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微分几何主要习题解答 26 第一章第一章 曲线论曲线论 2 向量函数 5. 向量函数)(tr 具有固定方向的充要条件是)(tr )( tr = 0 。 分析：一个向量函数)(tr 一般可以写成)(tr =)(t)(te 的形式，其中)(te 为单位向 量函数，)(t为数量函数，那么)(tr 具有固定方向的充要条件是)(te 具有固定方向， 即)(te 为常向量， （因为)(te 的长度固定） 。 证 对于向量函数)(tr ，设)(te 为其单位向量，则)(tr =)(t)(te ，若)(tr 具有固 定方向，则)(te 为常向量，那么)( tr =)( te ，所以 r r =（e e ）=0 。 反之，若r r =0 ，对)(tr =)(t)(te 求微商得 r =e + e ，于是r r = 2 （e e ）=0 ，则有 = 0 或e e =0 。当)(t= 0时，)(tr =0 可与任意方 向平行；当0时，有e e =0 ，而（e e 2 )= 22 ee -(e e 2 ) 2 e ， （因为e 具有固定长， e e = 0） ，所以 e =0 ，即e 为常向量。所以，)(tr 具有固定方向。 6向量函数)(tr 平行于固定平面的充要条件是（r r r ）=0 。 分析：向量函数)(tr 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(tn ，使 )(tr n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与 r ， r 的关系。 证 若)(tr 平行于一固定平面，设n 是平面的一个单位法向量，则n 为常向 量，且)(tr n = 0 。两次求微商得 r n = 0 ， r n = 0 ，即向量r ， r ， r 垂直 于同一非零向量n ，因而共面，即（r r r ）=0 。 反之, 若（r r r ）=0，则有r r =0 或r r 0 。若r r =0 ，由上题 知)(tr 具有固定方向，自然平行于一固定平面，若r r 0 ，则存在数量函数 )(t、)(t，使 r = r + r 微分几何主要习题解答 27 令n =r r ，则n 0 ，且)(tr )(tn 。对n =r r 求微商并将式代入得 n =r r =（r r ） =n ， 于是n n =0 ， 由上题知n 有固定方向， 而)(tr n ，即)(tr 平行于固定平面。 3 曲线的概念 3. 证明圆柱螺线r = a cos,asin,b (+)的切线和 z 轴作固 定角。 证明 r = -asin ,acos,b,设切线与 z 轴夹角为,则cos = 22 | ba b er kr + = 为常数，故为定角（其中k 为 z 轴的单位向量） 。 10. 将圆柱螺线r =atcos，atsin，bt化为自然参数表示。 解 r = -atsin,atcos,b，s = tbadtr t 22 0 | |+= ，所以 22 ba s t + =， 代入原方程得 r =acos 22 ba s + , asin 22 ba s + , 22 ba bs + 4 空间曲线 1求圆柱螺线 x=atcos，y=atsin，z= bt在任意点的密切平面的方程。 解 r = -atsin,atcos,b, r =-atcos,- atsin,0 所以曲线在任意点的密切平面的方程为 0sincos cossin sincos tata btata btztaytax = 0 ，即(btsin)x-(btcos)y+az-abt=0 . 2. 求曲线r = ttsin,ttcos,t t e 在原点的密切平面、法平面、从切面、 切线、主法线、副法线。 微分几何主要习题解答 28 解 原点对应 t=0 , r (0)= tsin+ttcos,tcos- ttsin, t e+t t e 0 =t =0,1,1， =)0( r 2tcos+ ttcos,tcos- ttsin,2 t e+t t e 0 =t =2,0,2 ， 所以切线方程是 110 zyx = ，法面方程是 y + z = 0 ； 密切平面方程是 202 110 zyx =0 ，即 x+y-z=0 ， 主法线的方程是 =+ =+ 0 0 zy zyx 即 112 zyx = = ； 从切面方程是 2x-y+z=0 ,副法线方程式 111 = zyx 。 3证明圆柱螺线 x=atcos，y=atsin，z= bt的主法线和 z 轴垂直相交。 证 r = -atsin,atcos,b, r =-atcos,- atsin,0 ，由 r r 知 r 为 主法线的方向向量，而 r 0=k 所以主法线与 z 轴垂直；主法线方程是 0sin sin cos cosbtz t tay t tax = = 与 z 轴有公共点(o,o,bt)。故圆柱螺线的主法线和 z 轴垂直相交。 4.在曲线 x = coscost ,y = cossint , z = tsin的副法线的正向取单 位长，求其端点组成的新曲线的密切平面。 解 r = -cossint, coscost, sin , r = -coscost,- cossint , 0 = = | | rr rr sinsint ,- sincost , cos 新曲线的方程为r = coscost + sinsint ，cossint- sincost ，tsin + cos 对 于 新 曲 线 r =-cossint+ sincost ， coscost+ sinsint ， sin =sin(-t), cos(-t), sin , r = -cos(-t), sin(-t),0 , 其密切平面的方程是 微分几何主要习题解答 29 0 0)sin()cos( sin)cos()sin( sinsincoscoscos = tata atata atztaytax 即 sin sin(t-) x sin cos(t-) y + z tsin cos = 0 . 5证明曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过一定点。 证 方法一： 设一曲线为一球面曲线，取球心为坐标原点，则曲线的向径)(tr 具有固定 长，所以r r = 0，即曲线每一点的切线与其向径垂直，因此曲线在每一点的法平 面通过这点的向径，也就通过其始点球心。 若一曲线的所有法平面通过一定点，以此定点为坐标原点建立坐标系， 则r r = 0，)(tr 具有固定长，对应的曲线是球面曲线。 方法二： ( )rr t= 是球面曲线 存在定点 0 r （是球面中心的径矢）和常数 R（是球面的 半径）使 22 0 ()rrR= 0 2()0rr r = ，即 0 ()0rr r = （） 而过曲线( )rr t= 上任一点的法平面方程为()0rr= 。可知法平面过球面 中心（）成立。 所以，曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过一定点。 7求以下曲面的曲率和挠率 ,sinh,coshattatar = , )0)(3(,3),3( 323 attaatttar+=。 解 ,cosh,sinhatatar = ， 0 , sinh,cosh tatar = ， 0 , cosh,sinh ttar= ， 1,cosh,sinh =ttarr ，所以 tata ta r rr k 2 3 2 3 cosh2 1 )cosh2( cosh2 | | | | = = 微分几何主要习题解答 30 tata a rr rrr 224 2 2 cosh2 1 cosh2) ( ) , , ( = = 。 1 ,2 ,13 22 tttar+= ，1 , 0 , 16 , 1 ,6 =arttar ， r r =1,2, 118 222 +ttta ， 22 322 22 3 ) 1(3 1 ) 1(2227 ) 1(218 | | | | + = + + = = tata ta r rr k 222242 3 2 ) 1(3 1 ) 1(218 2618 ) ( ) , , ( + = + = = tata a rr rrr 。 8已知曲线2cos,sin,cos 33 tttr = ，求基本向量 ,；曲率和挠率； 验证伏雷内公式。 分析 这里给出的曲线的方程为一般参数，一般地我们可以根据公式去求基本 向量和曲率挠率，我们也可以利用定义来求。 解 4,sin3 ,cos3cossin2sin2,cossin3 ,sincos3 22 =tttttttttr ， ,cossin5| )( |tttr dt ds = （设 sintcost0） ， 则 5 4 ,sin 5 3 ,cos 5 3 | | =tt r r ， 0 , cos 5 3 ,sin 5 3 cossin5 1 tt ttds dt dt d = ， 0 , cos,sin | tt= ， 5 3 ,sin 5 4 ,cos 5 4 =tt ， tt k cossin25 3 |= ， 0 , cos,sin cossin25 4 tt tt = ，由于 与 方 向相反，所以 ttcossin25 4 |= 显然以上所得 , k满足 = ,k，而 += 0 , sin,cos cossin5 1 tt tt 也满足伏雷内公式 。 9.证明如果曲线的所有切线都经过一的定点，则此曲线是直线。 证 方法一：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为r )(tr ，则曲线 在任意点的切线方程是)( )(trtr =，由条件切线都过坐标原点，所以 微分几何主要习题解答 31 )( )(trtr =，可见r r ，所以r 具有固定方向，故r )(tr 是直线。 方法二：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为r )(tr ，则曲线在任 意点的切线方程是)( )(trtr =，由条件切线都过坐标原点，所以)( )(trtr =， 于是 r r ，从而 r r 0 ，所以由曲率的计算公式知曲率 k，所以曲线 为直线。 方法三：设定点为 0 r ，曲线的方程为r ( )r s ，则曲线在任意点的切线方程是 ( )( )r ss= ，由条件切线都过定点 0 r ，所以 0 ( )( )rr ss= ，两端求导得: ( )( )ss =+ , 即(1) ( )0s + += ，而( ),( )ss 无关，所以10+ =， 可知0,( )0s=，因此曲线是直线。 10. 证明如果曲线的所有密切平面都经过一的定点，则此曲线是平面曲线。 证 方法一：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为r )(tr ，则曲线 在 任 意 点 的 密 切 平 面 的 方 程 是0)( )( ()(=trtrtr ， 由 条 件 0)( )( ()(=trtrtr ， 即 （r r r ） =0， 所以r 平行于一固定平面，即r )(tr 是平面曲线。 方法二：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为r )(sr ，则曲线在任 意点的密切平面方程是0)(= sr，由条件0)(= sr，两边微分并用伏雷内 公式得 0)(= sr。若0)(= sr,又由0)(= sr可知)(sr )(sr = ,所以r )(sr 平行于固定方向，这时r )(sr 表示直线,结论成立。否则0=，从而知曲线是 平面曲线。 方法三：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为r )(tr ，则曲线在任 意 点 的 密 切 平 面 方 程 是0)( )( ()(=trtrtr ， 由 条 件 0)( )( ()(=trtrtr ，即（r r r ）=0，所以r ， r ， r 共面，若r r ，则r 微分几何主要习题解答 32 )(tr 是直线，否则可设,rrrrrr=+=+ ，所以, , r rr 共面，所以 0=，从而知曲线是平面曲线。 11. 证明如果一条曲线的所有法平面包含常向量e ，那么曲线是直线或平面曲 线。 证 方法一：根据已知0=e ，若 是常向量，则 k=| =0 ，这时曲线是直 线。否则在0=e 两边微分得 e =，即 k e =,所以 e =，又因0=e ， 所以 e ，而 为单位向量，所以可知 为常向量，于是0|= ，即0=，此 曲线为平面曲线。 方法二：曲线的方程设为r )(tr ，由条件 r e ，两边微分得 r e ， r e ，所以 r ， r ， r 共面，所以（ r r r ）。由挠率的计算公式 可知0=，故曲线为平面曲线。当 r r 0 时是直线。 方法三： 曲线的方程设为r )(tr ，由条件 r e ，两边积分得 （p是常数） 。 因r ep= 是平面的方程，说明曲线r )(tr 在平面上，即曲线是平面曲线，当 r 有 固定方向时为直线。 12证明曲率为常数的空间曲线的曲率中心的轨迹仍是曲率为常数的曲线。 证明 设曲线（C） ：r )(sr 的曲率 k 为常数,其曲率中心的轨迹（C ）的方程 为：)( 1 )(s k sr += ， （ 为曲线（C）的主法向量） ，对于曲线（C ）两边微分 得 k k k s=+=)( 1 )( ， （ ， ，分别为曲线（C）的单位切向量， 副法向量和挠率） ， kk 2 = ， k | | | = ， 2 3 k = ，曲线（C ）的曲率 为k k k k= = 3 3 2 3 3 | | | | | | 为常数。 14设在两条曲线、 的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的切 微分几何主要习题解答 33 线平行，证明它们在对应点的主法线以及副法线也互相平行。 证 设曲线：r =)(sr 与 ：)(srr =点 s 与s 一一对应， 且对应点的切线平行， 则)(s =)(s , 两端对s求微商得 ds sd =, 即 ds sd sksk)()( = ， (这里k0， 若 k=| =0，则 无定义)，所以 ，即主法线平行，那么两曲线的副法线也平 行。 15设在两条曲线、 的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的主 法线平行，证明它们在对应点的切线作固定角。 证 设 , 分别为曲线、 的切向量, , 分别为曲线、 的主法向量, 则 由 已 知)()(ss = ， 而 ds sd ds d +=)( ds sd skk)( + 将式代入 0)(= ds sd k 。所以 常数，故 两曲线的切线作固定角。 16.若曲线的主法线是曲线 的副法线, 的 曲率、挠率分别为, .求证 k= 0 ( 2 + 2 ) ,其中 0 为常数。 证 设的向量表示为r =)(sr ，则 可表示为 =)(sr +)(s)(s ， 的切向 量 = + +（k + ）与 垂直，即 ，所以为常数，设为 0 ，则 （ 0 k） + 0 .再求微商有 0 k （ 0 k）k 0 0 2 ， （ 0 k）k 0 2 ，所以有 k= 0 ( 2 + 2 )。 17曲线r =a(t-sint),a(1-cost),4acos 2 t 在哪点的曲率半径最大。 解 r = a1-cost,sint,-2sin 2 t , r = asint,cost,-cos 2 t , | 2 sin|22| | t r = , r r =1 , 2 cos, 2 sin 2 sin2 2 cos4 , 2 cos 2 sin2, 2 sin2 22232 ttt a t a ttt a=, 微分几何主要习题解答 34 | r r |=2 2 sin2 22 t a , | 2 sin|8 1 | | | 3 t a r rr k= = , | 2 sin|8 t aR = , 所以在 t=(2k+1)，k 为整数处曲率半径最大。 5 一般螺线 5. 证明如果所有密切平面垂直于固定直线,那么它是平面直线. 证法一: 当曲线的密切平面垂直于某固定直线时,曲线的副法向量 是常向量. 即 =0 。曲线的挠率的绝对值等于| |为零，所以曲线为平面曲线。 证法二：设n 是固定直线一向量，则 r n =0 ，积分得r n =p ,说明曲线在以 n 为法向量的一个平面上,因而为平面直线。 证法三：设n 是固定直线一向量，则 r n =0 ，再微分得 r n =0 ， r n =0 。 所以 r 、 r 、 r 三向量共面，于是（ r r r ）= 0 ，由挠率的计算公式知=0， 因此曲线为平面曲线。 7如果两曲线在对应点有公共的副法线，则它们是平面曲线。 证 设一曲线为：r )(sr ，则另一曲线 的表达式为：+=)(sr )(s)(s ， )(s 为曲线在点 s 的主法向量，也应为 在对应点的副法线的方向向量。 与 正交，即 ，于是，为常数。 ， k （k ）也与 正交，即 - 2 =0, 而,所以有，曲线为平面曲线。同理曲线 为平面曲线。 9证明曲线r )(sr 为一般螺线的充要条件为0),( =rrr 微分几何主要习题解答 35 证 =r， )2()(3, 23 2 +=+=rr 2 5333 )(3)2(),( =+=krrr)( 5 ，其中 k0. 曲线 r )(sr 为一般螺线的充要条件为 为常数,即 )( =0,也就是 0),( =rrr 。 方法二： 0),( =rrr ，即0),(= 。曲线r )(sr 为一般螺线，则存在常 向量 e ，使 e =常数，所以, 0, 0, 0=eee 所以 ,共面，从而 （ ,）=0。反之，若（ ,）=0，则 平行于固定平面，设固定平面的法 矢为e ，则有0=e ，从而 e = p (常数)，所以r )(sr 为一般螺线。 方法三：曲线r )(sr 为一般螺线 存在常向量e 使e ，即0e= 平行于固定平面（以e 为法向量的平面）r 平行于一固定平面 ( , ,)0r r r= 。 方法四：“ 设r )(sr 为一般螺线，存在常向量e 使e =常数，即r e= 常 数，连续三次求微商得0,0r er e= ，0r e= ，所以0),( =rrr 。 “因为0),( =rrr ，所以r 平行于固定平面，设固定平面的法矢为n （常向 量） ，则rn ，而, rn ，所以曲线为一般螺线。 11设在两条曲线、 的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的切线平 行，证明它们在对应点的主法线以及副法线也互相平行，且它们的挠率和曲率都成 比例，因此如果为一般螺线, 则 也为一般螺线。 证 设曲线：r =)(sr 与 ：)(srr =点建立了一一对应，使它们对应点的切 微分几何主要习题解答 36 线平行，则适当选择参数可使)(s =)(s , 两端对 s 求微商得 ds sd =, 即 ds sd sksk)()( = ，这里0 ds sd ，所以有 = ，即主法线平行，从而)(s =)(s ， 即两曲线的副法线也平行。且, ds sd = 或 ds sd = 。)(s =)(s 两边对 s 求微商得 ds sd ss)()( =，于是 , ds sd =或 ds sd = ，所以， = 或 =。 第二章第二章 曲面论曲面论 。 曲面的第一基本形式 1. 求双曲抛物面r a（u+v）, b（u-v）,2uv的第一基本形式. 解 ,4,2 ,2 , 2222 vbarEubarvbar uvu += 222222 4,4ubarGuvbarrF vvu +=+= , I = + 2222 )4(duvba2 222222 )4()4(dvubadudvuvba+。 求正螺面r = uvcos ,u vsin, bv 的第一基本形式，并证明坐标曲线 互相垂直。 解 ,cos,sin, 0 , sin,cosbvuvurvvr vu = ，1 2 = u rE ，0= vu rrF ， 222 burG v += ， I = 2222 )(dvbudu+，坐标曲线互相垂直。 微分几何主要习题解答 37 在第一基本形式为 I = 222 sinh udvdu+的曲面上，求方程为 u = v 的曲线 的弧长。 解 由条件= 2 ds 222 sinh udvdu+,沿曲线 u = v 有 du=dv ，将其代入 2 ds得 = 2 ds 222 sinh udvdu+= 22 cosh vdv ，ds = coshvdv , 在曲线 u = v 上，从 1 v 到 2 v的 弧长为|sinhsinh|cosh| 12 2 1 vvvdv v v = 。 4设曲面的第一基本形式为 I = 2222 )(dvaudu+，求它上面两条曲线 u + v = 0 ,uv = 0 的交角。 分析 由于曲面上曲线的交角是曲线的内蕴量，即等距不变量，而求等距不变 量只须知道曲面的第一基本形式，不需知道曲线的方程。 解 由曲面的第一基本形式知曲面的第一类基本量1=E，0= v F， 22 auG+=， 曲线 u + v = 0 与 u v = 0 的交点为 u = 0, v = 0,交点处的第一类基本量为1=E， 0= v F， 2 aG =。曲线 u + v = 0 的方向为 du = -dv , u v = 0 的方向为u= v , 设两曲线的夹角为，则有 cos= 2 2 2222 1 1 a a vGuEGdvEdu uGdvuEdu + = + + 。 6. 求 u-曲线和 v-曲线的正交轨线的方程. 解 对于 u-曲线 dv = 0,设其正交轨线的方向为u:v ,则有 Eduu + F(duv + dvu)+ G d vv = 0,将 dv =0 代入并消去 du 得 u-曲线的 正交轨线的微分方程为 Eu + Fv = 0 . 同理可得 v-曲线的正交轨线的微分方程为 Fu + Gv = 0 . 8. 证明曲面的坐标曲线的二等分角线的微分方程为 E 2 du=G 2 dv. 证 用分别用、 、d 表示沿 u曲线，v曲线及其二等分角线的微分符 号，即沿 u曲线u，v，沿 v曲线 u， v沿二等分 角轨线方向为 du:dv ,根据题设条件,又交角公式得 微分几何主要习题解答 38 22 2 22 2 )()( dsvG vGdvvFdu dsuE uFdvvEdu + = + ，即 G GdvFdu E FdvEdu 22 )()(+ = + 。 展开并化简得 E(EG- 2 F ) 2 du=G(EG- 2 F) 2 dv,而 EG- 2 F0，消去 EG- 2 F得坐标曲线 的二等分角线的微分方程为 E 2 du=G 2 dv. 9 设 曲 面 的 第 一 基 本 形 式 为I = 2222 )(dvaudu+， 求曲面上三条曲线 u = av, v =1 相交所成的三角形的面积。 解 三曲线在平面上的图形（如图）所示。 曲线围城的三角形的面积是 S= + 1 0 22 01 22 a u a a a u dvduaudvduau =2 + 1 0 22 a u a dvduau=2duau a u a + 0 22 )1 ( = a auuaauuau a 0 22222 2 3 22 |)ln()( 3 2 + =)21ln( 3 22 2 + a 。 11.证明螺面r =ucosv,usinv,u+v和旋转曲面r =tcos,tsin,1 2 t (t1, 02)之间可建立等距映射 =arctgu + v , t=1 2 +u . 分析 根据等距对应的充分条件,要证以上两曲面可建立等距映射 = arctgu + v , t=1 2 +u,可在一个曲面譬如在旋转曲面上作一参数变换使两曲面在对应点 有相同的参数,然后证明在新的参数下,两曲面具有相同的第一基本形式. u v V=1 u=-av u=av o 微分几何主要习题解答 39 证明 螺面的第一基本形式为 I=2 2 du+2 dudv+( 2 u+1) 2 dv, 旋转曲面的第一 基本形式为 I=dtdt t t 22 2 2 ) 1 1 (+ + ,在旋转曲面上作一参数变换 =arctgu + v , t =1 2 +u , 则其第一基本形式为: 222 2 2 2 2 ) 1 1 )(1( 1 ) 1 1 ( 2 dvdu u udu u u u u + + + + + + = 222 2 2 2 2 ) 1(2 1 1 ) 1 1 (dvududvdu u du u u + + + + =2 2 du +2 dudv+( 2 u +1) 2 dv= I . 所以螺面和旋转曲面之间可建立等距映射 =arctgu + v , t =1 2 +u . 3 曲面的第二基本形式 1. 计算悬链面r =coshucosv,coshusinv,u的第一基本形式,第二基本形式. 解 u r =sinhucosv,sinhusinv,1, v r =-coshusinv,coshucosv,0 uu r =coshucosv,coshusinv,0, uv r =-sinhusinv,sinhucosv,0, vv r =-coshucosv,-coshusinv,0, 2 u rE = cosh 2 u, vu rrF =0, 2 v rG =cosh 2 u. 所以 I = cosh 2 u 2 du+ cosh 2 u 2 dv . n = 2 FEG rr vu =sinsinh,sincosh,coscosh cosh 1 2 vuvuvu u , L=1 1sinh cosh 2 = + u , M=0, N= 1sinh cosh 2 + u =1 . 所以 II = - 2 du+ 2 dv 。 2. 计算抛物面在原点的 2 221 2 13 2452xxxxx+=第一基本形式,第二基本形式. 微分几何主要习题解答 40 解 曲面的向量表示为2 2 5 , 2 221 2 121 xxxxxxr+= , 0 , 0 , 125 , 0 , 1 )0, 0(21 1 =+=xxrx ,0 , 1 , 022 , 1 , 0 )0, 0(21 2 =+=xxrx ,5 , 0 , 0 11 = xx r , 2 , 0 , 0 21 = xx r ,2 , 0 , 0 22 = xx r , E = 1, F = 0 , G = 1 ,L = 5 , M = 2 , N =2 , I= 2 2 2 1 dxdx +, II= 2 221 2 1 245dxdxdxdx+. 3. 证明对于正螺面r =uvcos,uvsin,bv,-u,v处处有 EN-2FM+GL=0。 解 ,cos,sin, 0 , sin,cosbvuvurvvr vu = ， uu r =0,0,0, uv r =-uucosv,cosv,0, vv r =-ucosv,-usinv,0,1 2 = u rE ，0= vu rrF ， 222 burG v += ， L= 0, M = 22 bu b + , N = 0 .所以有 EN - 2FM + GL= 0 . 4. 求出抛物面)( 2 1 22 byaxz+=在(0,0)点沿方向(dx:dy)的法曲率. 解 0 , 0 , 1, 0 , 1 )0, 0( =axrx ,0 , 1 , 0, 1 , 0 )0, 0( =byry , 0 , 0arxx= ,0 , 0 , 0= xy r , 0 , 0bryy= ,E=1,F=0,G=1,L=a,M=0,N=b,沿方向 dx:dy 的法曲率 22 22 dydx bdyadx kn + + =. 6. 利用法曲率公式 I II kn=,证明在球面上对于任何曲纹坐标第一、第二类基 本量成比例。 证明 因为在球面上任一点处，沿任意方向的法截线为球面的大圆，其曲率为 球面半径 R 的倒数 1/R。即在球面上，对于任何曲纹坐标(u,v)，沿任意方向 du:dv RGdvFdudvEdu NdvMdudvLdu I II kn 1 2 2 22 22 = + + =或- R 1 ，所以) 1 ( RG N F M E L =，即第一、第 二类基本量成比例。 8. 求曲面 2 xyz =的渐近线. 微分几何主要习题解答 41 解 曲面的向量表示为, 2 xyyxr = , 0 , 1 2 yrx+ 0 , 0 , 0,2 , 1 , 0= xxy rxyr , 222242 41,2,41,2 , 0 , 0,2 , 0 , 0yxrGxyrrFyrExryr yyxxyyxy +=+= . 422422 41 2 , 41 2 , 0 yyx x N yyx y ML + = + =. 渐近线的微分方程为 22 2NdyMdxdyLdx+,即, 024 2 =+xdyydxdy一族为 dy=0, 即 1 cy =, 1 c 为常数. 另一族为 2ydx=-xdy, 即.,ln 2 2 2 为常数或ccyxcyx=. 9. 证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐近线. 证 在每一条曲线(C)的主法线曲面上,沿(C)的切平面是由(C)的切向量与(C) 的主法向量所确定的平面,与曲线(C)的密切平面重合,所以每一条曲线(C)在它的 主法线曲面上是渐近线. 方法二：任取曲线:( )rr s= ，它的主法线曲面为:( , )( )( )Ss tr sts=+ ， ( )( )()(1) s ststtt =+=+=+ ， t = ，(1) st tt = + 在曲线上，t = 0 , st = ,曲面的单位法向量 2 st n EGF = ，即n= ， 所以曲线在它的主法线曲面上是渐近线. 11.确定螺旋面r =uvcos,uvsin,bv上的曲率线. 解,cos,sin, 0 , sin,cosbvuvurvvr vu = ， uu r =0,0,0， vv r =-ucosv,-usinv,0 ， uv r =-sinv,cosv,0,1 2 = u rE ，0= vu rrF ， 222 burG v += ， L=0, M= 22 bu b + , N=0,曲率线的微分方程为: 0 00 01 22 22 22 = + + bu b bu dududvdv ,即du bu dv 22 1 + =,积分得两族曲率线方程: 微分几何主要习题解答 42 2 22 1 22 )ln()ln(cubuvcbuuv+=+=和. 12.求双曲面 z=axy 上的曲率线. 解 , 1 , 0,1,1 2222 2222222 yaxa a MLxaGyxaFyaE + =+=+=N=0 . 由 0 1 0 11 222 2222222 22 2 yaxa a xayxaxa dxdxdydy + + =0 得 222222 )1 ()1 (dyxadxya+=+,积分 得两族曲率线为cyaayxaax+=+)1ln()1ln( 2222 . 13.求曲面 2 ),( 2 ),( 2 uv vu b vu a r+= 上的曲率线的方程. 解 , 0, 4 , 4 , 4 22222222 = + = + = + =L uba G uvba F vba E M= 2 2 FEG ab ,N=0.代入曲率线的微分方程得所求曲率线的方程是: 积分得,)()( 22222222 duvbadvuba+=+: cvbavubau+=+)ln()ln( 222222 . 14.给出曲面上一曲率线L,设 L上每一点处的副法线和曲面在该点的法向量成 定角,求证 L 是一平面曲线. 证法一：因 L 是曲率线,所以沿 L 有rdnd n =,又沿 L 有 n =常数,求微商 得正交与而 rdndnnn/, 0=+,所以0=n ,即- n =0,则有=0,或 n =0 . 若=0, 则 L 是平面曲线； 若 n =0 ， L 又是曲面的渐近线， 则沿 L ， n =0 ， 微分几何主要习题解答 43 这时 dn =0 ，n 为常向量，而当 L 是渐近线时， =n ，所以 为常向量，L 是一 平面曲线. 证法二：若 n ，则因n dr ，所以n ，所以 dn ，由伏雷 内公式知 dn （+ ）而 L 是曲率线，所以沿 L 有 dn ，所以有=0,从 而曲线为平面曲线； 若 不垂直于n ， 则有 n =常数,求微商得0,nn+= 因为 L 是曲率线， 所 以沿 L 有dn dr ，所以0n= ，所以0=n ，即- n =0 ，若=0，则 问题得证；否则 n =0 ，则因0n= ，有n ，dn d （- ） ， 矛盾。 15如果一曲面的曲率线的密切平面与切平面成定角，则它是平面曲线。 证 曲线的密切平面与曲面的切平面成定角，即曲线的副法向量和曲面的法向 量成定角，由上题结论知正确。 16求正螺面的主曲率。 解 设正螺面的向量表示为r =uvcos,uvsin,bv. 解,cos,sin, 0 , sin,cosbvuvurvvr vu = ， uu r =0,0,0， vv r =-ucosv,-usinv,0 ， uv r =-sinv,cosv,0,1 2 = u rE ，0= vu rrF ， 222 burG v += ， L= 0, M = 22 bu b + , N = 0,代入主曲率公式 （EG- 2 F） 2 N -（LG-2FM+EN） N + LN- 2 M = 0 得 2 N = 222 2 )(au a + 。 所以主曲率为 22 2 22 1 , au a au a + = + = 。 微分几何主要习题解答 44 17确定抛物面 z=a( 22 yx +)在（0，0）点的主曲率. 解 曲面方程即0,0,2 yy ra= ， 22 , , ()rx y a xy=+ ，1,0,2 x rax= 0,1,2 y ray= ， 0,0,2 xx ra= ，0,0,0, xy r = 0,0,2 yy ra= 。 在 （0， 0） 点,E=1 ,F=0,G=1 ,L=2a ,M=0 , N=2a .所以 2 N -4a N +4 2 a=0 ，两主曲率分别为 1 = 2 a , 2 = 2 a . 18. 证明在曲面上的给定点处,沿互相垂直的方向的法曲率之和为常数. 证 曲面上的给定点处两主曲率分别为 1 、 2 ，任给一方向及与其正交的方 向+ 2 ，则这两方向的法曲率分别为 2 2 2 1 sincos)(+= n ， 2 2 2 1 2 2 2 1 cossin) 2 (sin) 2 (cos) 2 (+=+=+ n ，即 +)(n 21 ) 2 ( +=+ n