与导数有关的函数题的统一解题技巧分析

1 / 5 与导数有关的函数题的统一解题技巧分析 与导数有关的函数题的统一解题技巧分析 与导数有关的函数题是各省市检测和高考年年必考的题目，形式层出不穷，绝大多数还是区分度颇高的压轴题。许多中上水平的考生往往处理完第一问后，对第二、三问或是匆忙求导眼到手不到形成一堆烂账，或是写了一堆解答过程发现走进死胡同再出来，这样做的结果往往是得分较低，浪费时间，长此以往对科学备考的负面影响较大。究其原因，很多考生表现为不知道自己“起步”错误，具体来说就是对哪个函数求导不明确，或为什么要构造新函数 F （ x）和如何构 造函数 F （ x）不明确。本文结合近两年的高考题，就解答与导数有关的区分度颇高的函数题，如何走好“动一发而系全身”的第一步，谈如何构造函数 F （ x），给出程序化的构建模式，以达到“好的开始是成功的一半”的目的。 一、与导数有关的函数题概述 与导数有关的区分度颇高的函数题主要包括：讨论含参（一元参数或二元参数）方程根的个数与范围，含参（一元参数或二元参数）不等式的证明，求含参函数的最值或单2 / 5 调区间，含参（一元参数或二元参数）不等式恒成立时已知含参函数的最值或单调区间求某参数的范围，已知 含参（一元参数或二元参数）方程根的个数和范围求某参数的范围等。题目形式虽然千变万化、层出不穷，但本质上就是一道题。本文为使问题说明得更加方便，不妨以 f（ x） g（ x）的形式来说明。 二、程序化构造函数 F （ x）的统一模式 1.直接法：令 F （ x） = f（ x） -g（ x）。 2.化积法：若 f（ x） -g（ x） =h（ x） k（ x），且 h（ x） 0,令 F （ x） = k（ x）。 3.伸缩法：若 f（ x） f1（ x），则令 F （ x） = f1（ x） -g（ x），其中 ， f1（ x）通常可由熟悉的不等式或前一问中的结论得出。 4.控元法：含参问题若已给出参数 k的范围，由单调性控元、消元、消参，构建 F （ x）（ F （ x）不含参数）。 5.分离变量法：若能分离出变量 k k（ x），则令 F （ x）3 / 5 =k（ x）。 三、程序化构造函数 F （ x）的统一模式在高考题中的运用 例 1 （ 2016 年高考新课标全国卷理科卷第 21题）已知函数 f（ x） =ex-ln（ x+m）。 （）设 x=0 是 f（ x）的极值点，求 m,并讨论 f（ x）的单调性。 （）当 m 2时，证明 f（ x） 0. （）解： m=1. f（ x）在（ -1,0）上单调递减，在（ 0,+）上单调递增。（解答过程省略） （）证明：当 m 2,x（ -m,+）时， ln（ x+2） ln（ x+m）。记 F （ x） =ex-ln（ x+2），则 F （ x） =ex- . F （ x） =ex+ 0, F （ x）在（ -2,+）上单调递增。 4 / 5 F （ 0） =1- 0,F （ -1） = -10. 当 x （ -2,x0）时， F （ x） 0,此时函数 F （ x）单调递增。 f（ x） F （ x） F min（ x） =F （ x0） 0. 小结 本题是一道含参不等式的证明题，考生若不假思索地直接采用构造 F （ x） =左 -右，则在求 F （ x） =0时会走进死胡同。问题出在含参，因此应该控元，将两个变量变为一个变量，使其常态化。 例 2 （ 2016 年高考山东理科卷第 22 题）已知函数 f（ x） = （ k为常数， e=是自然对数的底数），曲线 y= f（ x）在点（ 1,f（ 1）处的切线与 x轴平 行。 （）求 k 的值。 （）求 f（ x）的单调区间。 （）设 g（ x） =（ x2+x） f （ x），其中 f （ x）为 f （ x）的导函数。证明：对任意 x0,g（ x） 0,此时 F 15 / 5 （ x）单调递增；当 x（ e- 2,+）时， F （ x） 0, F 2（ x）在（ 0,+）上单调递增。 F 2（ x） F 2（ 0） =1.不等式得证。 g（ x） 0）。 小结 如何构造函数 F（ x），关键在于 F （ x） =0是否易求（或易估）。若直接求 g（ x），则 g（ x） =0 的求解将陷入泥潭。 例 3 （ 2016 年高考辽宁理科卷第 21题）设 f（ x） =ln（ x+1） + +ax+b（ a,b R,a,b 为常数），曲线 y= f（