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巧用转化思想解数学题四川省广元市宝轮中学 唐明友一些数学问题，如果采用常规解法比较繁杂，或者“此路不通”，不妨换个角度思考，努力寻找解决问题的突破口，有时就因为转换了思维角度，巧用转化思想，使你走向了顺利解决问题的“康庄大道”。请同学们欣赏几例。一.运动向静止转化角度例1.小强跟随爸爸去清江河游泳时忽发奇想，他要测水流速度，爸爸高兴地说愿意协助。方法是这样的：他在A处放下一个空矿泉水瓶，让它向下游漂流，小强向上游泳10分钟，立即转身原路去追赶矿泉水瓶，结果在距A处下游0.5千米的B处追上。据此小强心算便得出了水流速度，你知道小强是怎么算的吗？解法1：设河水的流速为x，小强游泳的速度为y，则小强向上游泳的距离是（yx）千米，转身向下游泳去追矿泉水瓶所走的路程是（）（xy）千米。由题意列出方程：（yx）0.5=（）（xy）去分母得 x(yx)3x=(3x)(xy）整理得 2xy=3yy0,x=1.5,即河水的流速是1.5 。解法2：假定小强在游泳池里游泳，水不会流动，向上游泳10分钟再转身回追矿泉水瓶，矿泉水瓶应在原处，这样小强来回共游了2=小时。由于矿泉水瓶在顺水漂流，它向下漂流的0.5千米是在这小时内完成的。仍设河水的流速为x，则x=0.5，x=1.5()点评：由于小强很快得到了答案，显然不是按解法1，而是转换了思维角度，按解法2将运动的河水看成静止的，即物理学上将河流作为参照物，相当于河水不流动只是人在运动，这样，可使问题一下子简明起来，这是小强活学活用数理知识的典型例子。二.局部向整体转化角度例2.已知有三个数，其中任意两个数相加所得的和分别是39、44、47，求这三个数。解法1：设这三个数分别是x、y、z，则，解得，因此，这三个数分别是21、18、26.解法2：设这三个数的和是a，根据题意得：2a=394447，解这个方程得：a=65，所以这三个数分别是：6539=26，,6544=21,6547=18.点评：解法1是直接设元列出三元一次方程组解，解法2运用整体思想列出一元一次方程解，显然要简单得多。因此，有些数学问题，如果盲目进入局部探索，问题会复杂化，此时若能换一个角度，从整体上把握方向，常会找到问题的简明解法。三.常规向模型转化角度例3.解方程组：解法1：（2）(1)得：11x=20112000解之得：x=4011把x=4011代入（1）得：2000401117y=2000 y=所以，原方程租的解为：解法2：原方程可化为：可得2000、2011是一元二次方程mmx17y=0的两个根，由根与系数的关系有：x=20002011=4011,17y=20002011，即y=点评：前一种解法运算量大且繁杂。观察方程的特点，两个方程的形式相同，类比“模型”一元二次方程mmx17y=0，再运用根与系数的关系轻松获得解决。观察、联想、类比，将问题转化为数学模型，是解决这类问题的常用思路。四.“数”向“形”转化角度例4.若代数式取最小值，求相应的x的取值范围。解法1：分三种情况讨论：（1）当x2时，原式=x2x3=2x1,x2，2x15。此时，当x=2时,原式取得最小值5.（2）当2x3时，原式=x2x3=5。此时，原式的值恒为5.(3)当x3时，原式=x2x3=2x1x3,2x15。此时，当x=3时,原式取得最小值5.综合（1）、（2）、(3)可得:代数式取最小值时，相应的x的取值范围是：2x3.解法2：如图1，的几何意义是数轴上表示数x的点（设为X）到表示2的点（设为A）的距离AX，同样表示距离BX。显然，只有当点X在线段AB上时，AXBX的长才能取得最小值AB=5， 所以x的取值范围是：2x3.点评:两种解法各有千秋，解法1运用了分类讨论思想和不等式的知识；解法2运用了数形结合思想和绝对值的几何意义，这种解法更直观清晰。实际上，它们都是解决绝对值问题的常用方法，同学们应予以掌握。五.“形”向“数”转化角度例5.如图2，在边长为10的正方形ABCD中，以AB为直径作半圆O，E为半圆上一点，过E作AB的垂线，垂线段EF长为4，连接DE，求证：DE与O相切。分析：一位同学向我提问时，说他思考了很久都没有进展，他的思路是这样的：要证明ED与O相切，只需要证明OEED，连接OE、OD，就需要证明AODEOD，他只找到OA=OE,OD=OD两个条件就再也无法进行下去了。很明显，这名同学只从几何角度思考，未能联系题目中明显的数量关系转换到数的角度来考虑。解：如图2，延长FE交CD于点N，连接OE、OD，则EF=4， OE=OB=5，EN=104=6，EFAB，AFE=90在RtOEF中，OF=3,FB=53=2=CN，ND=102=8在RtNED中，ED=10，ED=AD=10在AOD与EOD中，,AODEOD，OED=OAD=90，DE与O相切。 点评:本题含有线段的数量关系，不能通过单纯的几何角度关口，应该从计算方法入手。于是，换一个角度，将证明的重心转移到计算，再通过数的计算结合形的推理，走向“顺风满帆”，达到证明结论的“彼岸”。同学们，看了上面的例子，有收获吧？只要你们多思考，善联想，若这样解困难或遇阻，不妨换个角度再“前行”，就一定能提高解题的能力，取得更大的进步。下面提供三道练习题：1.丈夫甲距家12千米时，妻子乙带着爱犬去迎接，两人的速度分别为3.5与4.5，同时他们的爱犬以7的速度从乙奔向甲，爱犬遇甲后又立即回头奔向乙，遇乙后立即回头又奔向甲，遇甲后又奔向乙，直到甲、乙二人相遇为止，求爱犬所走的路程。2.若abc，试求函数y=+的最小值。3.求下面六位数竖式乘法的结果：1abcde 3abcde1答案与提示：1、10.5千米，提示