概率论与数理统计茆诗松第二版课后第六章习题参考答案.pdf

1 第六章第六章 参数估计参数估计 习题习题 6.1 1 设 X1, X2, X3是取自某总体容量为 3 的样本，试证下列统计量都是该总体均值 的无偏估计，在方差存 在时指出哪一个估计的有效性最差？ （1） 3211 6 1 3 1 2 1 XXX+=； （2） 3212 3 1 3 1 3 1 XXX+=； （3） 3213 3 2 6 1 6 1 XXX+= 证：因=+=+= 6 1 3 1 2 1 )( 6 1 )( 3 1 )( 2 1 )( 3211 XEXEXEE， =+=+= 3 1 3 1 3 1 )( 3 1 )( 3 1 )( 3 1 )( 3212 XEXEXEE， =+=+= 3 2 6 1 6 1 )( 3 2 )( 6 1 )( 6 1 )( 3213 XEXEXEE， 故 321 ,都是总体均值 的无偏估计； 因 2222 3211 36 14 36 1 9 1 4 1 )Var( 36 1 )Var( 9 1 )Var( 4 1 )Var(=+=+=XXX， 2222 3212 3 1 9 1 9 1 9 1 )Var( 9 1 )Var( 9 1 )Var( 9 1 )Var(=+=+=XXX， 2222 3213 2 1 9 4 36 1 36 1 )Var( 9 4 )Var( 36 1 )Var( 36 1 )Var(=+=+=XXX， 故)Var()Var()Var( 312 = y yn n Y y n yp ， 则 1 ) 1( )( e )( e )( 1 1 0 2 0 1 = = = = = + + n nn n n dyy n n dyy ny n Y n E X E n n yn n yn n ， 故X/1不是的无偏估计 3 设是参数 的无偏估计，且有0) (Var，试证 2 ) (不是 2的无偏估计 证：因=) (E，有 2222 ) Var() () Var() (+=+=EE，故 2 ) (不是 2的无偏估计 4 设总体 X N ( , 2)， X1, , Xn是来自该总体的一个样本 试确定常数 c 使 = + n i ii XXc 1 2 1 )(为 2的无 偏估计 解：因 E(Xi + 1 Xi )2 = Var (Xi + 1 Xi ) + E(Xi + 1 Xi )2 = Var (Xi + 1) + Var (Xi ) + E(Xi + 1) E(Xi )2 = 2 2， 2 则 22 1 1 2 1 1 1 2 1 ) 1(22) 1()()(= = + = + ncncXXEcXXcE n i ii n i ii ， 故当 ) 1(2 1 = n c时， 2 1 1 2 1 )(= = + n i ii XXcE，即 = + 1 1 2 1 )( n i ii XXc是 2的无偏估计 5 设 X1, X2, , Xn是来自下列总体中抽取的简单样本， + = ., 0 ; 2 1 2 1 , 1 );( 其他 x xp 证明样本均值X及)( 2 1 )()1(n XX+都是 的无偏估计，问何者更有效？ 证：因总体 + 2 1 , 2 1 UX，有) 1, 0( 2 1 UXY+=， 则 2 1 +=YX， 2 1 )1()1( +=YX， 2 1 )()( += nn YX，即 2 1 )( 2 1 )( 2 1 )()1()()1( +=+ nn YYXX， 可得=+=+= 2 1 )( 2 1 )()(YEYEXE， n Y n YX 12 1 )Var( 1 )Var()Var(=， 因 Y 的密度函数与分布函数分别为 pY ( y) = I0= nn XX n X n ， 故)( 2 1 )()1 (n XX+比样本均值X更有效 6 设 X1, X2, X3服从均匀分布 U (0, )，试证 )3( 3 4 X及 4X (1)都是 的无偏估计量，哪个更有效？ 解：因总体 X 的密度函数与分布函数分别为 0 的总体中，分别抽取容量为 n1和 n2的两独立样本， 1 X和 2 X分别是这 两个样本的均值试证，对于任意常数 a, b（a + b = 1） ， 21 XbXaY+=都是 的无偏估计，并确定常 数 a, b 使 Var (Y ) 达到最小 解：因=+=+=+=)()()()( 21 babaXbEXaEYE， 故 Y 是 的无偏估计； 因 2 22 2 21 21 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 12 )1 ()(Var)(Var)(Var + + =+=+= n a n a nn nn n a n aXbXaY， 令0 2 2)(Var 2 221 21 = + = n a nn nn Y da d ，得 21 1 nn n a + =，且02)(Var 2 21 21 2 2 + = nn nn Y ad d ， 故当 21 1 nn n a + =， 21 2 1 nn n ab + =时，Var (Y ) 达到最小 2 21 1 nn + 8 设总体 X 的均值为 ，方差为 2，X1, , Xn是来自该总体的一个样本，T (X1, , Xn)为 的任一线性 无偏估计量证明：X与 T 的相关系数为)Var()Var(TX 证：因 T (X1, , Xn)为 的任一线性无偏估计量，设 = = n i iin XaXXT 1 1 ),(L， 则= = n i i n i ii aXEaTE 11 )()(，即1 1 = = n i i a， 因 X1, , Xn相互独立，当 i j 时，有 Cov (Xi, Xj) = 0， 则 n a n XX n a XaX n XaX n TX n i i n i ii i n i iii n i ii n i i 2 1 2 1111 ),Cov(, 1 Cov, 1 Cov),Cov( = = = = ， 因),Cov()Var( 1 )Var( 2 TX n X n X= ， 故X与 T 的相关系数为 )Var( )Var( )Var()Var( )Var( )Var()Var( ),Cov( ),Corr( T X TX X TX TX TX= 9 设有 k 台仪器，已知用第 i 台仪器测量时，测定值总体的标准差为 i（i = 1, , k） 用这些仪器独立 地对某一物理量 各观察一次，分别得到 X1, , Xk ，设仪器都没有系统误差问 a1, , ak应取何值， 方能使 = = k i iiX a 1 成为 的无偏估计，且方差达到最小？ 5 解：因 = = = k i i k i i k i ii k i ii aaxEaxaEE 1111 )() (， 则当1 1 = = k i i a时， = = k i iix a 1 是 的无偏估计， 因 = = = k i ii k i ii k i ii axaxa 1 22 1 2 1 )(VarVar) (Var， 讨论在1 1 = = k i i a时， = k i ii a 1 22 的条件极值， 设拉格朗日函数 += = 1),( 11 22 1 k i i k i iik aaaaLL， 令 = =+= =+= = , 01 , 02 , 02 1 2 2 11 1 k i i kk k a L a a L a a L LLLLL 得 22 1 2 + = k L ， 22 1 2 + = k i i a L ，i = 1, , k， 故当 22 1 2 + = k i i a L ，i = 1, , k 时， = = k i iix a 1 是 的无偏估计，且方差达到最小 10设 X1, X2, , Xn是来自 N (, 1)的样本，证明 g( ) = | | 没有无偏估计（提示：利用 g( )在 = 0 处不可 导） 证：反证法：假设 T = T (X1, X2, , Xn)是 g( ) = | | 的任一无偏估计， 因 = = n i i X n X 1 1 是 的一个充分统计量，即在取定xX =条件下，样本条件分布与参数 无关， 则)|(XTES =与参数 无关，且 S 是关于X的函数，|)()()|()(=gTEXTEESE， 可得)(XSS =是 g( ) = | | 的无偏估计， 因 X1, X2, , Xn是来自 N (, 1)的样本，由正态分布可加性知X服从正态分布 n N 1 ,， 则 + + =dxxS n dx n xSSE xnx nn x n 222 22 )( 2 e)(e 2 e 2 )()(， 因 E(S) = | |，可知对任意的，反常积分 + + dxxS xnx n 2 2 e)(收敛， 6 则由参数 的任意性以及该反常积分在与+两个方向的收敛性知 + + dxxS xnx n | 2 2 e)( 收敛， 因xnxSxS xnx n xnx n = + 22 22 e)(e)(，且| y | e | y |，有 |)1| ( 22 22 ee xnx n xnx n xn + ， 则由 + + dxxS xnx n |)1|(| 2 2 e)( 的收敛性知 + + dxxS xnx n 2 2 e)(一致收敛， 可得 + + =dxxS n SE xnx nn 22 22 e)(e 2 )(关于参数 可导，与 E(S) = | |在 = 0 处不可导矛盾， 故 g( ) = | | 没有无偏估计 11设总体 X 服从正态分布 N ( , 2)，X1, X2, , Xn为来自总体 X 的样本，为了得到标准差 的估计量， 考虑统计量： = = n i i XX n Y 1 1 | 1 ， = = n i i X n X 1 1 ，n 2， = = n i n j ji XX nn Y 11 2 | ) 1( 1 ，n 2， 求常数 C1与 C2，使得 C1Y1与 C2Y2都是 的无偏估计 解：设), 0( 2 NY，有 2 e 2 2e 2 1 2e 2 1 | 0 2 0 22 2 2 2 2 2 2 = + + + yyy dyydyyYE， 因XXi是独立正态变量 X1, X2, , Xn的线性组合， 且0)()()(=XEXEXXE ii ， 222 11 ,Cov2 1 ),Cov(2)Var()Var()Var( n n X n X n XXXXXX iiiii = +=+=， 则 2 1 , 0 n n NXXi， ) 1(21 2 | n n n n XXE i = =， 可得 ) 1(2 ) 1(21 | 1 )()( 11 1 11111 n n C n n n n CXXE n CYECYCE n i i = = = ， 故当 ) 1(2 1 = n n C时，EC1Y1 = ，C1Y1是 的无偏估计； 当 i j 时，Xi与 Xj相互独立，都服从正态分布 N ( , 2)， 有 E(Xi Xj) = E(Xi) E(Xj) = = 0，Var(Xi Xj) = Var(Xi) + Var(Xj) = 2 + 2 = 2 2， 7 则 Xi Xj N (0, 2 2)， 2 2 2 |= ji XXE， 当 i = j 时，Xi Xj = 0，E| Xi Xj | = 0， 可得 2 2 )( ) 1( 1 | ) 1( 1 )()( 2 2 2 11 22222 Cnn nn CXXE nn CYECYCE n i n j ji = = = = ， 故当 2 2= C时，EC2Y2 = ，C2Y2是 的无偏估计 习题习题 6.2 1 从一批电子元件中抽取 8 个进行寿命测试，得到如下数据（单位：h） ： 1050，1100，1130，1040，1250，1300，1200，1080， 试对这批元件的平均寿命以及寿命分布的标准差给出矩估计 解：平均寿命 的矩估计75.1143=x；标准差 的矩估计8523.89*=s 2 设总体 X U (0, )，现从该总体中抽取容量为 10 的样本，样本值为： 0.5，1.3，0.6，1.7，2.2，1.2，0.8，1.5，2.0，1.6， 试对参数 给出矩估计 解：因 X U (0, )，有 2 )( =XE，即 = 2 E (X )，故 的矩估计68. 234. 122 =x 3 设总体分布列如下，X1, , Xn是样本，试求未知参数的矩估计 （1） N kXP 1 =，k = 0, 1, 2, , N 1，N（正整数）是未知参数； （2）PX = k = (k 1) 2 (1 )k 2，k = 2, 3, ，0 ， 0 8 解： （1）因 332 2 )( 2 )( 0 32 2 0 2 = = xx dxxxXE，即 = 3 E (X )，故 的矩估计X3 = ； （2）因 2 1 2 ) 1() 1()( 1 0 2 1 0 + + = + +=+= + x dxxxXE，即 )(1 1)(2 XE XE =， 故 的矩估计 X X = 1 12 ； （3）因 11 )( 1 0 1 1 0 1 + = + = + x dxxxXE，即 2 )(1 )( = XE XE ， 故 的矩估计 2 1 = X X ； （4）因 +=+= + + + + + xxxxx dxxdxdxxXEeeee) 1(e 1 )(， )(2e2ee) 1(e 1 )( 22222 XEdxxxdxdxxXE xxxx +=+= + + + + = 2 + 2 + 2 2， 则 Var (X ) = E(X 2 ) E(X )2 = 2，即)Var(X=，)Var()(XXE=， 故 的矩估计* S=，*SX = 5 设总体为 N ( , 1)，现对该总体观测 n 次，发现有 k 次观测值为正，使用频率替换方法求 的估计 解：因 p = PX 0 = PX = 1 () = ()，即 = 1 ( p)， 故 的矩估计 = n k p 11 ) ( 6 甲、乙两个校对员彼此独立对同一本书的样稿进行校对，校完后，甲发现 a 个错字，乙发现 b 个错字， 其中共同发现的错字有 c 个，试用矩法给出如下两个未知参数的估计： （1）该书样稿的总错字个数； （2）未被发现的错字数 解： （1）设 N 为该书样稿总错别字个数，且 A、B 分别表示甲、乙发现错别字，有 A 与 B 相互独立， 则 P (AB ) = P (A ) P (B )，使用频率替换方法，即 N b N a pp N c p BAAB =，得 c ab N =， 故总错字个数 N 的矩估计 c ab N = ； （2）设 k 为未被发现的错字数，因)()()(1)(1)(ABPBPAPBAPBAP+=U， 使用频率替换方法，即 N c N b N a ppp N k p ABBA BA +=+=11，即 k = N a b + c， 故未被发现的错字数 k 的矩估计cba c ab cbaNk+=+= 7 设总体 X 服从二项分布 b(m, p)，其中 m, p 为未知参数，X1, , Xn为 X 的一个样本，求 m 与 p 的矩估 9 计 解：因 E(X ) = mp，Var (X ) = mp(1 p)，有 )( )Var( 1 XE X p =， 则 )( )Var( 1 XE X p=， )Var()( )()( 2 XXE XE p XE m =， 故 m 的矩估计 2 2 * SX X m =，p 的矩估计 X S p 2 * 1= 习题习题 6.3 1 设总体概率函数如下，X1, , Xn是样本，试求未知参数的最大似然估计 （1） 1 );( = xxp，0 c，c 0 已知， 1 解： （1）因 1,0 1 21 2 1 10 1 21 )()( + = , )1( 21 1 )1( 21 )()( L L ， 当 x1, x2, , xn c 时，ln L ( ) = n ln + n ln c ( + 1) ln (x1 x2 x n)， 令0)ln(ln )(ln 21 =+= n xxxcn n d Ld L ，得 cnxxx n n ln)ln( 21 = L ， 故 的最大似然估计 cnXXX n n ln)ln( 21 = L 2 设总体概率函数如下，X1, , Xn是样本，试求未知参数的最大似然估计 （1）p (x; ) = c c x (c + 1) ，x ， 0，c 0 已知； （2） = x xpe 1 ),;(，x ， 0； （3）p (x; ) = (k )1， + = + = ni xxx c n ncn n i x c i c xxxcxcL , )1( 21 1 )1( 21 )()( L L， 显然 越大， nc 越大，但只有 x1 , x2 , , xn 时，才有 L ( ) 0， 即 = min x1, x2, , xn 时，L ( ) 达到最大， 故 的最大似然估计,min 21)1(n XXXXL=； 10 （2）因 = = = n n i i i i xxx nx n n i x x L , 1 1 21 1 e 1 e 1 ),( L ， 当 x1, x2, , xn 时， = = nxnL n i i 1 1 ln),(ln， 令0 1),(ln 1 2 = += = nx n d Ld n i i ，解得= = = xnx n n i i 1 1 ， 且显然 越大， = nx n i i 1 1 e越大，但只有 x1 , x2 , , xn 时，才有 L (, ) 0， 即 = min x1, x2, , xn 时，L (, ) 才能达到最大， 故 的最大似然估计,min 21)1(n XXXXL=， 的最大似然估计 )1( XXX=； （3）因 )1(, 1 )1( 1 21 )()()( + 0； （2）p (x; ) = 1， 1/2 0 是未知参数，又 X1, , Xn为取自该总体的样本，X为样本均值 （1）证明X 3 2 = 是参数 的无偏估计和相合估计； （2）求 的最大似然估计，它是无偏估计吗？是相合估计吗？ 解： （1）因 X U ( , 2 )，有 2 3 2 2 )(= + =XE， 2 2 12 1 12 )2( )Var( = =X， 故= 2 3 3 2 )( 3 2 )( 3 2 ) (XEXEE，即X 3 2 = 是参数 的无偏估计； 因 nn X n X 2712 1 9 4 )Var( 9 4 )Var( 9 4 ) Var( 2 2 =，有= ) (limE n ，0) Var(lim= n ， 故X 3 2 = 是参数 的相合估计； （2）因 2, 1 2 21 11 )( + = = = n n i i i i xxx nxn i x x L , 1 )( 21 1 ee)( L ， 显然 越大， nx n i i+ =1 e越大，但只有 x1 , x2 , , xn 时，才有 L ( ) 0， 即 = min x1, x2, , xn 时，L ( ) 达到最大， 故 的最大似然估计,min 21)1(1n XXXXL=； 因 X 的密度函数与分布函数分别为 = ., 0 ;,e )( )( x x xp x = ., 0 ;,e1 )( )( x x xF x 则 X (1) 的密度函数为 = ., 0 ;,e )()(1 )( )( 1 1 x xn xpxFnxp xn n 可得 X (1) 服从指数分布 Exp(n)， 14 因 n XE 1 )( )1( =， 2 )1( 1 )Var( n X=， 则+= n XEE 1 )() ( )1(1 ， 2 )1()1(1 1 )Var()Var() Var( n XX=， 故 )1(1 X=不是 的无偏估计； 因= += n E nn 1 lim) (lim 1 ，0 1 lim) Var(lim 2 1 = n nn ， 故 )1(1 X=是 的相合估计； （2）因总体 X 的密度函数为 p(x; ) = e (x ), x ，有 X 服从指数分布 Exp(1)， 则 E(X ) = E(X) = 1，即 = E(X) 1， 故 的矩估计1 2 = X； 因 E(X) = + 1，Var(X) = Var(X ) = 2， 则=1)(1)() ( 2 XEXEE， n X n X 2 2 )Var( 1 )Var() Var( =， 故1 2 = X是 的无偏估计； 因= ) (lim 2 E n ，0lim) Var(lim 2 2 = n nn ， 故1 2 = X是 的相合估计 9 设总体 X Exp (1/ )，X1, , Xn是样本， 的矩估计和最大似然估计都是X，它也是 的相合估计和 无偏估计，试证明在均方误差准则下存在优于X的估计（提示：考虑Xa a =，找均方误差最小者） 证：因 X Exp (1/ )，有 E(X) = ，Var(X) = 2，且 X 的密度函数为 = . 0, 0 ; 0,e 1 )( x x xp x 故 = E(X)，即 的矩估计为X=； 因似然函数 0, 1 1 0 21 1 e 1 e 1 )( = = = n n i i i i xxx x n n i x x L L ， 当 x1, x2, , xn 0 时， = = n i i xnL 1 1 ln)(ln ， 令0 1)(ln 1 2 =+= = n i i x n d Ld ，得xx n n i i = =1 1 ， 故 的最大似然估计也为X=； 因=)()(XEXE， n X n X 2 )Var( 1 )Var( =， 15 故X是 的无偏估计； 因= )(limXE n ，0lim)Var(lim 2 = n X nn ， 故X是 的相合估计； 设Xa a =，有aXaEE a =)() (， n a Xa a 22 2 )Var() Var( =， 则 nn XEXX 2 2 2 2 )()()Var()MSE( =+=+=， 22 2 2 22 2 12)() () Var() MSE( +=+=+=aa n a a n a E aaa 2 2 22 1 1 1 1 1 1 1 2 1 + + + + = + + + + + = nn n a n n nn n aa n n ， 故当 1+ = n n a时，X n n a 1 + =的均方误差 1 ) MSE( 2 + = n a 小于X的均方误差 n X 2 )MSE( = 10为了估计湖中有多少条鱼，从中捞出 1000 条，标上记号后放回湖中，然后再捞出 150 条鱼，发现其 中有 10 条鱼有记号问湖中有多少条鱼，才能使 150 条鱼中出现 10 条带记号的鱼的概率最大？ 解：设湖中有 N 条鱼，有湖中每条鱼带记号的概率为 N p 1000 =， 看作总体 X 服从两点分布 b(1, p)，从中抽取容量为 150 的样本 X1, X2, , X150，有10 150 1 = =i i x， 似然函数 = = = n i i n i i ii xnxn i xx pppppL 11 )1 ()1 ()( 1 1 ，有)1ln(ln)(ln 11 pxnpxpL n i i n i i += = ， 令0 1 11)(ln 11 = += = p xn p x dp pLd n i i n i i ，得xx n p n i i = =1 1 ，即 p 的最大似然估计为Xp =， 因 p N 1000 =，由最大似然估计的不变性知 X N 1000 =， 故湖中有15000 10 150 1 1000 = =N条鱼时，才能使 150 条鱼中出现 10 条带记号的鱼的概率最大 11证明：对正态分布 N ( , 2 )，若只有一个观测值，则 , 2的最大似然估计不存在 证：若只有一个观测值，似然函数 2 2 2 )( 2 e 2 1 ),( = x L， 对于任一固定的，当 = x 时，L()取得最大值 2 1 ， 但显然 越小， 2 1 越大，且 可任意接近于 0，即 2 1 不存在最大值， 故 , 2的最大似然估计不存在 习题习题 6.4 1 设总体概率函数是 p (x; )，X1, , Xn是其样本，T = T (X1, , Xn )是 的充分统计量，则对 g ( )的任一 16 估计g，令) | ( TgEg=，证明： ) MSE() MSE(gg这说明，在均方误差准则下，人们只需要考虑 基于充分估计量的估计 解：因) | ( TgEg=，由 Rao-Blackwell 定理知 ) () (gEgE=， ) Var() Var(gg， 故 ) MSE()( ) ( ) Var()() () Var() MSE( 22 gggEgggEgg=+= 2 设 T1 , T2分别是 1 , 2的 UMVUE， 证明： 对任意的 （非零） 常数 a, b， aT1 + bT2 是 a 1 + b 2的 UMVUE 证：因 T1 , T2分别是 1 , 2的 UMVUE， 有 E(T1) = 1 ，E(T2) = 2 ，且对任意的满足 E() = 0 的 都有 Cov (T1 , ) = Cov (T2 , ) = 0， 则E (aT1 + bT2) = a E(T1) + b E(T2) = a 1 + b 2 ， 且Cov (aT1 + bT2 , ) = a Cov (T1 , ) + b Cov (T2 , ) = 0， 故 aT1 + bT2是 a 1 + b 2的 UMVUE 3 设 T 是 g ( ) 的 UMVUE，g是 g ( ) 的无偏估计，证明，若+ ) (Varg，则0 ) ,Cov(gT 证：因g和 T 都是 g ( ) 的无偏估计，有)()( ) (gTEgE=，即0)(=TgE， 又因 T 是 g ( ) 的 UMVUE，有0),(Cov=TgT，即0),Cov( ) ,Cov(=TTgT， 故0),Cov( ) ,Cov(=TTgT 4 设总体 X N ( , 2 )，X1 , , X n为样本，证明， = = n i i X n X 1 1 ， = = n i i XX n S 1 22 )( 1 1 分别为 , 2 的 UMVUE 证：因 X N ( , 2 )，有X是 的无偏估计，S 2是 2的无偏估计，且样本 X1 , , X n的联合密度函数为 = = = n i i ix n n i x n xxp 1 2 2 2 2 )( 2 1 1 2 )( 2 1 e )2( 1 e 2 1 ),;,( L， 对任意的满足 E() = 0 的 (x1 , , x n)，有0e )2( 1 )( 1 )( 2 1 1 2 2 = = + + = n x n dxdxE n i i LL ， 对 E() = 0 两端关于 求偏导数，得 + + = = = n x n i i n dxdxx E n i i LL 1 )( 2 1 1 2 1 2 2 e)( 1 )2( 1 0 )( + + = = n x n dxdxnxn n i i LL 1 )( 2 1 2 1 2 2 e)( 1 )2( 1 )()()()( 222 XE n EXE n XE n =， 则0)(=XE，0)()()(),Cov(=EXEXEX， 故 = = n i i X n X 1 1 是 的 UMVUE； 对0)(=XE两端再关于 求偏导数，得 17 + + = = = n x n i i n dxdxxx XE n i i LL 1 )( 2 1 1 2 1 2 2 e)( 1 )2( 1 0 )( + + = = n x n dxdxnxnx n i i LL 1 )( 2 1 2 1 2 2 e)( 1 )2( 1 )()()()( 2 2 2 22 XE n XEXE n XXE n =， 则0)( 2 =XE， 对0)()2(=E n 两端关于 2求偏导数，得 + + = = = n x n i i n dxdxx E n i i LL 1 )( 2 1 1 2 42 1 2 2 e)( 2 1 0 )()2( + + = += = n x n i i dxdxnxnx n i i LL 1 )( 2 1 2 1 2 4 1 2 2 e2 2 1 += = 2 1 2 4 2 2 )2( nXnXE n i i n = + = = n i i nn i i n XEEnXEnXE 1 2 4 2 1 2 4 2 )2( )()(2 2 )2( ， 则0 1 2 = = n i i XE， 因 = = = 2 1 2 1 22 1 1 )( 1 1 XnX n XX n S n i i n i i ，有0)( 1 1 )( 2 1 22 = = = XnEXE n SE n i i ， 则 Cov (S 2, ) = E(S 2 ) E(S 2) E() = 0， 故 = = n i i XX n S 1 22 )( 1 1 是 2的 UMVUE 5 设总体的概率函数为 p (x; )，满足定义 6.4.2 的条件，若二阶导数);( 2 2 xp 对一切的 存在， 证明费希尔信息量 =);(ln)( 2 2 XpEI 证：因 = p p p 1 ln， 2 2 2 2 2 2 22 2 1 ln 111 ln + = + = = p p p p p p p p p p， 故 + + += += + = dx p Ipdx p p I p p EpEpE 2 2 2 2 2 2 2 2 2 )( 1 )( 1 lnln 18 )()()( 2 2 IdxxpI= += + 6 设总体密度函数为 p (x; ) = x 1, 0 0，求 的费希尔信息量 I ( ) 解：因 0 3 2 e 2 );( = x x x xp ，当 x 0 时， 2 ln3ln2ln);(ln x xxp +=， 19 则 2 11 );(ln x xp= ， 22 2 1 );(ln = xp， 故 22 2 1 );(ln)( = =XpEI 8 设总体密度函数为 p (x; ) = c x ( + 1), x c, c 0 已知, 0，求 的费希尔信息量 I ( ) 解：因 p (x; ) = c x ( + 1) I x c，当 x c 时，ln p (x; ) = ln + ln c ( + 1) lnx ， 则xcxplnln 1 );(ln+= ， 22 2 1 );(ln = xp， 故 22 2 1 );(ln)( = =XpEI 9 设总体分布列为 PX = x = (x 1) 2 (1 )x 2, x = 2, 3, , 0 = x x xxp ，当 x 0 时，ln p (x; ) = ln ln () + ( 1) ln x x， 则xxp= );(ln， 22 2 );(ln = xp，即 22 2 );(ln)( = =XpEI， 20 可得 g ( ) = 1/ 无偏估计方差的 C-R 下界为 = = X n n nI g Var 1 1 )( )( 2 2 2 22 ， 故 X 是 1 )(=g的有效估计，从而也是 UMVUE 11设 X1 , , X m i.i.d. N (a, 2)，Y1 , , Y n i.i.d. N (a, 2 2)，求 a 和 2的 UMVUE 解：根据充分性原则，UMVUE 必为充分统计量，先求参数(a, 2)的充分统计量 因样本 X1 , , X m, Y1 , , Yn的联合密度函数为 = = = n j ay m i ax nm j i ayyxxp 1 4 )( 1 2 )( 2 11 2 2 2 2 e 22 1 e 2 1 ),;,( LL + + = = n j j m i i ayax nmnm 1 2 1 2 2 )( 2 1 )( 2 1 2 e )()2( 1 + + + = = 2 111 2 1 2 2 22 1 2 2 1 2 1 2 e )()2( 1 a n myxayx nmnm n j j m i i n j j m i i ， 令 += = n j j m i i n j j m i i YXYXTT 1 2 1 2 11 21 2 1 , 2 1 ),(，有 += = n j j m i i n j j m i i yxyxtt 1 2 1 2 11 21 2 1 , 2 1 ),(， 则 )5 . 0(2 2 1 2 2 11 2 12 2 e )()2( 1 ),;,( anmatt nmnm nm ayyxxp + + = LL， 取 )5 . 0(2 2 1 2 2 21 2 12 2 e )()2( 1 ),;,( anmatt nmnm attg + + = ，h(x1, , xm, y1, , yn) = 1 与参数 a, 2无关， 可得 += = n j j m i i n j j m i i YXYXTT 1 2 1 2 11 21 2 1 , 2 1 ),(是参数(a, 2)的充分统计量； 因anmYEXETE n j j m i i )5 . 0()( 2 1