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不定积分习题课不定积分习题课 通过这一章的学习，我们认为应达到如下要求： 1、理解原函数、不定积分的概念。 2、掌握不定积分的基本性质，牢记基本积分公式，了解并能灵活应用若干常用积分公式。 3、理解不定积分的换元积分法和分部积分法的基本思想并能熟练运用于不定积分的计 算。 4、掌握有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的不定积分的计算方法和技巧。 一、知识网络图一、知识网络图 1 定 不 分 积 某些无理函数积分 三角函数有理式积分 有理函数积分 特殊函数的积分 查表法 分部积分法 第二换元积分法 凑微分法第一换元积分法 换元积分法 直接积分法 计算方法 基本积分公式 不定积分的性质 性质与公式 不定积分的几何意义 不定积分 原函数 基本概念 . 4 )( . 3 . 2 . 1 一、求不定积分：一、求不定积分： 例例 1. 计算 2 2arctan x x e dx e . 提示： 2 2arctan x x e dx e = 22 22 arctanarctan (1) x xxxx xx de e deee ee = 2 22 arctan (1) xx xx xx dede ee ee = 2 1 arctanarctan xxx x eee e C 例例 2计算 dx xx)1 ( 1 解一 dx xx)1 ( 1 =Cxxxd x 22 22 ) 2 1 () 2 1 () 2 1 (ln) 2 1 ( ) 2 1 () 2 1 ( 1 =Cxxx) 1( 2 1 ln 解二 dx xx)1 ( 1 = 1 2 )1ln(2 )(1 2 )1 ( 1 Cxx x xd dx xx =Cxxx) 1( 2 1 ln 其中 2ln 1 CC 方法小结当被积函数含有根式时，通过巧妙的凑微分化成常用积分公式。 例例 3计算 dx e xe x x 2 ) 1( 解一 令，则 te x dx e xe x x 2 ) 1( =dt ttt t t tddt t t dt tt tt 1 1 1 1 ln ) 1 1 (ln ) 1( ln1 ) 1( ln 22 =Ctt t t dt ttt t ) 1ln(ln 1 ln 1 11 1 ln =Ce e xe x x x ) 1ln( 1 解二 dx e xe x x 2 ) 1( =dx ee x e dx e exd xxxx x 1 1 1 ) 1 1 ( ) 1( ) 1( 2 = ) 1(1) 1(1 xx x xxx x x ee de e x dx ee e e x =Cee e x de eee x xx x x xxx ) 1ln(ln 1 ) 1 11 ( 1 =Ce e xe x x x ) 1ln( 1 方法小结 被积函数中含有的不定积分， 可令, 从而将积分化为其它易积的积分。 另一方面，当用分部积分法，其中难以一步得到时，可以先将其中一部分凑成 x ete x dvu, )()(xdxf 的形式，从而)(xdfdv。 例例 4计算 22 arctan (1) x dx xx . 2 解一 令arctanxt，即tgtx，则 tdtdx 2 sec 22 arctan (1) x dx xx = 222 22 seccot(csc1) tansec t tdtttdtttdt tt = 2 cotcotcot 2 t tdttdttttdt = 2 cotln|sin | 2 t tttC =C arctgx x x x arctgx 2 )( | 1 |ln 2 2 解二 22 arctan (1) x dx xx = 222 11arctan ()arctanarctanarctan 1 x xdxdxxdx xxx = 2 2 arctan(arctan ) 2 xx dx x 2 1(arctan ) arctan 2 x xd x 2 2 arctan1(arctan ) (1)2 xx dx xxx 令 t x 1 ，则Cttd t dt t t dx xx ) 1ln( 2 1 ) 1( 1 1 2 1 1)1 ( 1 22 222 =C x x | 1 |ln 2 从而原式= 2 2 arctan(arctan ) ln| 2 1 xxx C x x 。 方法小结当被积函数含有难积的反三角函数时，通常的做法是将这一部分作变量替换。另 若分母为相差一个常数的两个因式的乘积，则可以将分式拆项，分别积分。 例例 5. 计算 dx x x cos1 sin1 分析一本题属于三角函数有理式的积分, 可以利用万能公式作变量替换。 解一 令 tan 2 x t ，则 22 2 2 1 2 , 1 1 cos, 1 2 sin t dt dx t t x t t x dx x xsin1 cos1 Cttdt t t dt t tt dt t t t t t )1ln() 1 2 1 ( 1 12 1 2 1 1 1 1 2 1 2 22 2 2 2 2 2 = 2 tanln(1tan) 22 xx C 3 分析二 本题被积函数含有三角函数, 若适当利用三角函数恒等式（如倍角、半角公式、和 差化积、积化和差等公式） ，往往能简化计算。 解二 4 dx x xsin1 cos1 22 12sincossin 1 222 2tan2ln |cos 222 2coscoscos 222 xxx xxx dxddC xxx | 2 x 方法小结 一般地，被积函数含有三角函数时，常利用万能公式作变量替换或利用三角函数 恒等式进行化简。前者虽然是通用的方法，但往往不是最简便的。另须注意，本题两种解法 给出的结果虽然不一致，但求导后都等于被积函数，所以都是正确的。 例例 6计算 dx xbax)( 1 分析一注意到被积函数中含有两个根式，可以先将其中一个根式有理化，再将余下的根式 作变量替换。 解一 xb ax ax xbax ax xbax 1 )( 1 令, t xb ax 即, 1 2 2 t bta x , )1 ( )(2 22 dt t tab dx dx xbax)( 1 = 2 2222 12()1 22arctan2arctan ()(1)1 tba txa tdtdttC ba tttbx C 分析二本题也可以用凑微分法，计算过程更为简便。 解二 dx xbax)( 1 =C xb ax axab axd axd xb arcsin2 )()( 2 2 2 方法小结 当被积函数含有根式时，常常需要对根式进行处理，通常作变量替换，也可以用 凑微分法。 例例 7. 计算 dx x 2 sin3 1 分析一 被积函数分子、分母同除以，可化为的函数，利用x 2 sinx 2 csc 2 csccotxdx， 22 csccot1xx可以将积分化简。 解一 dx x 2 sin3 1 = 2 22 22 csccot1cot 2 (3csc1)3cot43 cot() 3 xdxd dx xx x x = 13cot 2 3 2 3 x arctgC。 分析二 被积函数分子、分母同除以，可化为x 2 cos 22 sec,tanxx的函数，而利用 2 sectanxdx，可以将积分化简。 解二 5 dx x 2 sin3 1 = 2 222 22 s sec ectan1tan (3)4tan343 tan() 2 xdxd dx xtg xx x x = 1 2tan 433 2 x arctgC 方法小结 当被积函数含有或xsinxcos的齐次函数时，常从各项中提取或，凑 成或。 x 2 sinx 2 cos tandxcotdx 例例 8. 计算 dx xx 24 1 1 分析一 注意到被积函数中根式内外都有x的幂次，可尝试用倒代换。 解一令 t x 1 ，则 dx xx 24 1 1 =du u u u udu tu t dtt t dt 3 t 1 11 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 22 2 =Cuudu u duu 1 2 1 2 3 )1 ()1 ( 3 1 1 1 2 1 2 1 =Ctt 2 2 1 2 2 3 )1 ()1 ( 3 1 =C x x x x 2 3 32 1 3 )1 ( 分析二本题也可以用三角代换，令tanxt，则根式下可化为。从而 x 2 sec 被积函数可化为、xsinxcos的函数。 解二 令tanxt， dx xx 24 1 1 =C t t t td t td td t t dt t t sin 1 )(sin 3 1 sin sin sin sin sin sin sin1 sin cos 3 244 2 4 3 = 3 1 secsec t () 3 tanan tt C tt C x x x x 2 3 32 1 3 )1 ( 方法小结 被积函数中含有x的幂次，可尝试用倒代换，如果出现，或)( 22 ax )( 22 xa )( 22 ax ，)( 22 xa 则可以采用三角代换，然后利用三角函数恒等式将被积表达式化简。 例例 9. 计算 dx xx x1 1 1 分析一被积函数中含有复杂的根式 x x 1 1 ，因此可以先将此根式作变量替换。 解一令t x x 1 1 ，则, 1 1 2 2 t t x , )1 ( 4 22 dt t t dx 从而 dx xx x1 1 1 dttt t dt t t t t t )1)(1 ( 4 )1 ( 4 1 1 22 2 222 2 = 22 111 2 ()ln2arctan 111 t dttC ttt = 111 ln2arctan 111 xxx C xxx 分析二本题可以先根式有理化为 dx xx x1 1 1 2 ，然后令txsin，即可将根式化去。 解二 dx xx x1 1 1 = dx xx x1 1 1 2 令tanxt，则 原式= dx xx x1 1 1 2 td tt t sin sin 1 sin1 cos = dt tt t sin 1 sin1 cos2 =ln csccottttC Cttdtcsc =Cttdtcsc=ln csccottttC =Cx x x x arcsin 11 ln 2 方法小结 被积函数中含有复杂的根式，可以先将根式作变量替换。可以先根式有理化，然 后通过三角代换将根式化去。 例例 10. 计算dx x x 3 2 cos sin 分析一 xdxxdxdx x x dx x x secsec cos cos1 cos sin 3 3 2 3 2 ，而前一个积分可以用分部积分法， 后一个积分可以利用常用积分公式。 解一 xdxxdxdx x x dx x x secsec cos cos1 cos sin 3 3 2 3 2 由于 32 secsectansectantansecsectansecsec 3 xdxxdxxxxxdxxxxdxxdx 故 3 11 secsectansec 22 xdxxxxdx 6 从而原式= 3 11 secsecsectansec 22 xdxxdxxxxdx = 11 sectanln sectan 22 xxxxC 分析二注意到 22 3 sinsin tantan sintan coscos xx dxdxxxd xx x，本题也可以用凑微分法。 解二 22 2 3 sinsin1 tantan sintansin(tan ) coscos2 xx dxdxxxdxxdx xx = 22 1111 sin (tan )sintansin (tan )tancos 2222 xxxxdxxxxd x = 22 111 sin (tan )tan coscos sec 222 xxxxx xdx = 2 111 sin (tan )tan cossec 222 xxxx xdx = 11 tan (sintancos )ln sectan 22 xxxxxxC 方法小结在用分部积分法的过程中，常会出现所求积分在等式右端再现的情况，从中即可 求出所求积分。 例例 11(2004年高数一)已知，且 xx xeef )(, 0) 1 (f则)(xf . 分析 已知条件与的导数有关, 所求的是的表达式, 若能求出的导数, 则 其导数的不定积分即为. )(xf (xf )(xf)(xf ) 解答 设, 则te x txln, 从而. ln )( t t tf 因 所以有.)()(Cxfdxxf .)(ln 2 1 lnln ln 21 2 CxfCxxxddx x x 故.ln 2 1 )( 21 2 CCxxf 由于, 0) 1 (f故取, 0 21 CC所以xxf 2 ln 2 1 )(. 练习：设，且xxf 22 sec)(tan1)0(f，求 )(xf 解： 令，则，于是xu 2 tan1)(uuf 1 2 1 )()( 2 uuduufuf 1)0(f，1 c，1 2 1 )( 2 xxxf。 例例 12(1992年高数二) 求 . 1 2 3 x dxx 7 分析一 本题中难积的部分是.1 2 x如果将视作整体,则分子部分可设法凑成 2 1x ).1 ( 2 xd 解一 Cxx xd x x xd x x xd x x x dxx 2 1 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 )1 ()1 ( 3 1 )1 () 1 1 1( 2 1 )1 ( 12 11 )1 ( 121 分析二 注意到被积函数中含有的形式,故可考虑用三角代换法. 22 xa 解二 令tan() 22 xtt , 则 tdtdxsec 2 33 222 2 3 31 22 22 tan sectansec(sec1) sec sec 1 1 secsec 3 1 (1)(1) 3 x dxt tdttdttdt t x ttC xxC 例例 13(1997年高数二) )4(xx dx 分析一 本题分母中分离出. x 与分子可结合为 .2xd x dx 而分母中余下的部分可化为 .)(4 2 x 解一 C x x xd x dx x xx dx 2 arcsin2 )(4 2 4 1 )4( 2 . 分析二 本题分母中根号下部分可配成完全平方形式: .)2(4 2 x而分子可凑成 ).2( xd 解二 C x x xd xx dx 2 2 arcsin )2(4 )2( )4( 2 . 8 例例 14(1993年高数一) 求 . 1 dx e xe x x 分析 本题中难积的部分是. 1 x e 如果将视作整体,则分子部分须设法凑成 的形式，但本题分子部分是，故须将 1 x e dxeed xx ) 1(dxxe x 1 x e视作整体，作变量替换。 解答 令, 1 x eu 则).1ln( 2 ux. 1 2 2 du u u dx Cearctgeex Carctguuuu du u u uu duudu u u u uu dx e xe xxx x x 141412 44)1ln(2 1 4 )1ln(2 )1ln(2 1 2)1ln()1 ( 1 2 2 2 2 2 2 22 例例 15 (2003年高数二) 计算不定积分 arctan 3 2 2 . (1) x xe dx x 分析 本题中含有难积的反三角函数，遇到这种情形，通常的做法是将反三角部分作变量 替换。 解答 令arctan,xt则tan .xt.sec2tdtdx arctan 2 33 22 22 tan secsinsinsincos (1)(1 tan) sincossin xt ttt ttt xeet dxtdtetdttdeetetdt xt etetetdt t 故 arctan 3 2 2 1 sin(sincos ) 2 (1) x tt xe dxetdtettC x arctan 2 (1) . 2 1 x xe C x 练习： dx x x x x 2 2 2 1 1arcsin 解： 令，则 uxsinududxcos 原式duu u u u u cos cos sin1 sin 2 2 2 2 2 1 cot sin uuudududu u u cxxx x x cuuuu 2 2 2 )(arcsin 2 1 lnarcsin 1 2 1 sinlncot。 9 10 0x例例 16. (1999年高数四) 设是的原函数，且当时，)(xF)(xf 2 )1 (2 )()( x xe xFxf x 已知试求 , 0)(, 1)0(xFF).(xf 分析 已知条件与的原函数，若能求出，求导后即得 )(xf)(xF)(xF).(xf 解答 由 有),()(xfxF 2 )1 ( )()(2 x xe xFxF x ，两边积分得： C x e dx x xe dxxFxFxF xx 1)1 ( )()(2)( 2 2 由得, 0)(, 1)0(xFF x e xF x 1 )(. 求导后即得. )1 (2 )()( 2 3 2 x xe xFxf x 练习：设是的一个原函数， 当时有， 且 F(0)=1， 求 )(xF)(xf0x)(xfxxF2sin)( 2 0)(xF)(xf 解： 因为，所以 ，)(xf)(x F )(x F )(xFx2sin 2 )( x FdxF)(x xdx2sin 2 )( x FdxxF)()( 2 1 2 xF， cxxdxxxdx 4sin 8 1 2 1 )4cos1 ( 2 1 2sin 2 故cxxxF4sin 4 1 )( 2 ，由11)0(cF，于是有 2 1 14sin 4 1 )( xxxF )(xf)(x F 14sin 4 1 2 4cos1 xx x 例例 17. (1999年高数二) dx xx x 136 5 2 分析 本题属于有理分式的积分，一般来说，可以将真分式化为若干部分分式之和，然后 分项积分。但这样做，有时显得很繁杂，本题可以将分母的一部分凑成完全平方。 解答 dt t t txdx x x dx xx x 22222 2 8 3 2) 3( 5 136 5 令 2 1 ln(4)4arctan 22 t tC = 2 13 ln(613)4arctan. 22 x xxC 例 18 求 dx x x 2 1 1 arctan dx xx x ) 1( 1 1ln 解： 原式 x d x x 1 1 1 1 arctan 2 c xx d x 2 3 1 arctan 3 21 arctan 1 arctan 原式dx x x x 1 1 1 1ln 2 x d x x1 1 1 1 1 1ln c x 1 1ln 2 1 2 。 练习： lntan sin2 x dx x 11 解： lntan sin2 x dx x = 2 2 lntan1lntan11 tanlntanlntanlntan sin 2tan24 2cos cos xx dxdxxdxxC x x x x 。 例 19. 求 dx xxsin22sin 1 dx xxcossin 1 3 解： 原式 ) 1(cossin2xx dx 2 cos2 2 cos 2 sin4 2x xx dx 2 cos 2 sin 2 4 1 3x x x d 2 cos 2 tan 2 tan 4 1 2x x x d 2 tan 2 tan 2 tan1 4 1 2 x d x x c xx 2 tan 8 1 2 tanln 4 1 2 原式 dx xx xx cossin cossin 3 22 dx x x xx dx 3 sin cos cossinx dx x x dx x x 2 sin2 1 sin cos cos sin c x xx 2 sin2 1 sinlncosln 练习 1：求 dx x ex x 2 2 )2( 解：原式 2 1 2 x dex x dxxeex xx ex xx x 2 2 1 2 2 2 dxxe x ex x x 2 2 （再分部积分） dxexe x ex xx x 2 2 cexe x ex xx x 2 2 练习 2： 求 2 (1) x xe dx x dx x xxx e x 2 3 sin cos sincos 解： 原式 dx x eex xx 2 ) 1( ) 1( dx x e dx x e xx 2 ) 1(1 1 1 1x dedx x e x x c x e dx x e x e dx x e xxxx 1111 原式 dx x x exdxxe xx 2 sinsin cos sin cos