函 T a b l e8P o t e n t i a le n e r g yf u n c t i o nf o r2 Dp e r i o d i c a l c o m p o s i t es t r u c t u r e 4 结论 1 ) 单元阶次取决于影响函数和均匀化位移 的精度要求；摄动阶次则主要依赖于虚拟载荷的 性质和均匀化位移各阶导数的计算精度，通常而 言，2 阶摄动项与1 阶摄动项都为主项，不可 略去。 2 ) 对于周期复合材料杆问题，选择合适的单 元阶次和摄动阶次可以得到精确解。 3 ) 对于2 D 周期复合材料结构，由于宏观位 移求导精度和单胞边界条件的误差，计算精度并 不随着摄动阶次的提高而提高，一般选择线性单 元摄动到2 阶项即可满足一般的精度要求。 4 ) 在数值模拟中，应用最小势能原理有效评 估了各阶摄动数学均匀化方法的计算精度。 5 ) 在某些特殊情况下，四边固支可以作为 2 D 周期性复合材料结构的单胞边界条件。为了 提高模拟精度，建议采用过度取样技术提高影响 函数的计算精度或采用宏观分析结果作为单胞边 界条件。 6 ) 均匀化位移和影响函数求导精度对数学 均匀化方法( M H M ) 计算精度起着重要作用，特 别是在基体和夹杂交界处，可以使用微分求积法 则提高求导精度。 参考文献 1 3B e r t h e l o tJM C o m p o s i t em a t e r i a l s ：m e c h a n i c a lb e h a v i o r a n ds t r u c t u r a la n a l y s i s M N e wY o r k ：S p r i n g e r ，1 9 9 9 ： 2 7 3 4 2 2 K a l i d i n d iSR ，A b u s a f i e hA L o n g i t u d i n a la n dt r a n s v e r s e m o d u l ia n ds t r e n g t h so fl o wa n g l e3 Db r a i d e dc o m p o s i t e s J J o u r n a lo fC o m p o s i t eM a t e r i a l s ，1 9 9 6 ，3 0 ( 8 ) ： 8 8 5 9 0 5 3 B a b u g k aI S o l u t i o no fi n t e r f a c ep r o b l e m sb yh o m o g e n i z a t i o n ：P a r t sIa n dI I J S I A MJ o u r n a lo nM a t h m a t i c a l A n a l y s i s ，1 9 7 6 ，7 ：6 0 3 6 4 5 4 1 B e n s s o u s a nA ，L i o n sJL A s y m p t o t i ca n a l y s i sf o rp e r i o d i c s t r u c t u r e s M A m s t e r d a m ：E l s e v i e r ，1 9 7 8 5 3 S t r o u b o u l i sT ，B a b u k aI ，C o p p sK T h eg e n e r a l i z e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d ：a ne x a m p l eo fi t si m p l e m e n t a t i o n a n di l l u s t r a t i o no fi t sp e r f o r m a n c e J I n t e r n a t i o n a lJ o u r n a lf o rN u m e r i c a lM e t h o d si nE n g i n e e r i n g ，2 0 0 0 ，4 7 ( 8 ) ： 1 4 0 1 1 4 1 7 6 3 B a b u k aI ，O s b o r nJ G e n e r a l i z e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d s ： t h e i rp e r f o r m a n c ea n dt h e i rr e l a t i o nt om i x e dm e t h o d s J S I A MJ o u r n a lo nN u m e r i c a lA n a l y s i s ，1 9 8 3 ，2 0 ：5 1 0 5 3 6 7 3H o uT ，W uX Am u l t i s c a l ef i n i t ee l e m e n tm e t h o df o re l l i p t i cp r o b l e m si nc o m p o s i t em a t e r i a l sa n dp o r o u sm e d i a J J o u r n a lo fC o m p u t a t i o n a lP h y s i c s ，1 9 9 7 ，1 3 4 ( 1 ) ： 1 6 9 1 8 9 8 3H o uT ，W uX ，C a iZ C o n v e r g e n c eo fam u h i s c a l ef i n i t e e l e m e n tm e t h o df o re l l i p t i cp r o b l e m sw i t hr a p i d l yo s c i l l a t i n gc o e f f i c i e n t s J 1 M a t h e m a t i c so fC o m p u t a t i o n ，1 9 9 9 ， 6 8 ( 2 2 7 ) ：9 1 3 - 9 4 3 9 1E n g q u i sWEB T h eh e t e r o g e n e o u sm u h i s c a l em e t h o d s J C o m m u n i c a t i o ni nM a t h e m a t i c a lS c i e n c e s ，2 0 0 3 ，l ( 1 ) ：8 7 1 3 2 1 0 3E n g q u i s tWEB ，L iXT ，R e nWQ ，e ta 1 H e t e r o g e n e o u s m u h i s c a l em e t h o d s ：ar e v i e w J C o m m u n i c a t i o n si n C o m p u t a t i o n a lP h y s i c s ，2 0 0 7 ，2 ( 3 ) ：3 6 7 4 5 0 1 1 3X i n gYF ，Y a n gY A ne i g e n e l e m e n tm e t h o do fp e r i o d i c a l c o m p o s i t es t r u c t u r e s J C o m p o s i t eS t r u c t u r e s ，2 0 1 1 ， 9 3 ：5 0 2 5 1 2 1 2 1X i n gYF ，Y a n gY ，W a n gXM Am u h i s c a l ee i g e n e l e m e n tm e t h o da n di t sa p p l i c a t i o nt op e r i o d i c a lc o m p o s i t e s t r u c t u r e s J C o m p o s i t eS t r u c t u r e s ，2 0 1 0 ，9 2 ：2 2 6 5 2 2 7 5 1 3 O l e i n i kO ，S h a m a e vAV ，Y o s i f i a nGA M a t h e m a t i c a l p r o b l e m si ne l a s t i c i t ya n dh o m o g e n i z a t i o n M A m s t e r 万方数据 1 5 2 8航空学报 M a y2 52 0 1 5V 0 1 3 6N o 5 d a m ：E l s e v i e r ，1 9 9 2 E 1 4 3 G u e d e sJM ，K i k u e h iN P r ea n dp o s tp r o c e s s i n gf o rm a t e r i a l sb a s e do nt h eh o m o g e n i z a t i o nm e t h o dw i t ha d a p t i v e f i n i t ee l e m e n tm e t h o d s J C o m p u t e rM e t h o d si nA p p l i e d M e c h a n i c sa n dE n g i n e e r i n g ，1 9 9 0 ，8 3 ：1 4 3 1 9 8 E 1 5 3H a s s a n iB ，H i n t o nE Ar e v i e wo fh o m o g e n i z a t i o na n dt o p o l o g yo p t i m i z a t i o nI - - h o m o g e n i z a t i o nt h e o r yf o rm e d i a w i t hp e r i o d i cs t r u c t u r e J C o m p u t e r sa n dS t r u c t u r e s ， 1 9 9 8 ，6 9 ：7 0 7 - 7 1 7 E 1 6 T a k a n oN ，Z a k oM ，I s h i z o n oM M u l t i s c a l ec o m p u t a t i o n a lm e t h o df o re l a s t i cb o d i e sw i t hg l o b a la n d1 0 c a lh e t e r o g e n e i t y J J o u r n a lo fC o m p u t e r - A i d e dM a t e r i a lD e s i g n ， 2 0 0 0 ，7 ( 2 ：) ：1 1 卜1 3 2 El7 F i s hJ ，Y u a nZ M u h i s c a l ee n r i c h m e n tb a s e do np a r t i t i o n o fu n i t y E J I n t e r n a t i o n a lJ o u r n a lf o rN u m e r i c a lM e t h o d s i nE n g i n e e r i n g ，2 0 0 5 ，6 2 ( 1 0 ) ：1 3 4 1 - 1 3 5 9 1 8 3B o u r g a tJF N u m e r i c a le x p e r i m e n t so ft h eh o m o g e n i z a t i o nm e t h o df o ro p e r a t o r sw i t hp e r i o d i cc o e f f i c i e n t s J L e c t u r eN o t e si nM a t h e m a t i c s ，1 9 7 7 ，7 0 7 ：3 3 0 3 5 6 1 9 3C h u n gPW ，T a m m aKK ，N a m b u r uRR A s y m p t o t i ce x p a n s i o nh o m o g e n i z a t i o nf o rh e t e r o g e n e o u sm e d i a ：c o m p u t a t i o n a li s s u e sa n da p p l i c a t i o n sE J 3 C o m p o s i t e sP a r tA ： A p p l i e dS c i e n c ea n dM a n u f a c t u r i n g ，2 0 0 1 ，3 2 ( 9 ) ：1 2 9 1 1 3 0 1 2 0 3 C h e nCM ，K i k u c h iN0 ，R o s t a mFA A ne n h a n c e da s y m p t o t i ch o m o g e n i z a t i o nm e t h o do ft h es t a t i ca n dd y n a m i c so fe l a s t i cc o m p o s i t el a m i n a t e s J C o m p u t e r sa n d S t r u c t u r e s ，2 0 0 2 ，8 2 ( 4 - 5 ) ：3 7 3 3 8 2 2 1 K a l a m k a r o vAL ，A n d r i a n o vIV ，D a n i s h e v s k y yVV A s y m p t o t i ch o m o g e n i z a t i o no fc o m p o s i t em a t e r i a l sa n d s t r u c t u r e s E J A p p l i e dM e c h a n i c sR e v i e w ，2 0 0 9 ，6 2 ( 3 ) ： 0 3 0 8 0 2 1 2 0 E z z X i n gYF ，C h e nL A c c u r a c yo fm u l t i s c a l ea s y m p t o t i ce x p a n s i o nm e t h o dE J C o m p o s i t eS t r u c t u r e s ，2 0 1 4 ，1 1 2 ： 3 8 4 3 作者简介： 邢誉峰男，博士，教授，博士生导师。主要研究方向：结构动 力学，复合材料结构力学 T e l ：0 1 0 8 2 3 1 9 9 6 4 E - m a i l ：x i n g y f b u a a e d u c n 陈磊男，博士研究生。主要研究方向：复合材料结构力学。 T e l ：0 1 0 8 2 3 1 9 9 6 4 E - m a i l ：c h e n l e i 2 0 1 2 y e a r s i n a c o r n 万方数据 邢誉峰等：若干周期性复合材料结构数学均匀化方法的计算精度 1 5 2 9 A c c u r a c ya n a l y s i so fm a t h e m a t i c a lh o m o g e n i z a t i o nm e t h o df o r s e v e r a lp e r i o d i c a lc o m p o s i t es t r u c t u r e X I N GY u f e n g * ，C H E NL e S c h o o lo fA e r o n a u t i cS c i e n c ea n dE n g i n e e r i n g ，B e i h o n gU n i v e r s i t y ，B e i j i n g 1 0 01 9I ，C h i n a A b s t r a c t ：T h em a t h e m a t i c a lh o m o g e n i z a t i o nm e t h o d ( M H M ) i sg e n e r a l l yi m p l e m e n t e db yf i n i t ee l e m e n tm e t h o d ( F E M ) a n d i t sc a l c u l a t i n ga c c u r a c yd e p e n d sc o m p l e t e l yo nt h eo r d e ro fp e r t u r b a t i o na n df i n i t ee l e m e n t ，t h ep e r t u r b e dd i s p l a c e m e n t si n u n c o u p l e df o r ma r ed e f i n e da st h em u l t i p l i c a t i o n so fi n