随机信号分析常建平,李林海课后习题答案第二章习题讲解.pdf

2-1 已知随机过程0 ( )cosX tAt，其中 0为常数，随机变 量 A服从标准高斯分布。 求00 0,3,2t 三个时刻 ( )X t 的一维概率密度？ 解： 2 2 1 (0,1)( ) 2 A a ANfae 2 1 2 01 1 ( )(0,1)(0) 2 tX x X tANfxe；， 0 2 2 2 32 0 3 A12 ( )(0,)() 242 X t x X tNfxe；， 0 0 2 323 ( )0()() t X tf xx ，； (离散型随机变量分布律 ) 2-2 如图 2.23 所示，已知随机过程 ( )X t 仅由四条样本函数组 成，出现的概率为 1 1 3 1 , 8 4 8 4 。 t ( )X t 1 2 3 4 5 6 1 t 2 t 1( ) x t 2( ) x t 3( ) x t 4( ) xt o 图 2.23 习题 2-2 在 1 t和 2 t 两个时刻的分布律如下： 1234 1 ( )X t 1 2 6 3 2 ()X t 5 4 2 1 12 12 ( ,) k k ptt 1/8 1/4 3/8 1/4 求？ 1212 ( ),(),( )()E X tE X tE X tX t 4 1 1 29 ( ) 8 kk k E X tx pt 2 21 () 8 E X t 12 12121 21122 ( )(), X kk E X tX tRt tk k p X tkX tk 223 12 ( )cos(0,1) ( ; ),( )( )( ,) XX X tAtXHAU fx tE X tD X tRt t 随机过程，其中（均匀分布）。 求,？ 2 2 2 2 1212 2 2 112 1 22 2 ( )coscos ( )( )( ) ( )coscos cos cos 12 ( ,)coscos coscoscoscos 1 cosc 2 3 2 o X XY D a E X tE AtXHt EAXH D X tE XtEX t D X tD AtXHD AtD XH t t DA Rt tEAtXH Xa D Xb D YabC EAEA AtXH ttXHttXH t 公式：b = 方法 ： 2 2 12 scoscos 2 XH tttXH 22cos0 22 , 3 22cos0 22 , cos0( ) 2 1 22, cos2 cos cos cos c 2 13 22, ( ; ) cos o 2 s 2 X ktkt tX tUXHXH ktkt tX tUXH XH tktX tXH ktkXHxXH t ktkXHxXH fx t t xX t t t t 对某一固定时刻 对某一固定时刻 概率密度用冲激函数表示 , 2 0 HtkxXH else 2-4 已知随机过程 ( )X tABt ，其中 ,A B 皆为随 机变量。求随机过程的期望 ( )E X t 和自相关函 数12 ( ,) X Rt t ？若已知随机变量相互独立， 它们的概率密度分别为 ( ) A fa 和 ( ) B fb ，求 ( )X t 的一 维概率密度 ( ; ) X fx t 第问 方法 一：用雅克比做（求随机变量函数的分布） 步骤： t 时刻， ( )X tABt为两个随机变量的函数 设二维的随机矢量 1 2 XABt XA （题目要求的） （自己设的量 ,可以是其它量） 求 反函数 求雅克比行列式J，得到 |J| 利用公式 12 X X12 (,)( , ) AB x xfbJfa ( )AB( ) ABAB ffafb相互独立 由联合概率密度求边缘概率密度 1X fx t 为变量，则得到 ( ; ) X fx t ,A B ,( , )( )( ) ( )01 ( ) 1 ( )( )11 ( ) 11 ( , ; )( , )( ,)( )() 1 ( ; )( , ; )( )() ,( ; ) ABAB XYABABAB XXYAB X ABfa bfafb AY t X tABt J X tY t Y ttB ttt xyxy fx y tfa bfyfyf tttt xy fx tfx y t dyf A dyyf tt fx ty J a 与 独立 1 ( )() AB xa fafd a tt ; 1 XAB AB a b xa fx tfafd tt fxbtfb d 方法二：用特征函数定义和性质（独立变量和的 特征函数等于各特征函数的乘积）做 （特征函数和概率密度一一对应） , ; ; ; ; ju juX tju A Btju a bt XAB ju a b AB x XX ju AB j AB ux X t B X x A fa fb Qu tE eE eefa b dadb edadb x Qu ted db edx fbt f Qu b fx t tfx t edx fxbt fb d fxbfb xx b tb d 取a= -bt 2-5 已知 ( )X t 为平稳过程，随机变量0 ()YX t。判 断随机过程 ( )( )Z tX tY的平稳性？ X ( )m X X tR平稳、 0 ?E Y tE X t 2 X E Z tm 1212 2 121200 2 0012 0 0 , , Z XXX Z ttt Rt tEX tYX tY E X tX tX tXXX tX RRtRtE X R ttt 随机过程 ( )( )Z tX tY 非平稳 2-6 已知随机过程0 ( )( )cos()Y tX tt ，其中随机 过程 ( )X t 宽平稳，表示幅度；角频率 0为常数； 随机相位服从 (,) 的均匀分布， 且与过程 ( )X t 相互独立。求随机过程 ( )Y t 的期望和自相关函 数？判断随机过程 ( )Y t 是否宽平稳？ 与过程 ( )X t相互独立 0 cos()tX t与相互独立 0 0 ( )( )cos() ( )cos()0 E Y tE X tt E X tEt 10 120 2 120 10 2 120 1 12 0 2 0 ( )cos()()cos() ( )() cos()cos() ( , 1 cos 2 )()cos()cos() Y X E X ttX tt E X tX ttt E X t Rt t R X tEtt 2-8 已知平稳过程 ( )X t 的自相关函数为 ( )4coscos3 X Re ， 求 过 程的均方值和方差？ 11 2 ( )4cos()0 ( )cos30 XX X ReR R X1 X2 非周期部分m 周期偶函数m 22 (0)5 XXX Rm ( )X t 2-10 已知过程 ( )cossinX tAtBt 和 ( )cossinY tBtAt ，其中随机变量 ,A B 独立，均值都 为 0，方差都为5。证明 ( )X t 和 ( )Y t 各自平稳且 联合平稳；求两个过程的互相关函数？ ,5sin XY Rt t X tY t 、联合平稳 2 ( )0,5cos( )5 X E X tRt tE Xt X t 平稳 2 ( )0,5cos( )5 Y E Y tRt tE Yt Y t 平稳 2-11 已知过程 ( )X t 和 ( )Y t 各自平稳且联合平稳，且 ( )( )( )Z tX tY t 。求 ( )Z t 的自相关函数 ( ) Z R ？若 ( )X t 和 ( )Y t 独立，求 ( ) Z R ？若 ( )X t 和 ( )Y t 独立且均值 均为 0，求 ( ) Z R 第问 Z XYXYYX XXYYXY RE Z t Z t RRRR RRRR 两个联合平稳的过程的互相关函数 YXXY RR 第问两平稳过程独立 1212 EX tY tE X tE Y t XYYXXY RRm m 2 ZXYXY RRRR 第问 ( )X t 和 ( )Y t 独立且均值均为0 ZXY RRR 2-12 已知两个相互独立的平稳过程 ( )X t 和 ( )Y t 的 自相关函数为 2 0 ( )2cos X Re 2 ( )9exp3 Y R 令随机过程，其中A是均值为2，方差为9 的随 机变量，且与 ( )X t 和 ( )Y t 相互独立。求过程 ( )Z t 的均 值、方差和 ( )( )( )Z tAX t Y t 自相关函数？ 随机变量 A，与 ( )X t 和 ( )Y t 相互独立 E Z tEA EX tE Y t ( )()0( )0 X E X tRE Z t， 2 2 222 2 2 0 ( ,)( ) () ( )() ( ) () ( )( ) co 92 ( )26s9exp3 Z XY Z R t tE Z t Z t E A X t X tY t Y t E ARR E AD A Re EA ( )(0)260 Z D Z tR 可以证明过程 ( )Z t 平稳 2-14 已知复随机过程 1 ( )exp ii i Z tAjt 式中 (1, ) i Ain 为 n 个实随机变量， (1, ) i in 为 n 个实数。求当 i A 满足什么条件时， ( )Z t 复平稳？ 复过程 ( )Z t 复平稳条件 + j , Zz ZZ m tmmm R t tR XY 复常数， 11 expexp ziii i i i mtEAjtjAtE 0( )0 ii E AE Z ttE A只要，中就存在 “ ”。令 11 11 2 11 , expexp exp exp iijjj ij ijj i j j i ij ij Z E Rt tE Zt Z AjtAjtj jtjtjA t E Aj E A 0. . ,1,2, 0, i ik ik E A AAi kn E A Aik 与间应满足条件： 2-16 已知平稳过程 ( )X t 的均方可导， ( )( )Y tXt 。 证明 ( ),( )X tY t 的互相关函数和 ( )Y t 的自相关函数分别 为 ( ) ( ) X XY dR R d 2 2 ( ) ( ) X Y d R R d 0 0 00 2 2 2 ( )( ) () ()( ) () () ()( ) () lim ()( )( )() limlim ( )( ) Y t t XYXYXYXY t XYX RE X t Y t X ttX t E l i mY t t E X tt Y tX t Y t t RtRRR t dRd R dd 。 0 0 0 1( )( ) () ()() ( ) ( )()( )() lim ()( )( ) lim XY t t XXX t RE X t Y t X ttX t E X t l i m t X t X ttX t X t E t RtRdR tdt 若 ( )X t 为宽平稳（实）过程，则 ( )Xt 也是宽平稳（实）过程，且 ( )X t 与 ( )X t联合宽平稳。 2 2 ( )()()( ) ( ) XYYXXYX Y d Rd Rd Rd R R dddd 2-17 已知随机过程 ( )X t 的数学期望 2 ( )4E X tt ，求随机过程 2 ( )( )Y ttX tt 的期望？ 2 ( )( )42E X tE X ttt 2 ( )3E Y tt 2-18 已 知 平 稳 过 程 ( )X t 的 自 相 关 函 数 2 1 ( )2exp 2 X R 。求：其导数 ( )( )Y tXt 的自相 关函数和方差？ ( )X t 和 ( )Y t 的方差比？ 212 2 2 2 ( ) ( )2 1 X Y d R Re d 不含周期分量 2 2 02 02 YY XX R R 补充题：若某个噪声电压X t是一个各态历经过程，它的一 个样本函数 为 2cos 4 X tt，求该噪声的直流分量、交流 平均功率 解：直流分量 EX t 、交流平均功率 DX t 各态历经过程可以用它的 任一个样本函数的时间平均 来代替整个过程的 统计平均 11 ( )limlim0 22 1 ( )( )() ( )2cos 4 ( )() 2c lim 2 1 losim2cos 2 2cos 44 TT TTTT T X TT T TT E X tX tdtdt TT RX t X tdt T X tt X t X tttd T t = 再利用平稳过程自相关函数的性质 02 XX D X tRR 方法二： 22 2 22 2 ( )( ) ( )2cos ( )0 11 ( ) limli 24 m2 2 TT TTTT XtX tD X tE XtEX t X t Xtdtdt T Xt T t= 0 1 ( )() t Y tXd t 0 1 )( 1 () t Y tXd tt 变上限积分 2-19 已知随机过程 ( )cos3X tVt ，其中 V是均值和方 差皆为 1 的随机变量。令随机过程 求 ( )Y t 的均值、自相关函数、协方差函数和方差？ 解： 1 求均值，利用 ( )( ) bb aa EX t dtE X t dt 随机过程的积分运算与数学期望运算的次序可以互换 000 ( ) 111 ( )cos3 sin3 3 ttt E Y tEXddd tt E XE V t t t 2.求自相关函数 12 12121122 00 12 1221 00 11 ( ,) ( ) ()()() ()() tt Y tt Rt tE Y t Y tEXdXd tt E XXdd t t 12 1 2 1 12 00 12 12 12 2 12 12 cos3 ( ) () 11sin3 ( )( ) 3 sin3sin3 ( ,) 33 sin3 sin3 sin3 sin3 99 tt Y Vt Y tXdd ttt Vt Vt R t tE tt tt EVtt t tt t V E Y t Y t 1 21 2 做法二： 2 3. 求互协方差函数 11212212 ( )( ,)( ,)sin3 si 3() 9 n YY CttE Y tE Y tRt ttt t t 1 2 1 4. 求方差 ,t Y Ct tD Y t是关于 的方差一元函数 22 22 sinsin 3sin 3 99 3 3 t t V D Y tt VtD t D t 方法二： 2-20 已知平稳高斯过程 ( )X t 的自相关函数为 ( )6exp 2 X R sin ( )6 X R 求当t固定时，过程 ( )X t 的四个状态 ( ),(1),(2),(3)X tX tX tX t 的协方差矩阵？ 分析：高斯过程四个状态的 1 11 21 31 2 12 22324 313 23 33 4 4 14 24344 4 4 CCCC CCCC CCCC CCCC C 1( ) , 2(1), 3(2), 4(3)X tX tX tX t状态状态状态状态 X t 平稳高斯，协方差阵只与时间差值有关 4 4 0123 1012 2101 3210 XXXX XXXX XXXX XXXX CCCC CCCC CCCC CCCC C 2 ( )( ) ikXXX CCRm 解： X t 平稳高斯，协方差阵只与时间差值有关 2 2 13 1 22 13 1 22 11 1 22 11 1 22 31 1 22 lim 0123 1012 ( )0 ( )( ) (0)6(1)6(2)6(3)6 6666 666 2101 32 6 6666 6666 10 XX ij XXXX XXXX XX XXX XX XX XX X X X X CCCC CCCC CCCC CCC mR CRmR RReReRe eee eee C eee eee C 2 0 ( )0( ) sin (1)(2)( (0 lim lim) 0 6 3) XXijX XXX X mRC R R RRR 1 6000 0600 0060 0006 C 2-21 已知平稳高斯过程 ( )X t的均值为 0，令随机过程 2 ( )( )Y tX t。 证明 22 ( )(0)2( ) YXX RRR 12 12 22 4 224 12 22 12 0 1 12 12 12 0 2 1 (, ( )( ) ()( )() (,; ,) ( )()() (,; )exp 2 0 0 ) () Y X T TX XX X n k nknk X nk RE Y t Y tE Xt Xt Qt t E Xt Xtj UU X tQjM U MU Q E X Xj C 证： 为高斯平稳过程 12 2 12 22 1122 22 112 4 4 22 12 0 2 2 2 (0)( ) ( )(0) (,; ) 1 exp(0)2( )(0) 1 exp(0)2( ) 2 ( )() (0) 0 2 ( ) 2 ( XX X XX X X XXX XX Y XX RRR RR RR Q RRR Rj RR C 2-22 已知随机过程0 ( )cos()X tAt，其中随机相位服从 (0, 2 )上的均匀分布； A可能为常数， 也可能为随机变量 ，且 若A为随机变量时， 和随机变量相互独立。当A具备什么 条件时，过程各态历经 ？ 分析：随机过程各态历经要求为平稳过程且 ( )( )X tE X t ( )()( ) X X t X tR 解： A为常数时 2 22 0( ,)c o s 22 AA E X tR t tE Xt ( )X t 为平稳过程 A为随机变量时和随相互独立 00 2 2 2 2 2 2 ( )cos()cos()0 ( ,)( )()cos()cos(2) coscos(22) 2 cos cos(22)cos0 22 ( ) 2 E X tE AtE AEt R t tE X t X tE Att A Et A EEEt E A E X E A t ( )X t 为平稳过程 0 1 ()l i mc o s ()0 2 T TT XtAtd T t 2 2 22 1 ( )()limcos()cos(2) 2 1 limcoscos(22) 22 1 coslimcos(22)cos0 222 T TT T TT T T T X t X tAtt T tdt T AA tdt dt A T