理论力学4机械振动基础课后答案.pdf

266 第 4 章 机械振动基础 第 4 章 机械振动基础 4-1 如图 4-1 所示 2 个弹簧的刚度系数分别为 k1 = 5 kN/m，k2 = 3 kN/m。物块质量 m = 4 kg。求物体自由振动的周期。 (a) (b) (c) (d) 图 4-1 解解 根据单自由度系统自由振动的固有频率公式 m k = 0 周期 0 2 =T (1) 图 4-1a 为 2 弹簧串联，其等效刚度 21 21 eq kk kk k + = )( 21 21 0 kkm kk + = 21 21 0 )( 2 2 kk kkm T + = 代入数据得 s 290. 0 00030005 000)3000(54 2= + =T (2) 图 4-1b 为 2 弹簧串联（情况同图 a） ，故 T = 0.290 s （3） 图 4-1c 为 2 弹簧并联。其等效刚度 keq = k1 + k2 m kk 21 0 + = 210 2 2 kk m T + = 代入数据得 T = 0.140 s （4） 图 d 为 2 弹簧并联（情况实质上同图 4-1c） ，所以 T = 0.140 s 4-2 1 盘悬挂在弹簧上，如图 4-2 所示。当盘上放质量为 m1的物体时，作微幅振动， 267 测得的周期为 T1；如盘上换 1 质量为 m2的物体时，测得振动周期为 T2。求弹簧的刚度系数 k。 解解 盘质量未知，设为 m3，根据单自由度自由振动周期公式 k m T2= 则放置 m1物体时，周期为 k mm T 31 1 2 + = （1） 放置 m2物体时，周期为 k mm T 32 2 2 + = （2） 式（1） ， （2）联立，解得 )( )(4 2 2 2 1 21 2 TT mm k = 4-3 如图 4-3 所示，质量 m = 200 kg 的重物在吊索上以等速度 v = 5 m/s 下降。当下降 时，由于吊索嵌入滑轮的夹子内，吊索的上端突然被夹住，吊索的刚度系数 k = 400 kN/m。 如不计吊索的重量，求此后重物振动时吊索中的最大张力。 解解 依题意，吊索夹住后，重物作单自由度自由振动，设振幅为 A，刚夹住时，吊索处 于平衡位置，以平衡位置为零势能点，当重物达到最低点时其速度 v = 0 根据机械能守恒，系统在平衡位置的动能与最低点的势能相等， 即 Tmax = Vmax 其中 2 max 2 v m T= ， 2 max 2 1 kAV= v k m A= 吊索中的最大张力 mkvmgkAmgF+=+= max 代入数据得 kN 7 .461040020058 . 9200 3 max =+=F 4-4 如图 4-4 所示，质量为 m 的重物，初速为零，自高度 h = 1 m 处落下，打在水平梁 的中部后与梁不再分离。 梁的两端固定， 在此重物静力的作用下， 该梁中点的静止挠度 0 等 于 5 mm。如以重物在梁上的静止平衡位置 O 为原点，作出铅直向下的轴 y，梁的重量不计。 写出重物的运动方程。 解解 梁在载荷作用下中点静止挠度为 mm 5 0 = 梁的刚度系数 0 mg k = 重物在梁上振动时受重力和弹性力，梁的运动微分方程 )( d d 0 2 2 ykmg t y m+= mgk= 0 图 4-2 图 4-3 图 4-4 268 ky t y m= 2 2 d d 即 0 d d 2 2 =+y m k t y （1） 令 2 0 = m k ，由于 0 mg k = 故 rad/s 3 .44 5 8009 0 0 = g 设微分方程（1）的解为 tCtCy 0201 cossin+= （C1，C2为待定常数） 重物自高度 h 落下至静平衡位置时的速度，可由动能定理确定 2 00 2 2 1 )( 2 1 khmgym+=& 即 m/s 43. 4) 2 005. 0 0 . 1 (8 . 92) 2 (2 0 =+=+= hgy& 由初始条件： t = 0 时， y = - 5 (mm) ，m/s 43. 42=ghy& 可以确定 C1 = 100 mm， C2 = - 5 mm 故得重物的运动方程 y =（100sin 44.3t - 5cos 44.3t）mm 4-5 质量为 m 的小车在斜面上自高度 h 处滑下，而与缓冲器相碰，如图 4-5a 所示。缓 冲弹簧的刚度系数为 k，斜面倾角为。求小车碰着缓冲器后自由振动的周期与振幅。 m O x h k 0 k F N F gm x x O (a) (b) (c) 图 4-5 解解 取小车为研究对象，假设斜面光滑，选静平衡位置为原点，沿斜面向下为轴 x 的正 向。当弹簧压缩量为 x 时，小车受恢复力 )( 0 +=xkF 0 为弹簧的静压缩量，显然 k mg sin 0 =（受力如图 4-5c 所示） 小车自由振动微分方程 )(sin 0 +=xkmgx m& & 即 0=+x m k x & & （1） 令 m k = 2 0 269 周期 k m T 2 2 0 = 设微分方程（1）的解为 )cos(+=t m k Ax 当 t = 0 时， 00 =x，ghx2 0 =& 解得 振幅 k mgh A 2 2 0 +=)2 sin ( 2 h k mg k mg += 4-6 如图 4-6a 所示，1 小球的质量为 m，紧系在完全弹性的线 AB 的中部，线长 2l。 设线完全拉紧时张力的大小为 F，当球作水平运动时，张力不变。重力忽略不计。证明小球 在水平线上的微幅振动为谐振动，并求其周期。 A B O x F m F (a) (b) 图 4-6 解解 取小球为研究对象，建立水平向右的轴 Ox，坐标原点 O 取在小球的平衡位置，小 球受力如图 4-6b 所示，根据质点运动微分方程在轴 x 方向的投影有 sin2Fxm=& & 当球作微振动时角很小，有 l x =tansin 原方程改写成 0 2 =+x ml F x& & 令 ml F2 2 0 =，则 0 2 0 =+xx& & 可见球的侧向运动为谐振动，周期 F ml T 2 2 2 0 = 4-7 质量为 m 的杆水平地放在 2 个半径相同的轮上，2 轮的中心在同 1 水平线上，距离 为 2a。2 轮以等值而反向的角速度各绕其中心轴转动，如图 4-7a 所示。杆 AB 借助与轮接触 点的摩擦力的牵带而运动，此摩擦力与杆对滑轮的压力成正比，摩擦因数为 f。如将杆的质 心 C 推离其对称位置点 O，然后释放。 （1）证明质心 C 的运动为谐振动，并求周期 T； （2） 若 a = 250 mm，T = 2 s 时，求摩擦因数 f。 270 1 F 2 F x x OC aa 1N F 2N F B (a) (b) 图 4-7 解解 取杆 AB 为研究对象，其受力如图 4-7b 所示。以杆 AB 质心在静平衡位置（即对称 位置 O）为坐标轴的原点 O。 (1) 杆作水平方向（轴 x 方向）平移，所以 0, 0= C y & & 根据平面运动微分方程有 xmFF& &= 21 （1） 0 21 =+mgFF （2） 0)()( 12 =+xaFxaF （3） 式中 2211 ,FfFFfF= 由式（2） ， （3）解得 mg a xa F 2 1 =，mg a xa F 2 2 + = 把 1 F 及 2 F 值代入式（1） ，得 x a fmg xm=& & 即 0=+x a fg x& & 令 a fg = 2 0 ，则上式可写为 0 2 0 =+xx& & 因此，证明了杆 AB 的质心 C 作谐振动，其周期 fg a T 2 2 0 = （2） fg a T2= gT a f 2 2 4 = 把有关数据代入，得滑动摩擦因数 25 . 0 8 . 92 25. 04 2 2 = =f 4-8 图 4-8a 所示均质杆 AB，质量为 m1，长为 3l，B 端刚性连接 1 质量为 m2的物体， 其大小不计。杆 AB 在 O 处为铰支，两弹簧刚度系数均为 k，约束如图。求系统的固有频率。 解解 取杆 AB 与物体 B 为研究对象。设杆在水平位置时为其静平衡位置，两弹簧静变形 均为 st ，当杆偏离静平衡位置 1 微小角度时，其受力如图 4-8b。图中 )( st1 +=lkF，)( st2 +=lkF 由刚体定轴转动微分方程有 271 )(2 2 1 2 st12 +=lklglmglmJO & & （1） 2 F B A g 1 m g 2 m 1 F Oy F Ox F C O (a) (b) 图 4-8 系统在静平衡位置时有 02 2 1 2 st12 =+klglmglm （2） 式（2）代入式（1） ，得 02 2 =+klJO & & 0 2 2 =+ O J kl & & （3） 2 21 2 2 2 1 2 1 )4()2() 2 ()3( 12 1 lmmlm l mlmJO+=+= 式（3）可改写为 0 4 2 21 = + + mm k & & 系统的固有频率 21 0 4 2 mm k + = 从题 4-4，4-5 及本题解中可看出，系统若在弹性力和某种不变力（如重力）作用下自 由振动时，如取系统在两种力作用下的静平衡位置为坐标原点，则运动微分方程为 0=+kxxm& & 这时，不变力已与弹簧的静变形弹力抵消，不再写入方程，使方程成为齐次方程。可简化计 算。 4-9 均质杆 AB = l，质量 m，其两端销子可分别在水平槽、铅垂槽中滑动，0=为静 平衡位置。不计销子质量和摩擦，如水平槽内 2 弹簧刚度系数皆为 k，求系统微幅振动的固 有频率。又问，弹簧刚度为多大，振动才可能发生。 A B & O C x x y P C v (a) (b) 图 4-9 解解 见图 4-9b sinlx = 272 & 2 l vC= 22222 612 1 2 1 ) 2 ( 2 1 & l m ml l mT=+= 以 y = 0 位置的重力势能为 0，则 2 )sin( 2 2cos 2 l k mg l V+= sin 2 cossin2 3 )( d d 2 2 mg l kl V l mT t = = & & & 代入拉氏方程，得 0sin) 2 cos2( 3 22 =+mg l kll m & & 0sin) 2 3 cos 6 (=+ l g m k & & 微振动时， 4-10 如图 4-10a 所示，均质细杆 AB 长为 l，质量为 m，在点 D 挂有倾斜弹簧，弹簧 的刚度系数为 k。杆的尺寸如图 4-10a 所示。求杆处于水平和铅直位置两种情况下微幅振动 的固有频率。 (a) (b) A B A E C D 1 D D F 45 A A E F D B 1 D D C 45 (a1) (b1) 图 4-10 273 解解 （a）设杆 AB 在水平时为其静平衡位置，杆运动时偏离水平的角为。杆作自由 振动时，设其转角变化规律为 )sin( 0 +=t 其最大角速度 0max =& 最大动能 2 maxmax 2 1 & E JT= 2 2 0 2 1 E J= 选水平位置为其零势能位置。弹簧 FD 在=时变形量 DD1为最大，且 DD1 =45cos 2 l 如图 a1 所示。最大势能 222 max 16 1 )45cos 2 ( 2 kl lk V= 根据机械能守恒有 maxmax VT= 即 222 2 0 16 1 2 1 klJE= （1） 222 48 7 ) 4 ( 12 1 l ml mmlJE=+= （2） 式（1）化为 222 2 0 2 1696 7 l k ml= m k 7 6 0 = （b）设杆 AB 在铅直位置附近振动，运动规律为 )sin( 0 +=t 最大动能 2 2 0max 2 1 E JT= （3） 以杆在铅直位置为零势能位置。 当杆转过时， 由图 4-10b1， 弹簧 FD 的变形量 DD1为最大， 且 DD1=45cos 2 l 此时系统的重力势能及弹性势能均达最大，它们分别为 222 max2 22 max1 16 1 )45cos 2 ( 2 1 8 1 ) 2 (sin 2 1 )cos1 ( 4 kl l kV mgl mgl l mgV = = 总势能 222 max2max1max 16 1 8 1 klmglVVV+=+= （4） 由机械能守恒 maxmax VT= （5） 由式（2） ， （3） ， （4） ， （5）得 274 22222 2 0 2 16896 7 l k gl m ml+= ) 2 ( 7 6 0 l g m k += 4-11 如图 4-11a 所示，已知均质杆 AB 长 2l，质量为 2m，在中点 O 与杆 CD 相铰接， 杆 CD 的角速度为，质量不计，CD = 2h，盘簧刚度系数为 k，当0 0 =时，盘簧无变形。 求： （1）当0=时杆 AB 微振动的固有频率； （2）当 = 常数时，与 0 的关系； （3） 当 = 常数时，C，D 处的约束力； （4）在 = 常数时，杆 AB 微振动的频率。 I FDx F Cx F k gm2 O 0 C D Cy F I F Dx F Cx F k gm2 O 0 C D Cy F I F I F (a) (b) (c) 图 4-11 解解 （1）以杆 AB 为研究对象。若 0= 则杆 AB 绕轴 O 转动微分方程为 kJO=& & （1） 3 2 )2( 12 2 2 2 ml l m JO= 代入式（1）得 0 2 3 2 =+ ml k & & 2 0 2 3 ml k = （2） （2）以杆 AB 为研究对象，若 = 常数 杆 AB 的惯性力矩 0 22 00 2 I 2sin 3 cossind 0 2 ml rrr l m l M= （3） 由动静法，得杆 AB 的平衡条件 0I kM = （4） 由式（3） ， （4）得 0 2 0 2sin 3 ml k = （5） （3）以整个系统为研究对象，如图 4-11b 所示，由动静法得系统的平衡方程 0, 0 02, 0 0, 0 RI R =+= = = hFFMM mgFF FFF CxDO Cyy DCxx 275 解得 h k h M FD 22 0I =（与原设反向） h k FCx 2 0 = （与原设反向） mgFCy2= （4）设杆 AB 偏离动平衡位置微小角度，如图 4-11c 所示。杆 AB 在图示位置时的运 动微分方程 )( 0I +=kMJO& & （6） 其中 MI可参照第 2）部分推导方法得到 )2sin2cos2cos2(sin 3 )(2sin 3 00 22 0 22 I +=+= mlml M 因角微小，1cos,22sin 于是得 2cos22(sin 3 00 22 I += ml M (7) 式(7)代入式（6）得 )()2cos22(sin 33 2 000 222 +=k mlml & & 式（5）代入上式，得 0 0 2 0 00 22 2sin 3 )2cos22(sin 33 2 kk ml kmlml +=& & 即 )2cot21 ( 3 2 00 2 =k ml & & 0 2 )2cot21 (3 2 00 = + ml k & & )2cot21 ( 2 3 00 2 0 = ml k 4-12 质量为 m 的物体悬挂如图 4-12a 所示。如杆 AB 的质量不计，两弹簧的刚度系数 分别为 k1和 k2，又 AC = a，AB = b；求物体自由振动的频率。 b 1 k 2 k B B x O m m A x (a) (b) 图 4-12 解解 为了便于表述和计算，选杆 AB 在水平位置时为系统静平衡位置，重物 m 静平衡位 置为轴 x 原点，如图 4-12b 所示，并设系统静平衡位置为零势能位置。当重物 m 作微振动， 其坐标为 x 时，杆 AB 转过角，弹簧 1 相对静平衡位置伸长 ax = 1 弹簧力增加 ()axkF= 11 （1） 弹簧 2 相对静平衡位置伸长 276 b= 2 弹簧力增加 bkF 22 = （2） 由 0= A M，coscos 21 bFaF= （3） 由式（1） ， （2） ， （3）得 2 2 2 1 1 bkak axk + = （4） 重物 m 的运动微分方程 1 Fxm=& & 即 )( 1 axkxm=& & 式（4）代入上式，得 0 )( 2 2 2 1 2 21 = + +x bkakm bkk x& & )( 2 2 2 1 2 21 0 bkakm bkk + = 4-13 大皮带轮半径为 R，质量为 m，回转半径为，由刚度系数为 k 的弹性绳与半径 为 r 的小轮连在一起。设小轮受外力作用作受迫摆动，摆动的规律为tsin 0 =，且无论 小轮如何运动都不会使弹性绳松驰或打滑。求大轮稳态振动的振幅。 k k 1 O 1 F 2 F xO1 F yO1 F gm (a) (b) (c) 图 4-13 解解 如图 4-13b 所示，设弹簧原来处于静平衡，当小轮转角，大轮转角时，上边弹 性绳缩短： = 1 rR，)( 1 rRkF= 下边弹性绳伸长： = 2 rR，)( 2 rRkF= 定轴转动微分方程 krRRm)(2 2 =& & 即 tRrkkRmsin22 0 22 =+& & t m Rrk m kR sin 22 2 0 2 2 =+& & 得 m kR m kR22 2 2 0 =， 2 0 2 m Rrk h = （1） 稳态振幅 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 0 22 0 m 2 2 2 2 = = = m kR R r m kR m kR m Rrk h 277 即 )(1 )(1 2 0 0 2 0 0 m = = R r R r （2） 4-14 位于铅垂面内的行星机构中， 小轮A是质量为m， 半径为r的均质圆盘，2/Rr=。 小轮沿大轮只滚不滑，且由螺线弹簧与系杆 OA 相连。不计 OA 的质量和各处摩擦，当小轮 位于图 4-14a 所示的最高位置时， 弹簧无变形。 求： （1） 为保持小轮在图示位置的稳定平衡， 螺线弹簧刚度系数 k0最小为多大？（2）若令 k = 10k0，该系统在图示位置作微幅振动的固 有频率为多大？ 1 O gm A (a) (b) 图 4-14 解解 设轮 A 转角，杆 OA 转角，则 )(rRr+=，3= + = r Rr ， & &3= 轮对于杆的相对转角 3 2 2 = （1） 求稳定平衡所需刚度的最小值 0 k 以 O 为零势能位置，杆转角时，重力势能 cos3rmgVG= 弹性势能 22 2)( 2 k k Vk= 总势能 2 2cos3kmgrV+= 临界平衡条件 （1）0= V ，04sin3=+kmgr 微振动时 ，sin，得 043=+kmgr rmgk 4 3 = （1） （2）04cos3 2 2 += kmgr V 1cos, 1 （2） 考虑式（1） ， （2）得 k 的最小值 278 mgrk 4 3 0 = （2）rmgkk 2 15 10 0 =时，求微振频率 0 势能 2 0 20cos3kmgrV+= 动能 222 2 1 2 1 )3( 2 1 & & +=mrrmT 2222 9 42 9 & +=r m mr 22 4 27 &mr= T + V = 常数 222 2 15 2cos3 4 27 rmgmgrmrx+ & =常数 上式对时间求导，得 03sin3 4 27 22 =+ & & & rmgmgrmr 即 030sin3 2 27 2 =+rmgmgrmr & & 微振时，sin，得 027 2 27 2 =+rmgmr & & 0 2 =+ r g & & r g2 0 = 4-15 如图 4-15a 所示，半径为 r 的半圆柱体，在水平面上只滚动不滑动，已知该柱体 对通过质心 C 且平行于半圆柱母线的轴的回转半径为，又 OC = a。求半圆柱体作微小摆 动的频率。 O r A Ca gm (a) (b) 图 4-15 解解 设半圆柱微摆动规律为 )sin( 0 +=t 其最大角速度为 0max =& 半圆柱纯滚，点 A 为半圆柱的速度瞬心（见图 4-15b） ，半圆柱最大动能 2 0 2222 2 0 2 2 2 2 maxmax )cos2( 2 1 )( 2 1 2 1 raarmm ACmmJT A += +=& 因在 max &=时，直径弦呈水平，0=，故 2 0 222 max )( 2 1 armT+= 以半圆柱静平衡位置为其零势能位置，则半圆柱的最大势能 279 2 sin2)cos1 ( 2 max mgamgaV= 因很微小， 22 sin 则 2 max 2 1 mgaV= 机械能守恒 maxmax VT= 得 22 0 )(ar ag + = 摆动频率 22 0 )(2 1 2ar ag f + = 4-16 如图 4-16a 所示，均质滚子质量 m = 10 kg，半径 r = 0.25 m，能在斜面上保持纯滚 动，弹簧刚度系数 k = 20 N/m，阻尼器阻尼系数 c = 10 N s/m。求： （1）无阻尼的固有频率； （2）阻尼比； （3）有阻尼的固有频率； （4）此阻尼系统自由振动的周期。 r P O C F k F & & & (a) (b) 图 4-16 解解 见图 4-16b，设从静平衡位置()0=开始计算，则重力影响抵消。 krFk=， &crFc= 用对瞬心 P 的动量矩定理，有 PP MJ=& &，rrcrrkmr=& & 2 2 3 即 0 2 3 =+kcm& &，0 3 2 3 2 =+ m k m c & & 阻尼系数 m c 3 2 2=， 3 1 3 = m c ， rad/s 3 2 3 2 0 = m k rad/s 51.105 9 11 93 2 2 2 22 0d = m c m k Hz 184. 0 2 0 0 = f， 289. 0 0 = Hz 176. 0 2 d d = f， s 677. 5 1 d d = f T 280 4-17 用下法测定流体的阻尼系数：在弹簧上悬 1 薄板 A，如图 4-17a 所示。测定它在 空气中的自由振动周期 T1，然后将薄板放在欲测阻尼系数的液体中，令其振动，测定周期 T2。 液体与薄板间的阻力等于 2scv， 其中 2s 是薄板的表面积， v 为其速度， 而 c 为阻尼系数。 如薄板质量为 m，根据实验测得的数据 T1与 T2，求阻尼系数 c。薄板与空气间的阻力略去 不计。 x & x kx C F Ax O (a) (b) 图 4-17 解解 薄板为研究对象，取薄板 A 上 1 点的静平衡位置为坐标轴 Ox 的原点，如图 4-17b 所示。列出质点运动微分方程 xsckxxm& &2= 即 0 2 =+x m k x m sc x& & 令 m sc =，则阻尼比 1 1 0 2 2 T m sc T m sc = （1） 2 1 2 1 = T T 2 2 1 2 1 = T T 式（1）代入上式，得 2 1 2 2 21 2 TT TsT m c= 4-18 汽车的质量为 m = 2 450 kg，压在 4 个车轮的弹簧上，可使每个弹簧的压缩量为 mm 150 st =，为了减少振动，每个弹簧都装 1 个减振器，结果使汽车上、下振动迅速减 小，经 2 次振动后，振幅减到 0.1 倍，即 3 1 A A =10。求： （1）振幅减缩率和对数减缩率； （2） m c 2 =和衰减振动周期 Td； （3）如果要求汽车不振动，即要求减振器有临界阻尼， 求临界阻尼系数 ccr。 解解 （1）求振幅减缩率及对数减缩率 已知 3 1 A A =10，可改成 3 2 2 1 A A A A =10 两边取对数 O x c4 k4 k F C F gm 图 4-18 281 10lnlnln 3 2 2 1 =+ A A A A 因 3 2 2 1 A A A A = 得 10lnln2 2 1 = A A 对数减缩率 151. 110ln 2 1 ln 2 1 = A A 振幅减缩率 10ln 2 1 1 ee = + i i A A 16. 310 =2 （2）求及衰减振动周期 由题意得系统固有频率 rad/s 08. 8 150 8009 st 0 = g 2 2 0 d d 22 =T （1） d T= （2） 式（1） ， （2）联立，解得 22 2 2 0 4 + =， = d T 代入数据得 = 1.457 1/s，Td = 0.790 s （3）求临界阻尼 当 0 =时，临界阻尼 stst cr 222 g m mg mmkc= 代入数据得 s/mkN 60039 150 8009 45022 cr =c 4-19 车厢载有货物，其车架弹簧的静压缩为 st =50 mm，每根铁轨的长度l = 12 m， 每当车轮行驶到轨道接头处都受到冲击， 因而当车厢速度达到某1数值时， 将发生激烈颠簸， 这1速度称为临界速度。求此临界速度。 解解 车厢作受迫振动，干扰力是轨道接头对车轮的冲击力，车厢固有频率 st 0 g = 冲击力圆频率 l v 2= 282 当 st 0 g =时发生共振，车厢激烈颠簸，此时速度为临界速度 st 2 gl v = 将l = 12 m， st = 0.05 m代入，得车厢临界速度 v = 26.7 m/s 4-20 车轮上装置1质量为m的物块B，于某瞬时（t = 0）车轮由水平路面进入曲线路 面， 并继续以等速 v 行驶， 该曲线路面按y1= 1 sinx l d的规律起伏， 坐标原点和坐标系O1x1y1 的位置如图4-20a所示。设弹簧的刚度系数为k。求： （1）物块B的受迫运动方程； （2）轮 A的临界速度。 解解 物块B为研究对象，取B在水平路面上的平衡位置为坐标原点，建立随车轮一起 前进的铅垂方向的轴Oy，如图4-20b所示，则物块B沿铅垂方向的运动微分方程 )( 1 yykym=& & O x B y y )k(y-y1 (a) (b) 图 4-20 把y1代入上述微分方程得 vt l d m k y m k y sin=+& & 其稳态解（即受迫振动部分）为 2 ) (v lm k d m k y = vt lmvkl kdl y sin 222 2 = 系统发生共振时= 0 ，考虑到 m k = 0 ，v l = 故有 v lm k = 解得轮A临界速度 m kl v = 4-21 电动机质量m1 = 250 kg，由4个刚度系数k = 30 kN/m的弹簧支持，如图4-21a所 示。在电动机转子上装有1质量m2 = 0.2 kg的物体，距转轴e = 10 mm。已知电动机被限制 在铅直方向运动，求： （1）发生共振时的转速； （2）当转速为1 000 r/min时，稳定振动的 283 振幅。 O 2 m 2 2 em x m & & 1 x & & x )(4 0 +=xkF (a) (b) 图 4-21 解解 用动静法解，以电动机为研究对象，取静平衡位置为轴x原点，受力与运动分析如 图4-21b所示，则电机在轴x方向的平衡方程为 0sin)(4 2 2011 =+temxkgmxm& & （1） 系统静平衡时 gmk 10 4= 式（1）改写成 te m m x m k xsin 4 2 1 2 1 =+& & 故系统的固有频率 1 0 4 m k = （1）系统共振转速 因 = 0 故 rad/s 9 .21 250 103044 3 1 = = m k 转速 minr/ 209 30 = n （2）强迫振动的振幅 根据强迫振动振幅公式有 22 0 2 1 2 22 0 = = e m m h b 将有关数据代入上式得 mm4008. 0 30 0001 9 .21 30 0001 250 102 . 0 2 2 2 = =b 4-22 物体M悬挂在弹簧AB上，如图4-22a所示。弹簧的上端A作铅垂直线谐振动， 其振幅为b， 圆频率为， 即O1C = bsint mm。 已知物体M的质量为0.4 kg， 弹簧在0.4 N 力作用下伸长10 mm，b = 20 mm，= 7 rad/s。求受迫振动的规律。 284 x x M B A C 1 O gm M F (a) (b) (c) 图 4-22 解解 物体M作受迫振动，建立铅垂向下的轴Ox，原点O取在物体M静平衡时所在位 置，受力如图4-22b所示，因重力与弹性力在静平衡时抵消，故物块M在x方向的运动微 分方程为 )sin(tbxkxm=& & 即 t m kb x m k xsin=+& & 设物块M的受迫振动规律为 tbxsin 1 = 因 2 22 0 1 = = m k m kb h b 故 t m k m kb x sin 2 = 将m = 0.4 kg，k = 0.04 N/mm，b = 20 mm，= 7 rad/s代入上式，得 mm 7sin2 .39tx = 4-23 如图4-23a所示，弹簧的刚度系数k = 20 N/m，其上悬一质量m = 0.1 kg的磁棒。 磁棒下端穿过1线圈，线圈内通过i = 20sin8t的电流。式中i以A（安培）计。电流自时 间t = 0开始流通，并吸引磁棒；在此以前，磁棒在弹簧上保持不动。已知磁棒和线圈间的 吸引力为F = 160i，式中F以10-6N计。求磁棒的受迫振动。 x x F kx O (a) (b) 图 4-23 解解 磁棒为研究对象，受力如图4-23b所示，磁棒悬挂的静平衡位置为原点，设轴x向 下，得磁棒运动微分方程 Fkxxm+=& & 把有关数据代入，得 tkxxm+= 8sin2010160 6 & & 整理得 285 t m x m k x =+ 8sin 102003 6 & & 设其解 x = bsin8t 其中 22 0 = h b 由于 2 -6 6 m/s 032. 0 1 . 0 102003 10 2003 = = = m h rad/s 200 1 . 0 20 2 0 = m k 则 mm0.233m233000. 0 )8(200 032. 0 22 0 = = = h b 故磁棒受迫振动规律为 x = 0.233 sin8t mm 4-24 如图4-24a所示，2个振动系统，其质量为m，弹簧刚度为k，阻力系数为c。设 干扰位移x1 = a sint，推导它们的受迫振动公式。 解解 以物块为研究对象，受力如图4-24a1、图4-24b1所示，设轴x向下，原点在物块 的静平衡位置。 （a） 由图4-24a1，列出物块运动微分方程 gm x& &x& k F C F m gm x & x & & C F k F (a) (b) (c) (d) 图 4-24 xcxxkxm& &=)( 1 即 t m ka x m k x m c xsin=+& & 令 m ka h m C m k =, 2 , 2 0 则上述方程化为 thxxxsin2 2 0 =+& & 该方程的稳态解为 )sin(=tbx 代入上面微分方程，得 22222 0 4)(+ = h b， 22 0 2 tan = 已知 aa m k h 2 0 = 上2式中，把分子、分母各除以 2 0 ，并令 = 0 ， = 0 ，化简，得 286 2222 4)1 (+ = a b， 2 1 2 tan = 故物块受迫振动方程为 )sin( 4)1 ( 2222 + =t a x （b）由图4-24b1，列出物块运动微分方程 )( 1 xxckxxm& &= 把taxsin 1= 代入上式，得 t m ca x m k x m c x cos=+& & 令 m ca h m c m k =, 2 , 2 0 则上述方程化为 thxxxcos2 2 0 =+& & （1） 设该方程的稳态解 )cos(=tbx 上式代入式（1） ，得 22222 0 4)(+ = h b 将h化为 k ca k ca m k m ca h 2 0 = 再把上2式中分子、分母各除以 2 0 ，得 2222 4)1 ( + = k ac b 222 0 1 22 tan = = 故物块受迫振动方程 )cos( 4)1 ( 2222 + =t k ac x 4-25 机器上1零件在粘滞油液中振动，施加1个幅值N55=H，周期s2 . 0=T的 干扰力，可使零件发生共振，设此时共振振幅为15 mm，该零件的质量为kg08. 4=m，求 阻力系数c。 解解 共振时： 22 0 2 2= （1） ()() 22 0 2 2 2 max 2 = h b （2） 式（1）代入式（2） ，得 0 2 2 max 224 = + b h 287 += 2 max 422 2 1 b h 式中 10=， 08. 4 55 = m H h，m015. 0 max =b 代入上式，得 188.13= s-1， s/mN62.107kg08. 4s188.1322 -1 =mc 4-26 精密仪器使用时，要避免地面振动的干扰，为了隔离，如图4-26a所示，A、B两 端下边安装8个弹簧（每边4个并联而成） 。A、B两点到质心C的距离相等，已知地面振 动规律为y1 = sin10t mm，仪器质量为800 kg，容许振动的振幅为0.1 mm。求每根弹簧应 有的刚性系数。 y 1 y BA C gm O (a) (b) 图 4-26 解解 以静平衡位置为原点，坐标Oy向下，微分方程 )8( )( 11 kkyykym=& & 即 t m k y m k y10sin=+& & 令 mm , 2 0 m k h m k = 则受迫振幅 2 22 0 )10( = = m k m k h b 隔振需要 0 2 所以 mm1 . 0 )10( 2 = m k m k b N/mm 78.71 1 . 1 1008001 . 0 1 . 1 )10(1 . 0 22 = = m k 每根弹簧的刚度系数 N/mm 97. 8 8 1 = k k 4-27 如图4-27a所示，加速度计安装在蒸汽机的十字头上，十字头沿铅直方向作谐振 动。记录在卷筒上的振幅等于7 mm。设弹簧刚度系数k = 1.2 kN/m，其上悬挂的重物质量 m = 0.1 kg。求十字头的加速度。 （提示：加速度计的固有频率 0 通常都远远大于被测物体 振动频率，即1 0 ） m k = 2 0 作用于地基的最大干扰力 maxN F= kb k为总弹簧刚度系数 k = nk1（设共n根弹簧） )()( 22 0 2 2 0 2 Nmax N m k k m k m m kH H F F = = 由题意 10 Nmax N = F F ，101 2 = k m ， 2 11mk = 弹簧总刚度系数 kN/m323N/m 020323)5 .188( 11 100 11 22 = m k 4-29 已知图4-29a所示结构， 其杠杆可绕点O转动， 重量忽略不计。 质点A质量为m， 在杠杆的点C加1弹簧CD垂直于OC，刚度系数为k。在点D加1铅直方向干扰位移y = bsint。求结构的受迫振动规律。 290 C C k F A A l O gm d (a) (b) 图 4-29 解解 设OA位于铅直位置时为系统静平衡位置，又系统自静平衡位置转过微小角度， 如图4-29b。此时弹簧力 kdF= 由刚体绕定轴转动微分方程 OO MJ=& & 得 lmgdkdml+=& & 2 t ml kdb l g ml kd sin 22 2 = +& & 2 2 2 2 0 ml mglkd l g ml kd = 设结构的受迫振动方程为 tbsin 1 = 由于 )( 22 0 222 0 1 = = ml bdkh b 故 t ml bdk sin )( 22 0 2 = 式中 l g ml kd = 2 2 2 0 4-30 圆盘质量为m，固结在铅直轴的中点，圆盘绕此轴以角速度转动，如图4-30a 所示。轴的刚度系数为k，圆盘的中心对轴的偏心距为e。求轴的挠度。 O C I F y x k F A e (a) (b) 图 4-30 解解 图4-30b为图4-30a的俯视图， 点A转轴与圆盘交点， 点C为圆盘质心。 由题意知： 作用于系统的干扰力为圆盘离心惯性力 291 FI = m 2 )(e+ 轴的弹性恢复力 Fk = k 当 FI与 Fk平衡时，转轴处于稳定的弓形状态，使系统绕图4-30a所示铅直轴旋转，由 FI =Fk 得 kem=+ 2 )( 2 2 mk me = 4-31 机械系统与无阻尼动力减振器连接，其简化模型如图4-31a所示。已知主体质量 为 1 m， 主 弹 簧 刚 度 系 数 为 1 k； 减 振 器 的 质 量 为 2 m， 弹 簧 刚 度 系 数 为 2 k， 5 1 , 5 1 1 2 1 2 = k k m m 。求系统的固有频率和振型。 1 k 2 k 2 m 1 m1 x O 2 x O 1 m 1 F 2 F 2 F 2 m O 1 A 111 AB= O 2 A 222 AB= (a) (b) (c) (d) 图4-31 解解 选2物块的静平衡位置O1，O2为坐标原点， 两物块的位移分别为x1，x2， 如图4-31b 所示；受力如图4-31c所示，分别建立2物块的运动微分方程： =