正规子群与商群.ppt

2.2 正规子群与商群 ( 2.2 Normal Subgroup and Quotient Group),前面我们已经看到，一个群G的子群H的左陪集aH与右陪集Ha不一定相等，当aHHa时，具有此种特性的子群H叫正规子群或不变子群。正规子群对刻画群的性质有十分重要的作用，是非常重要的子群。 2.2.1 正规子群(不变子群)(Normal Subgroup) 定义:设HG， aG，若aHHa，则称H为G的正规子群(不变子群)，记做H G。,例1. 对称群S3的子群H=(1)(1 2 3)(1 3 2)是它的正规子群，而子群(1)(1 2)及(1)(13)， (1)(2 3)都不是它的正规子群。,例2. 任意群G的两个平凡子群G和e都是G的正 规子群。 G的不等于G的正规子群称为G的真正规子群。 若G e，但G中除G 和e外无其它正规子群，则称G为单群。,例3. 交换群G的任意子群H显然都是正规子群。 例4. 群G中所有与G的任意元能够交换的元构成G的一个正规子群。这是G的一个重要的正规子群，叫做G的中心，记做C(G) C(G)=x| xG，xa=ax， aG 。 例5. 群G中指数为2的群必为正规子群。 事实上，设HG，G:H=2，取aG H，则HaH=， HHa=， 又G=HaH，且G=HHa，由陪集性质得aH= G H=Ha。 H G,2.2.2 正规子群的性质(Properties of Normal Subgroup) 定理:设H是G的子群，则以下几个命题是相互等价的。 a G，有aH= Ha（即H G） a G， h H，有aha-1 H a G，有aHa-1 H a G，有aHa-1= H,证明: (1)(2)： aG， hH，有ah Ha，推出ah=h1a，所以aha-1=h1 H (2) (3)： aha-1H，得到 aHa-1 H (3) (4)： aG，有aHa-1 H，也有a-1Ha H; 又 h H，有aha-1=h1 ， h=ah1a-1 aHa-1， H aHa-1， aHa-1=H (4) (1)： aHa-1=H，得(aHa-1)a=Ha， aH=Ha,例. 考虑4次对称群S4，令 K4=(1)，(1 2)(3 4)，(1 3)(2 4)，(1 4)(2 3)， 则易证K4是S4的一个子群，而且是正规子群。 但H=(1)，(1 2 4)，(1 4 2)是S4的子群，不是正规子群。 正规子群还有以下性质: (1)设A G，B G，则AB G，AB G (2)设A G，BG，则AB B，ABG (3)设A G，B G，且AB=e，则 aA， bB，有ab=ba,2.2.3 商群(Quotient Group) 设H G，则G关于H的左陪集的集合与右陪集的集合相等，记做G/H。 G/H=aH|aG=Ha|aG 定义 由H确定的G中的元素间的等价关系为同余关系： ab a-1b H ab(modH) 则每一个陪集记做 =aH，称为模H的一个同余类，故 G/H= | aG 。,定理: 设H G，则G/H对子集乘法构成群，称为G关于H的商群。 证明: 不难证明子集乘法: aH，bHG/H， aHbH =ah1bh2|h1，h2H 是G/H中的一个二元运算(封闭性，唯一性，结合律)。且G/H中有单位元H: aH G/H，aHH=H aH=aH。 又任意aHG/H，有逆元a-1H。 故G/H关于子集乘法构成群。,例: 在(Z，+)中， Hm=是正规子群， Z/Hm=Z/(m)= ， 即整数模m的同余类群。 一般地，G/H也称为G模H的同余(剩余)类群。,根据正规子群和商群的定义及性质不难得到： 推论1 设H G，则 商群G/H的单位元是eH(=