大学热工过程自动控制课后答案.pdf

陈绍炳 于向军 编著 热工自动控制原理 习题参考答案 长沙理工大学能源与动力工程学院 自动化教研室 石阳春 E-mail: shiyc_110 第 2 章 线性自动控制系统的数学描述 第 2 章 线性自动控制系统的数学描述 21 系统框图如图 244 所示，求输入为给定函数时的输出响应。 图 244 系统框图 解：(a) 2 1 2 1 1 1 )( )( + = + = S S S SU SY ， 2 1 )( S SU= 2 25. 025. 05 . 0 )2( 1 )( 22 + += + = SSSSS SY ， t etty 2 25. 025. 05 . 0)( += (b) 2 2 1 21 2 )( )( + = + = S S S SU SY ， S SU 1 )(= 2 2 )( + = S SY ， t ety 2 2)( = (c) ) 4 1 )( 2 1 ( 1 41 4 21 2 )( )( + = + + = SS SSSU SY ， S SU 1 )(= 4 1 16 2 1 88 ) 4 1 )( 2 1 ( 1 )( + + += + = SS S SSS SY , 42 1688)( tt eety += (d) 1 5 2 2 51 2 1 51 2 )( )( + = + + + = S S S SU SY ， S SU 1 )(= S 1 2 u y _ (a) 输入 u(t) = t S 1 2 uy _ (b) 输入 u(t) = 1(t) S21 2 +S41 4 + u y (c) 输入 u(t) = 1(t) (d) 输入 u(t) = 1(t) S51 2 + 2 uy _ (e) 输入 u(t) = 1(t) 2 )101 ( 1 S+ u y _ (f) 输入 u(t) = 1(t) 13 1 +S 2 uy _ 1 5 2 5 2 ) 1( 5 2 )( + = + = SSSS SY ， t ety = 5 2 5 2 )( (e) 01. 0) 1 . 0( 01. 0 1) 110( 1 )101 ( 1 1 )101 ( 1 )( )( 22 2 2 + = + = + + + = SS S S SU SY ， S SU 1 )(= 01. 0) 1 . 0( 1 . 05 . 0 01. 0) 1 . 0( ) 1 . 0(5 . 05 . 0 01. 0) 1 . 0( 01. 0 )( 222 + + + = + = SS S SSS SY 10 sin5 . 0 10 cos5 . 05 . 0)( 1010 t e t ety tt = 或 )2( 5 . 0 )02. 02 . 0( 02. 05 . 0 01. 0) 1 . 0( 01. 0 )( 2 00 2 2 0 22 + = + = + = SSSSSSSS SY )45 10 sin(21 (5 . 0)( 10 += t ety t (f) ) 1(3 ) 13(2 13 1 21 2 )( )( + + = + + = S S S SU SY ， S SU 1 )(= 1 3 4 3 2 ) 1(3 ) 13(2 )( + += + + = SSSS S SY ， t ety += 3 4 3 2 )( 22 由电阻 R 和电容 C 组成如图 245 所示的电路： 图 245 系统电路图 建立传递函数 )( )( )( 1 2 SU SU SG=的表达式，说明为何种环节； 当输入 u1为单位阶跃函数时，画出输出 u2(t)响应曲线，并标出特征参数。 解：(a)设电阻 R1和 R2中的电流分别为 i1和 i2，电容 C 中的电流为 iC、其两端的电压为 uC 根据电路结构及 KCL 和 KVL，可得如下的系统框图： R1 R2 R3 C u1 u2 (a) R1 R2 u1C u2 (b) R1 R2 R3 C u1 u2 i1 i2 iC 1 1 R 2 1 R CS 1 R3 _ _ _ u1 uC u2 i1 i2 iC u 1)( )( 2 2 1 + = CSR R SI SUC 2121 21 1 )( )( RRCSRR CSR SU SI + + = )()( ) 1( 1 1 1 )( )( )( 321231 23 3 2121 2 3 2121 2 1 2 RRRCSRRR CSRR R RRCSRR CSR R RRCSRR CSR SU SU SG + + = + + + + + = 11 1 )( 1 )( 321 231 321 3 321 231 321 32 + + + = + + + + + + + + + = ST K ST STK S RRR CRRR RRR R S RRR CRRR S RRR CRR CD DD 从上式的结构来看，G(S)可以看作一阶实际微分环节与一阶惯性环节并联而成 其中：CR RRR RR TT CD2 321 31 + + =， 31 3 RR R KD + =， 321 3 RRR R K + = 当输入 u1为单位阶跃函数时，其输出 u2(t)的响应曲线如下 (b) 设电阻 R1和 R2中的电流分别为 i1和 i2，电容 C 中的电流为 iC、而其两端的电压为 u2 根据电路结构及 KCL 和 KVL，可得如下的系统框图： 1)( )( 2 2 1 2 + = CSR R SI SU ， 1 1 )( )( )( 21 21 21 2 2121 2 1 2 + = + + + = + = ST K S RR CRR RR R RRCSRR R SU SU SG C 从上式的结构来看，G(S)为一阶惯性环节，其中： 21 21 RR CRR TC + = ， 21 2 RR R K + = 当输入 u1为单位阶跃函数时，其输出 u2(t)的响应曲线如下 KD K TD=TC t u2 0 R1 R2 u1 C u2 i1 i2 iC 1 1 R 2 1 R CS 1 _ _ u1u2 i1 i2 iC u K TCt u2 0 23 单容水箱液位控制系统如图 246 所示 图 246 单容水箱液位控制系统原理图 画出框图，求出系统的传递函数 )( )( )( 2 SQ SH SG=； 当 Q2作单位阶跃减小时， 画出 H 的响应曲线， 并说明不同 b/a 值时， 响应曲线的变化情况。 解：控制系统框图如下： 据此可求出系统的传递函数为： 1)( )( )( 2 + = + = ST K baAS a SQ SH SG C 其中： b a K =； b aA TC =。 当 Q2作单位阶跃减小时， S SQ 1 )( 2 = 则： a b A S b a S b a a b A SS A baASS a SQSGSH + = + = + = )( 1 )( )()()( 2 故 )1 ()()( 1 t a b A e b a SHLth = ，绘出其曲线如下图所示。 当 b/a 增大或减小时，由于 K 和 TC同步减小或增大，故 h(t)的初始上升速度不变，但系统稳 态值则有所不同，若 b/a 较大，相应的 K 值就较小，故 h()值就较小。 a b A Q1 H Q2 a b AS 1 _ Q1 H Q2 TCt h(t) 0 b a b/a 较大时 b/a 较小时 25 系统框图如图 249 所示，求出其传递函数 )( )( )( SR SY SG=。 (a) (b) (c) 图 249 习题 25 框图 解： (a) G1(S) G2(S)G3(S)G4(S) H1(S) H2(S) _ _ _ _ r y G1(S)G2(S) G3(S) H1(S) H2(S) r y _ _ G1(S)G2(S) H1(S) H2(S) H3(S) r y _ _ G1(S) G2(S)G3(S)G4(S) H1(S) H2(S) _ _ _ _ r y 将此信号分点后移 G1(S) G2(S)G3(S)G4(S) H1(S) H2(S) _ _ _ _ r y )( 1 4 SG 将此部分合并 )()()()()()()()()()()()()(1 )()()()( )( )( )( 2432114212432 4321 SHSGSGSGSGSHSGSGSHSGSGSGSG SGSGSGSG SR SY SG + = G1(S) G2(S) H1(S) H2(S) _ _ _ r y )( 1 4 SG )(1 )()( 4 43 SG SGSG + 将此信号分点后移 G1(S) G2(S) H2(S) _ _ _ r y )( 1 4 SG )(1 )()( 4 43 SG SGSG + )()( )(1 )( 43 4 1 SGSG SG SH + 将此部分合并 G1(S) H2(S) _ _ r y )()()(1 )()()( 432 432 SGSGSG SGSGSG + )()( )(1 )( 43 4 1 SGSG SG SH + 将此部分合并 G1(S) H2(S) _ r y )()()()()()()()(1 )()()( 14212432 432 SHSGSGSHSGSGSGSG SGSGSG + r y )()()()()()()()()()()()()(1 )()()()( 2432114212432 4321 SHSGSGSGSGSHSGSGSHSGSGSGSG SGSGSGSG + (b) )()()()()(1 )()()()( )( )( )( 22112 3221 SHSGSGSHSG SGSGSGSG SR SY SG + + = G1(S)G2(S) G3(S) H1(S) H2(S) r y _ _ G1(S) G3(S) H2(S) r y _ )()(1 )( 12 2 SHSG SG + H2(S) r y _ )()(1 )()( 12 21 SHSG SGSG + )( )( 1 3 SG SG H2(S) r y _ )()(1 )()( 12 21 SHSG SGSG + )( )( 1 3 SG SG r y )()()()()(1 )()( 22112 21 SHSGSGSHSG SGSG +)( )()( 1 31 SG SGSG+ r y )()()()()(1 )()()()( 22112 3221 SHSGSGSHSG SGSGSGSG + + 将此部分合并 将此信号合点前移 将此二合点互易 (c) )()()()()()()()()()(1 )()()()()()( )( )( )( 3212322111 212121 SHSHSHSGSHSGSHSHSHSG SHSHSGSGSGSG SR SY SG + + = G1(S)G2(S) H1(S) H2(S) H3(S) r y _ _ G1(S)G2(S) H1(S) H2(S) H3(S) r y _ _ )( 1 2 SG G1(S) r y _ )( 1 2 SG )()(1 )( 32 2 SHSG SG )()(1 )( 21 1 SHSH SH + r y )()()()()()()()()()(1 )()()()()()( 3212322111 212121 SHSHSHSGSHSGSHSHSHSG SHSHSGSGSGSG + + 26 系统框图如图 250 所示，求出： )( )( )(, )( )( )( 21 S SY SG SU SY SG OO 。 解：对线性系统，求 y 对 u 的传递函数时，可令=0；同样，求 y 对的传递函数时，可令 u=0。 令=0，系统框图可简化如下： 由上图可得： )()()()()()()(1 )()()( )( 2321121 321 1 SHSGSGSGSHSGSG SGSGSG SGO 令 u=0，重绘系统框图如下： G1(S) G2(S) G3(S) H1(S) H2(S) u y - - G1(S) G2(S) G3(S) G4(S) H1(S) H2(S) y - G1(S) G2(S) G3(S) G4(S) H1(S) H2(S) u y - - 将该合点前移，并与相邻的合点互换位置 )()()()()()()(1 (S)(S)GG(S)(S)H(S)GG1(S)G (S)H (S)(S)H(S)GG1 )()( )(1 )( )()()(1 )()( 1)( 2321121 421213 2 121 21 3 3 121 42 2 SHSGSGSGSHSGSG SGSG SG SG SHSGSG SGSG SGO )()()(1 )()( 121 21 SHSGSG SGSG G3(S) G4(S)/G1(S) H2(S) y 将该合点前移，并与相邻的合点互换位置 32 电子调节器设计时，常用电子元器件实现如图 314 的框图表示的动态关系。 其中比例微分运算的运算关系为： S K T ST KSG D D D p 1 1 )( 1 比例积分运算的运算关系为： ST KSG i 1 1)( 12 说明该调节器具有何种调节规律，调节器参数 * , DiDIP KTTKK如何设置？ 解： SK S KK S K T ST ST S K T K S TT TT STT S K T T T KK ST STT T S K T KK S K T ST ST KK ST K S K T ST KSGSG SE S DIP D D D i D D P iD iD iD D D i D p D ii D D D p D D i D p i D D D p * * * 1 1 1 121 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 11 ) 1 1)(1 ( 1 1 1 1 )()( )( )( 该调节器为带一阶平滑滤波器的 PID 调节器，调节器参数分别为： i D pP T T KKK1 1 * iD P I TT K K * * iD iD PI TT TT KK * iDi TTT * iD iD D TT TT T * 比例微分比例积分 e 33 已知某调节器的结构示意图如图 315 所示，试推导其传递函数 )( )( )( SE S SGR ，并说 明调节规律是属于什么性质的。 解：设电路中电流为 i(如上图所示)，则有 )( 1 1 )( 1 10 1 10 SI SC RR SC RR SE )()( 2 SIRS ST TS K SCRR SCR R R SC RR SC RR R SE S D P 1 1 1 1 1 1 )( )( 110 11 0 2 1 10 1 10 2 该调节器为带一阶平滑滤波器的 PD 调节器。 R0 R1 R2 C1 e + i 第 4 章 线性控制系统的时域分析 第 4 章 线性控制系统的时域分析 4-1 控制系统如图 4-10 所示： 4-1 控制系统如图 4-10 所示： 求出求出 =0.9 和=0.9 和 =0.75 时的=0.75 时的值。值。 当输入当输入 为单位阶跃时，分别求出当为单位阶跃时，分别求出当 =0.9 和=0.9 和 =0.75 时，=0.75 时， (a) (t)的超调量；的超调量； (b) y(t)的最大动态偏差和稳态偏差。的最大动态偏差和稳态偏差。 解：对上图的控制系统，其闭环传递函数为 50 1 1 . 0 50 1 1) 110(5 1 ) 110(5 1 1 ) 110(5 1 )( )( 2 SS SS SS SS SR SY 当要求当要求 =0.9 时=0.9 时，可知此时系统的阻尼系数为=0.344=0.344，即： 1453. 0 88. 6 1 n 1 . 0344. 022 nn 3344.47 1 88. 6 1 50 1 2 2 n 946688. 0 当要求当要求 =0.75 时=0.75 时，可知此时系统的阻尼系数为=0.216=0.216，即： 2315. 0 32. 4 1 n 1 . 0216. 022 nn 6624.18 1 32. 4 1 50 1 2 2 n 373248. 0 50 1 1 . 0 50 1 1) 110(5 ) 110(5 1 1 ) 110(5 1 )( )( 2 SS SS SS SS S SY 50 1 1 . 0 50 1 )( )( 1 )( )( 2 SS S SY S S (a)当 =0.9 时，由知=0.344，故 (t)的超调量 Mp为： ) 110(5 1 SS 1 r y 3162. 01 . 01 p M 当 =0.75 时，由知=0.216，故 (t)的超调量 Mp为： 5 . 025. 01 p M (b)由于本系统开环传递函数还有一个积分环节，为型系统，故其位置误差系 数 p K，故当系统输出量系统输出量 y(t)在单位阶跃输入下的稳态偏差为在单位阶跃输入下的稳态偏差为 0，也就是说 系统的稳态输出1)(y。故 y(t)的最大动态偏差为： 当 =0.9 时：29934. 013162. 094668. 0)( 9 . 0 max yMpe 当 =0.75 时：186624. 015 . 0373248. 0)( 75. 0 max yMpe 4-34-3 用劳斯判据判别下列各特征方程中正根和负根的数目。 用劳斯判据判别下列各特征方程中正根和负根的数目。 02665 23 SSS 06322 234 SSSS 025322 2345 SSSSS 03482 234 SSSS 解：此三阶系统可采用快速判别法：内积=66=36，外积=52=10 内积外积，故闭环系统稳定，即该特征方程的三个根都是负根特征方程的三个根都是负根。 S 4 1 2 6 S 3 2 3 S 2 0.5 6 由左边的劳斯阵列知：闭环系统不稳定 S 1 -21 该特征方程的有两个正根和两个负根 特征方程的有两个正根和两个负根。 S 0 6 S 5 1 2 3 S 4 1 2 25 S 3 0() -22 此行第 1 列元素为 0，故用无穷小正数代替 0 S 2 )11(2 25 此行第 1 列元素为正无穷大 S 1 )11(2 4844425 2 此行第 1 列元素为-22 S 0 25 由以上劳斯阵列知，第 1 列元素的符号改变 2 次，故该特征方程有 2 个正根该特征方程有 2 个正根。 S 4 1 8 3 S 3 2 4 S 2 6 3 由左边的劳斯阵列知：闭环系统稳定 S 1 3 该特征方程的有四个负根 特征方程的有四个负根。 S 0 3 4-44-4 单回路系统如图 4-11 所示，确定使系统闭环稳定时 K 的取值。 单回路系统如图 4-11 所示，确定使系统闭环稳定时 K 的取值。 当 )5)(1( 1 )( SSS SGO； 当 ) 1)(2( 1 )( 2 SSSS SGO； 当 ) 125. 0)(11 . 0( 1 )( SSS SGO。 解：闭环系统特征方程为：056 23 KSSS 故系统稳定条件为：65K，即闭环系统稳定时 K 的取值范围为：00 0K14/90K0.025K，即：0K140K14 KGO(S) r y -3-2-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 Root Locus Real Axis Imaginary Axis 第 5 章 线性控制系统的根轨迹分析 第 5 章 线性控制系统的根轨迹分析 5-1 单回路反馈控制系统的开环传递函数为： ) 3)(2( ) 1( )( SSS SK SGK，画出闭 环根轨迹图，并求出使闭环系统瞬态响应主导振荡成分的阻尼系数=0.5 时 K 的取值。 解：根轨迹形状如下图所示，作图的步骤如下： 在复平面上标出开环极点、开环零点的位置：P1=0、P2=-2、P3=-3 及 Z1=-1。 根轨迹的分支数：有 3 条分支 根轨迹的三个起点(K=0)就是三个开环极点，即 0、-2、-3； 根轨迹的三个终点(K+)其中一个为开环零点， 即-1 点，其余两个在无穷远。 根轨迹在实轴上的位置：-3，-2和-1,0为根 轨迹的一部分。 根轨迹的渐近线： 渐近线与实轴的交点： 2 13 1320 mn ZP ii 渐近线与实轴的夹角： 2 ) 12() 12( N mn N 令 N=0，可得： 90和90 渐近线如图中蓝色虚线所示。 根轨迹与实轴的相交点：本步骤因为要对一元 三次方程求解，故不作要求！ 由特征方程： 0)(1SGK 1 65 23 S SSS K 令0 dS dK 0354 23 SSS 解得：4656. 2 1 S 7926. 07672. 0 3 , 2 jS 因为本例分离点只可能在(-3,-2)之间，故取： 4656. 2S 本例根轨迹与虚轴无交点。 如要求振荡成分的阻尼系数为 0.5，可过坐标原点作与负实轴的夹角分别为 +60和-60的折线（=arccos=arccos0.5=60） ，如图中粉红色虚线。 设折线与根轨迹在第 2 象限的交点坐标为：S1=-+j S1在根轨迹上，故该点必满足幅角条件： 180) 12()()()()( 31211111 3 1 1 1 NPSPSPSZS i Pi i Zi 1 arctan) 1()( 11 jZS 120)()( 11 jPS 2 arctan)2()( 21 jPS 3 arctan)3()( 31 jPS 即： 60 3 arctan 2 arctan 1 arctan 且：360tan 3 有和联立求解得