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麻省理工学院 电气工程与计算机科学系 6.243j（2003秋季）非线性系统动力学 a.megretski 讲座1： 输入/输出和状态空间模型1 本章介绍非线性动力系统建模的一些基本定义和简单例子。 1.1 动态模型 描述一个系统， 最普遍的方法是采用动态输入/输出模型 （尽管不一定是 最方便的方法） 。 1.1.1什么是信号？ 在这一章中，信号是指局部可微的函数z : r+7 rk，其中r+表示非 负实数。“局部可微”的概念来自于lebesque测度原理， 是指在有限区间内的 微分有意义。广义函数， 例如(t)， 就不是局部可微的。在信号函数中， 一般 将自变量t r+看作“时间”（通常是这样） 。 例1.1函数z = z()由 z(t) = ( t0.9sgn(cos(1/t)t 0, 0t = 0 定义， 当 z(t) = ( 1/tfor t 0, 0for t = 0 时是一个有效信号， 当z(t) = (t)时不是。 上面的定义形式包含了所谓的连续时间 （ct） 信号。 离散时间 （dt） 信号 可以作为特殊ct信号由上面的形式表示。 准确地说， 如果信号z : r+7 rk 在每个时间间隔k,k + 1) (k = 0,1,2,.)内都是常数，那么它就是一个dt 信号。 1.1.2什么是系统？ 系统是产生信号（称为输出信号）的， 通常依赖于其它信号（输入）和一 些参数（初始条件） 。在大部分应用中，系统的数学模型由行为集决定（通常 绝对如此） 。对于自治系统（也就是没有输入的系统） ， 行为集b = z， 其中 信号z : r+7 rk（ 对于所有b中的信号，k必须是一致的） 。对于输入为 v、 输出为w的系统， 行为集包含所有的输入/输出对， 即z = (v(),w()。 这 12003年9月3日版 1 两种定义并没有实质性差别，可以认为信号对z = (v(),w()就是包含依次 排列的输入和输出的单向量信号z(t) = (v(t);w(t)。 在这种定义中，一个确定的输入v()可以出现在(v,w) b的很多输 入/输出对中， 也可以不出现在任何一对中， 所以行为集不一定能把系统输出 定义为任意一个系统输入的函数。典型例子就是唯一确定一个输出，除了要 知道输入外， 还需要知道一些其它信息（初始条件和不确定参数） 。 例1.2由包含所有标量信号对(v,w)的行为集确定常见的理想积分系统（传 递函数为g(s) = 1/s）如下： w(t2) w(t1) = z t2 t1 v()d, t1, t2 0, 在这个例子中， 只要知道v和w(0)， 就可以唯一确定输出。 在例1.1.2中，系统由一个积分方程描述。对于相同的系统，描述方法很 多（例如传递函数和微分方程等） 。 1.1.3什么是线性/非线性系统？ 当一个系统的行为集满足叠加原理时，这个系统称为线性系统。也就是 说， 对于任何z1,z2 b和c r， 有z1+ z2 b和cz1 b。 除去一些没有意义的例子2，由关于v和w呈线性的方程定义的系统是 线性系统。特殊地， 例1.1.2涉及的理想积分系统是线性的。 1.2 系统状态 任意行为模型b = z()都可以定义系统状态， 认识到这一点是很重要 的。 1.2.1在t时刻， 定义同一状态的两个信号 给定时间t0，假设系统状态包含所有过去（t t0） 行为的相关信息， 我们得到以下定义。 定义 假设b是一个行为集， 信号z1,z2 b， 如果信号 z12(t) = ( z1(t)for t t0, z2(t)for t t0 和 z21(t) = ( z2(t)for t t0, z1(t)for t t0 也属于行为集， 那么我们称t0时刻，z1,z2可交换。 定义 假设b是一个行为集， 信号z1,z2,z b， 如果t0时刻，z和z1交换 与z和z2交换是一样的， 我们称z1,z2在b上定义了相同的状态。 2例如由非线性方程 (v(t) w(t)2= 0 t定义的（线性）系统 2 定义假设b是一个行为集，x是一个任意集合，如果只要x(t,z1() = x(t,z2()，z1和z2在t时刻就定义b中的相同状态，那么我们称函数 x : r b 7 x是系统b的一个状态。 例1.3假设系统输入v和输出w是二进制信号， 也就是取值集合为0,1的 dt信号。 输入/输出关系为： 仅当v(t) = 1时，w(t) = 1 ;当t1,t2 z+时， w(t1) = w(t2) = 1；当t (t1,t2) t z时，w(t) = 0；当区间(t1,t2)内刚好 有两个整数t时，v(t) = 1。 也就是说，系统在输入的时候记数一，记到三时，系统计数器清零，输 出1（否则输出0） 。 很容易得出，当且仅当n(t0,z1) = n(t0,z2)时，输入/输出对z1= (v1,w1)和z2= (v2,w2)在（离散）时间t0可交换，其中n(t0,z)是v(t) 中的数字一，z = (v,w) b，t (t0,t1) t z，t1是下一次（t0之后） w(t) = 1时对应的整数时间t。因此，系统状态可以由函数x : r+ b 7 0,1,2 ,x(t,z) = n(t,z)来定义。 在这个例子中， 已知系统状态可以写出系统的状态空间方程 x(t + 1) = f(x(t),v(t),w(t) = g(x(t),v(t)(1.1) 其中 f(x,v) = (x + v)mod3, 并且当且仅当x = 2和v = 1时g(x,v) = 1。 3 麻省理工学院 电气工程与计算机科学系 6.243j（2003秋季）非线性系统动力学 a.megretski 讲座2： 系统模型为微分方程组1 常微分方程（ode）是描述连续时域非线性动力系统最常用的方法。本 章介绍有关ode模型解存在性的一些结论，在系统背景下，这也就是证明内 在联系最佳适切性的方法。 2.1 ode模型及其解 通常用常微分方程描述动力系统对所有输入和初始状态的响应。关于某 些允许输入及初始状态无解的方程不能完整定义系统行为，不适合在分析和 设计中使用。因此， 这一讲的重点就是微分方程解存在性的一般问题。 2.1.1 ode及其解 函数a : z 7 rn在子集z rn r上定义了一个常微分方程。t是 r的一个非空凸子集 （即t可以是r上的一个单点集、 一个开、 闭或半开区 间） 。已知ode x(t) = a(x(t),t)(2.1) 如果(x(t),t) z, t t， 且 x(t2) x(t1) = z t2 t1 a(x(t),t)dt t1,t2 t,(2.2) 那么函数x : t 7 rn称为（2.1）的解。变量t通常指“时间” 。 注意定义（2.2） 中区间格式的使用： 假设函数t 7 a(x(t),t)在t上是可 积的，但是不需要x = x(t)在任何特殊点都可微，这样有利于处理不连续的 信号， 比如阶跃、 矩形脉冲等。 例2.1用sgn来表示“信号”函数sgn : r 0,1,1， 定义如下 sgn(y) 1,y 0, 0,y = 0, 1,y 0所 对应的时间间隔0,tf上不存在满足x(0) = 0的ode x(t) = 0.5 sgn(x(t) 的解。 实际上， 假设x = x(t)是某一解。 因为x = x(t)是有界函数的积分， 所 以它将是时间连续函数。在紧区间上，连续函数通常都有一个最大值。假设 tm 0,tf是t 0,tf上取得最大值时对应的自变量。 如果x(tm) 0，那么tm 0，并且根据连续性，在tm的一个邻域内 x(t) 0， 即存在 0使得所有t tm ,tm时x(t) 0。由微分方程得 x(tm ) = x(tm) + 0.5 x(tm)， 这与前面假设x(tm)是最大值相矛盾。所 以，最大值x(t) = 0。同理，最小值x(t) = 0。也就是对所有t，x(t) = 0。 但是恒为0的函数不满足微分方程。因此， 解不存在。 可以看出，f = f(x,v,t)关于x的不连续导致例2.1.3无解（关于v和 t不连续不会产生这样的问题） 。 2.2 连续 ode 解的存在性 这一节包含了确定右侧连续的微分方程存在解的一些基本结论。 2.2.1连续ode解的局部存在性 这一部分， 我们研究标准ode（与（2.1）相同） x(t) = a(x(t),t)(2.7) 的解x : t0,tf 7 rn， 给定初始条件为 x(t0) = x0。(2.8) 这里a : z 7 rn是定义在z rn r上的给定连续函数。可以得出， 只要某种意义上，至少在一个足够短的时间间隔内，点z0= (x0,t0)位于z 的内部， 带初始条件（2.8）的（2.7）存在一个解x = x(t)。 定理2.1假设对某些r 0 dr(x0,t0) = ( x,t) rn r : | x x0| r, t t0,t0+ r 是z的一个子集。令 m = max|a( x,t)| : ( x,t) dr(x0,t0) 3 那么，当 tf= mint0+ r/m,t0+ r 时（2.7）存在一个解x : t0,tf 7 rn满足（2.8） 。而且任何这种解对所有 t t0,tf都满足|x(t) x0| r。 例2.3 ode x(t) = c0+ c1cos(t) + x(t)2 属于黎卡提方程一类，其中c0和c1是给定常数。黎卡提方程在线性系统理 论中扮演了重要的角色。根据定理2.1， 任何初始条件x(0) = x0下， 在某个 正时间间隔0,tf上， 黎卡提方程存在一个解。 然而， 这并不意味着相应的自 治系统模型（输出w(t) = x(t)）是最佳适切的，因为这种解不一定能扩展到 全部的时间半轴0,)上。 2.2.2极大解 如果x1:t0,t1 7 rn和x2:t1,t2 7 rn都是（2.7）的解，并且 x1(t1) = x2(t1)， 那么由 x(t) = ( x1,t t0,t1, x2,t t1,t2, （即x1和x2串联的结果）定义的函数x : t0,t2 7 rn也是（2.7）的一个 解。这意味着（2.7）的一些解可以扩展到更大的时间间隔中。 如果（2.7）不存在其它解 x : t 7 rn使得t是 t的真子集， 并且所有 t t时 x(t) = x(t)， 那么称解x : t 7 rn为极大解。特别是标准ode系 统模型的最佳适切性要求所有极大解必须定义在全部时间轴t 0,)上。 下面的定理给出了极大解的一个有用特性。 定理2.2若x是rn的开子集，a : x r 7 rn是连续函数，那么（2.7） 的所有极大解定义在开区间上，并且，只要这种解x : (t0,t1) 7 x有一个有 限端点t = t0 r或者t = t1 r（与t0= 或t1= 相反） ，就不存在 序列tk (t0,t1)使得当x(tk)趋近x的极限时，tk趋近于t。 换句话说， 如果缺少对时间变量的预约束， 除非x(t)趋近于a定义集合 的边界， 否则解是不能扩展的。 最典型情形是 （2.4） 中f的域z是rnr+， 也就是x和t都没有预约束。在这种情况下， 根据定理2.2， 解x = x(t)在有 限时间间隔0,tf)上是不能扩展的，tf 0存在 0使得 z t0+r t0 |a(x1(t),t) a(x2(t),t)|dt 0 0,t = 0, x(0) = x0 在0,)上有解(在这个特例中可以通过分析获得解)。实际上，对每个连续 函数x : 0,) 7 r，t 0时，函数t 7 t1/3x(t)在每个有限区间上是可 积的， 并且不等式 z t1 0 |t1/3x1(t) t1/3x2(t)|dt z t1 0 t1/3dt max t0,t1 |x1(t) x2(t)| 成立。 相反， 对每一个x06= 0， 微分方程 x(t) ( t1x(t),t 0 0,t = 0, x(0) = x0 5 在0,)上无解。实际上，如果x : 0,t1 7 r是t1 0的解，那么对所有 t 6= 0有 d dt( x(t) t ) = 0 成立。因此， 对某些常数c，x(t) = ct并且x(0) = 0。 2.2.4微分包含 令x是rn的子集， : x 2r n 是将x中的每一点都对应到rn子 集的函数。那么这个函数定义了一个微分包含 x(t) (x(t)。(2.9) 由（2.1）在r的凸子集t上的解，我们设计一个函数x : t 7 x使得对某些 可积函数u : t 7 x x(t2) x(t1) = z t2 t1 u(t)dt t1,t2 t 在所有t t时满足包含u(t) (x(t)。微分包含是为保证解的存在性重定 义不连续ode的一种方便方法， 尽管它不是最适当的。 可以得出只要集合值函数关于自变量是紧凸集合值和半连续的， 定初 始条件x(t0) = x0的微分包含（2.9）就在足够小的区间t = t0,t1上有解 （另外， 通常x0必须是x的内点） 。 定理2.4假设对某些r 0 (a)集合 br(x0) = x rn: |x x0| r 是z的子集； (b)对每一 x br(x0)时( x)是凸的； (c)每一序列 xk br(x0)趋近于极限 x br(x0)，并且对每一序列 uk ( xk)都存在当q 时序列k = k(q) 使得序列 uk(q) 在( x)中有一个极限。 那么上确界 m = sup| u| : u ( x), x dr(x0,t0) 是有限的，并且，对 tf= mint0+ r/m,t0+ r 存在满足x(t0) = x0的解x :t0,tf 7 rn。此外，任何这种解对所有 t t0,tf都满足|x(t) x0| r。 6 c是定常的不连续微分方程 x(t) = sgn(x(t) + c 在引入 sgn(y) c 1,y 0, h c 1,c + 1 i ,y = 0, c + 1,y 0的球 br( x0) = x rn: | x x0| r， 令t1 t0是实数。假设函数a : x t0,t1 t0,t1 7 rn使得存在常数m 和k满足 |a( x1,t) a( x2,t)| k| x1 x2| x1, x2 br( x0), t0 t t1(3.2) 12003年9月12日版 1 和 |a( x,t)| m x br( x0), t0 t t1，(3.3) 那么，对足够小的tf t0，存在唯一的函数x : t0,tf 7 x满足 x(t) = x0+ z t t0 a(x(),t)d t t0,tf。(3.4) 下一节给出定理的证明。 当a不依赖于第三个变量， 我们得到标准ode 例子 x(t) = a(x(t),t)。 通常，定理3.1包含很多种带无限维状态空间的非线性系统，象卷积算子的反 馈互联和无记忆非线性变换。例如，某反馈系统的输入为v，输出为w，前 向回路是lti系统,传递函数是 g(s) = es 1 s ， 反馈回路由v(t) = sin(w(t)定义，我们可以应用定理3.1证明该系统的最佳 适切性。其中， a( x1,t) = ( sin( x) + h(t),t 1 t, h(t),其它, 这里h = h(t)是依赖于初始条件的给定连续函数。 3.1.3定理3.1的证明 首先证明存在性。 选择tf t1使得tft0 r/m和tft0 1/(2k)。 定义函数xk: t0,tf 7 x如下： x0(t) x0,xk+1(t) = x0+ z t t0 a(xk(),t)d。 由（3.3）和tf t0 r/m我们得到所有t t0,tf时，xk(t) br( x0)。因 此， 由（3.2）和tf t0 1/(2k)我们得到 |xk+1(t) xk(t)| z t t0 |a(xk(),t) a(xk1(),t)|d z t t0 k|xk() xk1()|d 0.5 max tt0,tf|xk(t) xk1(t)| 。 所以我们可以得到以下结论： max tt0,tf|xk+1(t) xk(t)| 0.5 maxtt0,tf|xk(t) xk1(t)| 。 2 因此，由a关于第一个变量的连续性可以得到xk(t)指数趋近于极限x(t)， 它就是我们想得到（3.4）的解。 现在证明唯一性。 注意到， 由tft0 r/m可知 （3.4） 的解在t t0,tf 时一定满足x(t) dr( x0)。如果xa和xb是两个这样的解， 那么 |xa(t) xb(t)| z t t0 |a(xa(),t) a(xb(),t)|d z t t0 k|xa() xb()|d 0.5 max tt0,tf|xa(t) xb(t)| ， 立刻可以得出 max tt0,tf|xa(t) xb(t)| = 0 。 证明完毕。注意到当（3.2） ，（3.3）由弱一些的条件 |a( x1,t) a( x2,t)| k()| x1 x2| x1, x2 br( x0), t0 t t1 和 |a( x,t)| m(t) x br( x0), t0 t t1 替换， 同样的证明也适用。其中， 函数k()和m()在t0,t1上是可积。 3.2 对参数的连续相关性 这一节我们的主要任务是确定依赖于初始条件和其它参数的ode解的 充分条件。 考虑参数化的积分方程 x(t,q) = x0(q) + z t t0 a(x(,q),t,q)d,t t0,t1(3.5) 其中q r是一个参数。 对q的每一个确定值， 积分方程 （3.5） 具有 （3.4） 的 形式。 定理3.2令x0: t0,tf 7 rn是q = q0时 （3.5） 的解。对一些d 0，令 xd= x rn:t t0,tf : | x x0(t)| 0存在 0使得 | x0(q1) x0(q2)| q1,q2 (q0 d,q0+ d) : |q1 q2| 0使得 所有满足|xy| 0存在y y和z x/y使得|y x| 1 的情况。这样，由x bn到sn1内点的映射 g : bn7 bn是从g(x)开 始经过x的开放射线和sn1的（唯一）交集。那么由 h(x,t) = g(tx) 定义的h : sn10,1 7 sn1是恒等映射h(,1)和常值映射h(,0)之间 的同伦。 因为指标函数的存在， 不可能有这样的同伦， 这就证明了这个理论。 4.2.3周期解的存在性 令a : rnr 7 rn是局部李普希茨函数， 并且关于第二个自变量的周 期为t， 也就是 a( x,t + t) = a( x,t) x,t 其中t 0是给定数值。假设初始条件为x(0) bn的ode解 x(t) = a(x(t),t)(4.3) 在任何时候都在bn中，那么所有t r时（4.3）存在周期为t的解x = x(t) = x(t + t)。 事实上， 映射 x 7 x(t,0, x)是连续函数g : bn7 bn。 x = g( x)的解 为周期轨迹定义了初始条件。 4 8.251 作业作业 1 b. zwiebach 问题问题 1. (15 分) 关于单位的练习 (a) 给出库仑单位制(c)和 esu 单位制之间的关系。 (b) 解释温度单位k的含义，以及其与基本的长度、质量、时间单位的关系。 (c) 用电子电量 e，及 c 构造一个无量纲量，并求它的值。 ? 问题问题 2. (10 分) 一般的量子引力效应是很微弱的 (a) 如果在氢原子中电子和质子间的作用力仅有引力， 则氢原子的bohr半径将是多少？ 标准的 bohr 半径 2 9 0 2 5.29 10a me = ? ?cm。 (b) 取则黑洞的温度可以表示为1gc=? 1 8 kt m =。将单位代回公式中，估计一 个 100 万倍太阳质量的黑洞的温度。一个温度为室温的黑洞，其质量是多少？ 问题问题 3. (15 分) 光锥坐标的 lorentz 变换。 坐标 0123 (,)xxx xx =所对应的光锥坐标为 23 (,)xxxx + ，用光锥坐标写出下列 lorentz 变换： (a) 参数为，沿 3 x方向的推动(boost)。 (b) 在 1 x， 2 x平面内，角度为 的旋转。 (c) 参数为，沿 1 x方向的推动。 问题问题 4. (20 分) 电磁场中运动的 lorentz 协变性 一个粒子在电磁场中的运动方程为 () dpv q eb dtc =+ ? ? ， 其中为相对论动量。用p ? f 和四维速度u将上式改写为相对论协变的形式，检验所得公 式的空间部分是否等价于上式，其时间分量是什么？是否有意义？ 问题问题 5. (25 分) 类光紧化 式 2xxr+ 表示坐标轴x被紧化为半径为 r 的圆，同时时间分量未作改变。现在考虑所谓的“类光” 紧化，我们将位置与时间同等对待： 2 xxr ctctr + (1) (a) 将上式用光锥坐标表示出来。 (b) 将点( ,作一个参数为)ct x的推动，得到点(,)ct x，对后者用光锥坐标写出相应 于(1)的式子。 为解释(1)式的物理含义，考虑下式： 1 22 2 s xx rr ctct r + + ， (2) 其中 s r为小量，当其趋于零时(2)简化为(1)。 (c) 证明(2)式是将一个标准紧化的 lorentz 参考系经一推动而得。找出这个 lorentz 系 的推动参数及紧化半径。 (d) 将(c)的答案用空时图表示出来，标明由(2)式联系起来的两点，以及标准紧化的 lorentz 系的空时坐标轴， (注意的符号是否正确)如果你不熟悉空时图， 参考 resnick 和 halliday, 相对论的基本概念, 附录 a。 (e) 将下面这句话补充完整：将一个半径为_的标准紧化作一个参数为_的推 动，当_趋于 0 时，即得一个半径为r的类光紧化。 问题问题 6. (25 分) 四维及五维时空中的行星运动。 考虑我们的世界(四维时空)，以及再多一维的时空中，一个行星围绕一个(质量很大的) 恒星的运动。证明在我们的世界中，行星的绕行在小扰动(举个例子，陨星撞击地球)下是稳 定的， 但在五维时空中却是不稳定的， 此时遭到陨星撞击的行星或者沿螺旋形轨道坠向恒星， 或者将逃逸到无穷远。 用极坐标，( )r t( ) t研究在平方反比中心力作用下的行星运动，通过分析( )r的微分 方程得出上述结论。注意角动量是守恒的。提示：找关于1 ( )r的微分方程会更简单。 2 8.251 作业作业 10 b.zwiebach 问题问题 1. (30 分) 快子势 考虑标量场论，作用量为 1 ( 2 d sd xv ( )= 。 (1) 我们将考察三个标量势： 2 10 0 111 ( )() () 32 v 0 =+ (2a) 2 2 2 2 0 1 ( )ln() 4 v = (2b) 2 2 30 2 0 1 ( )(1) 4 v 2 = (2c) 其中 0 是(正的)常数。对每个势： i v (i) 画出( ) i v-的函数图线。 (ii) 找出势的驻点及其在这些点上的值。 (iii) 每个驻点代表着此标量场论的一个可能的背景。在每一个驻点附近将作用量展 开，记=+，其中是小量。用这个求出标量粒子的质量。 1 v是一不稳定玻色 d-brane 上的快子势的一个粗略近似，则是真实的不稳定玻色 d-brane 上的快子势！是一对相合的超弦 d-brane 和反 d-brane 上的快子势的粗略模型。 2 v 3 v 问题问题 2. (20 分) 0 ll 0的性质 (a) 考虑闭弦 virasoro 算符并证明 00 ,( ,) x ll xi = 。 (1) (b) 用(1)的结果计算 000000 ()() ( , )? i lli ll exe = (2) 不要假设 0 很小。 (c) 证明 00 2 () 0 0 1 2 i ll d e = p (3) 是投影到 00 0ll=的态上的投影算符。 问题问题 3. (20 分) 弦的荷(续) 如我们在作业 8 中看到的，一根弦携带一个流，这个流是 kalb-ramond 场的源。特别 地，考虑沿轴延伸的一根静态弦，其他坐标均为零。此弦由式 1 x 1( , ) x =描述，为 1 常数。你已经证明了 h j x = ， (1) 利用规范 0( , )xc =则流中唯一的非零项为 011223 1 (,; )sgn( ) () ()() 4 dd jx xxtxxx = ?。 (2) 为和直觉一致我们将问题限于四维，三维空间一维时间。弦仍沿 x 轴伸展，y=z=0。这个问 题的目的是找出此弦及其所携带的荷所激发的 kr 场。 (a) 假定仅有和(及置换指标所得的分量)不为零，试着利用(2)式找到方程(1) 的一个解。建议令，。 012 h 013 h 012 y he= 013 z he= (b) 找出与上面得到的 h 场对应的b 。 (c) 我们定义对偶场 1 6 hh =，其中是全反对称的， 0123 1 +。弦所携带 的荷 q 定义为 qhqh dx = ， 其中是包围弦的任一曲线。取为圆，计算弦携带的荷 q。 22 yzr+= 2 问题问题 4. (40 分) 在平行的 d-brane 间的弦的谱。 考 虑 一 对 平 行 的dp-brane ， 位 置 分 别 由 1 aa xx=及 2 a xxa=确 定 ， 其 中 。即二 d-brane 均沿方向延伸。现在考虑端点分别在两个 brane 上的开弦的量子化。(为采用光锥规范我们假定，这样和就能像在单个 d25-brane 的情形中一样用光锥规范处理。) 1,2,appd=+? 12 , p x xx? 1p 0 x 1 x 事实上位于这两个 brane 间的弦有两类：从第一个 brane 延伸到第二个的，及从第二个 到第一个的(开弦的起点为0=，终点为=)。 (a) 解释为什么这两类弦不等价。 从现在起我们只考虑从 brane1 到 brane2 的开弦。 令， i x2,ip=?代表 brane 延展方 向的(光锥)横向坐标。 (b) 给出变量( ,) i x 及( , ) a x 的边界条件。 (c) 用振子将( , ) a x 做模式展开(mode expansion)。给出包括零阶项在内的所有振子 的对易关系。可以证明 0 的乘序和临界维度与 d25-brane 的情形一样。 (d) 建立这个量子问题的态空间。真空态的符号是什么？给出新的质量平方的公式。由 于弦位于两个 brane 之间，且弦的张力应对质量有贡献，故这个质量公式中应包含正比于二 brane 间距的部分。 (e) 列出最低两个可能的质量值对应的态及其描述。对于间距超过一临界距离的两 brane，弦的谱并不包含快子。这个临界距离是多少？ (f) (挑战!) (e)中态的正确的场论描述是多少有点微妙的。考虑当 brane 的间距变为零时 质量也变为零的态它们代表的场是什么？一个规范场通过 “吃掉” 一个标量场来获得质 量。一个有质量的规范场有(个自由度，而无质量规范场有(1d )2d 个自由度。你能 2 对有质量规范场包括了哪个标量态做出合理的猜测吗？ 3 8.251 作业作业 11 b.zwiebach 问题问题 1. (20 分) 有质量的矢量(massive vector) 这个问题的目的是了解与有质量的 maxwell 场相联系的作用量原理与运动方程。我们 也将看到在 d 维时空中，无质量规范场有 d 2 自由度，而有质量的矢量有 d 1 自由度。 考虑作用量，其中 d sd x= l 2 1111 () 2222 aaaam a aa m = + l (1) 上式中前两项是熟悉的 maxwell 场所固有的。第三项看起来像是 maxwell 场的质量项，但 仅此一项还不够。剩下的项给出了一个标量场，我们将会看到这个标量场被“吃掉”从而给 规范场一个质量。 (a) 证明作用量 s 在规范变换 a = ，m= (2) 下不变，其中是需要确定的常量。注意其中规范场所经的是常规的 maxwell 规范变换， 而标量场的变换方式是不一般的。 (b) 对作用量变分，写出a和满足的场方程。 (c) 论证规范变换允许我们令0=。这样就消失了，我们说它被“吃掉”了。这时 (b)中的场方程简化为什么形式？ (d) 写出动量空间中的化简后的场方程， 证明对 2 pm2 没有非零解， 而的 解表明有 d 1 自由度(建议用一个 lorentz 变换将矢量 22 pm= p变为只有一个分量不为零，从而 表明其满足)。 22 pm= 问题问题 2. (40 分) polyakov 作用量 弦的 polyakov 作用量为 1 4 sd dhhxx = ， (1) 其中det()hh，h是h的逆： hh =，2hh =。 (2) 指标，取两个值，如 1，2。另外 ，( , ) =。h代表了数学上的二维 世界面的一个度规。 (a) 对(1)的作用量变分，求出x 满足的运动方程。(不要把导数展开!) (b) 为对度规h变分我们需要先得到一个普遍结果。 令 a 为 22 的矩阵，a为其变 分： 1112 2122 aa a aa = ， 1112 2122 aa a aa = 。 (3) 1 证明 a 的行列式的变分可以写为 1 detdettr()aaaa =， (4) 其中为a的逆，为迹。事实上这个公式对任意维的矩阵都成立。 1 atr (c) 求出在度规变动h下由(1)的作用量所得的运动方程。注意h和h由(2)式 相联系。 (d) 证明(c)中所得的运动方程表明 ( )hfx x =， (5) 其中 f 为某个标量函数(没有指标)。这意味着度规h的运动方程使其与曲面的普通度规成 正比。将这个结果代回作用量(1)，证明你将得到 nambu-goto 作用量! 二维几何的定理告诉我们，坐标的再参数化能使任意二维度规h写为 ( )h =， (6) 其中为一共形因子共形因子， 是二维 minkowski 度规。这种度规的选择被称为共形规范。 (e) 考察在条件(6)下x 的运动方程，证明你将得到预期的波动方程。在条件(6)下研究 (c)中所得的度规的运动方程，证明你将得到两个熟悉的再参数化约束条件。 问题问题 3. (40 分) 在一 dp-brane 和一 d25-brane 间的弦的谱 考虑由()确定的一 dp-brane。另有一 d25-brane 遍及全空 间。这个问题的目的是考虑始于 dp-brane，终于 d25-brane 的开弦。始于 d25-brane，终于 dp-brane 的弦的处理是完全类似的(为采用光锥规范我们假定，这样和就能用光 锥规范处理)。令代表 dp-brane 延展方向的横向光锥坐标，其中 0 a x=1,2,appd=+? 1p 0 x 1 x i x2,ip=?。 (a) 写出所考虑的弦的坐标( ,) i x 及( , ) a x 须满足的边界条件。 记 neumann 为 n， dirichlet 为 d，将坐标的边界条件简记为 nn，nd，dn 或 dd，其中第一个符号代表0= 处的边界条件，第二个符号代表=处的边界条件。 i x的量子化是早已熟悉的，但的量子化包含了一些有趣的困难之处。 a x (b) 考虑已知的 1 ( , )()() 2 aaa xfg =+， 用边界条件建立和的关系，并对加以限制。 a g a f a f 事实上，你会发现函数对( ) a fu 2uu+是反周期性的，即周期为4。用这个事 实找出一个合适的模式展开(mode expansion)。 在定义振子 a n 时注意， 迄今为止我们所考虑的所有例子中， 对坐标展开时每个振子 n 均有一个因子 in e 。在当前问题中这将导致分数的指标! 证明有 2 2 2 2 sin() ( , ) n n n iaa n n odd xe = 。 2 (c) 考虑对易式,，导出新的分数振子的对易关系。 ab xp (d) 计算对 virasoro 算符 a xl的贡献。注意虽然的模式都是半整数，我们所得的 virasoro 算符的模式却都是整数的。 a x (e) 尝试找出 virasoro 算符的正确乘序。即，求出下式中的常数 0 l(0)： 0 1 (0pl p + =)， 其中定义为一没有常数项的确定乘序的算符。为此，回忆 d25 情形中 24 个光锥坐标的 每一个都有贡献 0 l 11 (1234)() 221224 += ? 11 。 每个坐标对乘序常数的贡献是多少？最终所得的 a x(0)是多少？ (f) 写出新的质量平方的公式。列出最低两个可能的质量值对应的态。 3 8.251 作业作业 2 b.zwiebach 问题问题 1. (15 分) 关于 lorentz 变换的更多内容 证明这个四分量的微分算符 x 在 lorentz 变换下与指标在下的四维矢量p以相同的 方式变换(对推动(boost)证明之即可)。因此，对上指标的坐标x的偏微分算符表现为一个下 指标四维矢量，因而写作 。 问题问题 2. (20 分) maxwell 方程组的四维形式 (a) 在课堂上我们讲过方程 0tfff += 代表了 maxwell 方程组中的两个方程。证明t是全反对称的。令其等于零可以得到几个 独立方程？严格地由其推导出两个无源 maxwell 方程。 (b) 在课堂上我们讲过，由 4f j xc = 可以得到另外两个 maxwell 方程。写出推导过程。 问题问题 3. (20 分) 三维空间中的 e 和 m (a) 假设 z 方向上不能有力的分量，且场量与 z 无关，由此写出四维的 maxwell 方程和 lorentz 公式在三维的简化形式 ( , , )t x y (b) 采用关于的协变方程重复上述过程，像上一次作业里的问题 4 一 样考察 12 ( ,)aa = a f，maxwell 方程，以及运动方程的时间分量。 问题问题 4. (30 分) 紧化五维时空中的质点引力场 考虑未紧化的五维时空，空间坐标为( , , ,)x y z，已知一质量为m的质点被置于原点 ( , , ,)(0,0,0,0)x y z=。 (a) 写出此质点产生的引力势。这里，注意将你的结果 用表出。其中可能会用到公式 ( )v r 2222 1/ (rxyz=+ 2 ) )(5) g 2(5 4 m vg=，及散度定理。注意你的结果中的常量 是否正确需要求三维球体的体积。 现在让紧化为一个半径为的圆，质点仍放在原点。 a (b) 写出引力势的精确表达式。这个势实际上是的函 数，并可以写成一个无穷级数。 ( , , ,0)v x y z 222 1/ ()rxyz+ 2 (c) 证明当ra?时上面的引力势趋于一个四维引力势的形式，继而牛顿引力常量 可由表示并求出提示：将无穷级数写成积分。 (4) g (5) g 上面的结果显示了四维和紧化五维时空中的牛顿引力常量间的关系，以及当距离远大 于紧化尺度时四维势的出现。 1 8.251 作业作业 3 b.zwiebach 问题问题 1. (30 分) 弦的变分问题 考虑从延伸至0x =xa=的一根弦， 受张力， 质量的线密度与位置有关， 记为 0 t( ) x。 (a) 写出决定此弦的谐振频率 n 的方程。 (b) 用变分法给出最低谐振频率 0 的上界(可通过与量子力学中，基态能量的上界为 , , h 类比而得)。解释你的方法行的通的原因。 (c) 考虑当 0 ( ) x x a =时的情形。用你的变分原理找到最低谐振频率的上界。 问题问题 2. (20 分) 弦上的纵波 考虑密度均匀( 0 )，从延伸至0x =xa=的一根弦。令平衡时的张力为。仅当张力 随弦伸缩而变化时纵波才可能存在。已知弦长为 0 t l，张力为，弦有一微小伸长 0 tl，张力 相应变化，并记t 0 1l k lt = 。写出描述此弦纵向微振动的方程。给出波速。 问题问题 3. (30 分) 弯曲时空中点粒子的作用量 用平直 minkowski 度规 定义的间隔 2 dsdx dx =在弯曲时空中推广为 2 ( )dsgx dx dx = 其中g是依赖于位置的度规系数。同样可由gg =定义g的逆矩阵g 。考虑弯 曲时空中质量为的点粒子的作用量 m 2 smcds= 由作用量原理写出这个粒子的运动方程。答案的形式为 2 2 0 d xdxdx ddd += 式中为描述路径的任意参数，是需要你求出的一个依赖于度规及其一阶导数的量。 g 问题问题 4. (30 分) 四维 nambu-goto 闭弦 考虑在时刻在0t =( , )x y平面上为一半径r的圆的闭弦，其速率为零，求其随时间的 演化。 1 8.251 作业作业 4 b.zwiebach 问题问题 1. (20 分) 点粒子运动方程的再参数化 考虑质量为 m 的自由质点的作用量 2 smcd= ， 若用固有时改写积分路径， 则由变 分原理得到的运动方程为 2 2 0 d x d =。 (1) (a) 考虑一个新的参数( )f= ? 。当运动方程的形式为 2 2 0 d x d = ? 时，函数f最一般的 形式是什么？ (b) 用任意参数描述质点轨道( )x，并有 22 () dxdx c dd dd 2 = ， 对作用量变分，找出在再参数化变换下形式不变的运动方程。 问题问题 2. (30 分) 四维 nambu-goto 闭弦 考虑一闭弦，在时为0t =( , )x y平面上一半径为r的圆，速度为零。求此弦随时间的 演化。它的速度如何随时间变化？在以, ,x y ct为轴的三维坐标中画出弦随时间演化的时空 面。 问题问题 3. (15 分) 开弦端点运动的协变分析 考虑从 nambu-goto 拉氏密度得到的p x = l ，正如课上所讲，p 在自由开弦的端 点为零。求p p ，并证明其结果意味着自由开弦的端点必须以光速运动。 问题问题 4. (20 分) nambu-goto 弦的哈密顿密度 考虑 nambu-goto 作用量及其拉氏密度l，记 0 txc= =。从拉氏密度求出动力学变 量( , )x ? 的共轭动量( , )p ? ，并由此得出哈密顿密度h。将在条件0 xx t = ? 下参 数化，使哈氏密度的形式尽可能简化。写出总哈密顿量()hdds= h，证明你的 结果与弦能量的解释一致，即静止质量完全来自于张力的弦的横向运动能量。 1 8.251 作业作业 5 b.zwiebach 问题问题 1. (30 分) 端点在不同维度的 d-brane 上的开弦 考虑有维空间坐标的时空，一个 dp-brane 是维空间中的一个ddp维超平面。故 d