随机变量及其分布函数.ppt

第二章 随机变量及其分布,2.1 随机变量及其分布函数 2.2 离散型随机变量及其分布律 2.3 连续型随机变量及其概率密度 2.4 随机变量函数的分布,2.1 随机变量及其分布函数,一、随机变量的引入 二、随机变量的概念 三、随机变量的分布函数 四、随机变量的分类,1. 为什么引入随机变量?,一、随机变量的概念引入,2. 随机变量的引入,概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的，为了更方便有力的研究随机现象，就要用数学分析的方法来研究， 因此为了便于数学上的推导和计算，就需将任意的随机事件数量化当把一些非数量表示的随机事件用数字来表示时， 就建立起了随机变量的概念,实例1,袋中有3只黑球，2只白球，从中任意取出3只球， 观察取出的3只球中的黑球的个数 我们将3只黑球分别记作1，2，3号，2只白球分别 记作4，5号，则该试验的样本空间为,我们记取出的黑球数为 X， 则 X 的可能取值为1，2，3因此，X 是一个变量 但是，X 取什么值依赖于试验结果， 即 X的取值带有随机性， 所以，我们称 X 为随机变量,X 的取值情况可由下表给出：,由上表可以看出，该随机试验的每一个结果都对应 着变量 X 的一个确定的取值，因此变量 X 是样本空间上的函数.,由上表可以看出，该随机试验的每一个结果都对应 着变量 X 的一个确定的取值，因此变量 X 是样本空间上的函数：,我们定义了随机变量后，就可以用随机变量的取值情况来刻划随机事件,例如,表示取出2个黑球这一事件；,表示至少取出2个黑球这一事件，等等,实例2 在一装有红球、白球的袋中任摸一个球,观察摸出球的颜色., =红色、白色,非数量,将 数量化,可采用下列方法,红色,白色,即有 X (红色)=1 ,X (白色)=0.,这样便将非数量的 =红色，白色 数量化了.,实例3 抛掷骰子,观察出现的点数.,S=1，2，3，4，5，6,样本点本身就是数量,且有,则有,二、随机变量的概念,1.定义,设E是一个随机试验， 是其样本空间,为一个随机变量，,我们称样本空间上的函数：,R,随机事件数量化,说明,(4)随机变量与普通的函数不同,随机变量是一个函数 , 但它与普通的函数有着本质的差别 ,普通函数是定义在实数轴上的,而随机变量是定义在样本空间上的 (样本空间的元素不一定是实数).,即随机事件数量化.,(5) 随机变量的取值具有一定的概率规律,随机变量随着试验的结果不同而取不同的值, 由于试验的各个结果的出现具有一定的概率, 因此随机变量的取值也有一定的概率规律.,(6) 随机变量与随机事件的关系,随机事件包容在随机变量这个范围更广的概念之内.或者说 : 随机事件是从静态的观点来研究随机现象,而随机变量则是从动态的观点来研究随机现象.,实例4 掷一个硬币, 观察出现的面 , 共有两个结果:,若用 X 表示掷一个硬币出现正面的次数, 则有,即 X () 是一个随机变量.,随机事件数量化,2. 例子,实例5 在有两个孩子的家庭中,考虑 其性别 , 共有 4 个样本点:,若用 X 表示该家女孩子的个数时 , 则有,可得随机变量 X(),实例6 设盒中有5个球 (2白3黑), 从中任抽3个,则,是一个随机变量.,实例7 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8, 现该射手射了30次, 则,是一个随机变量.,且 X(e) 的所有可能取值为:,且 X() 的所有可能取值为:,称为 X 的分布函数,对于任意的实数 x1, x2 (x1 x2) ，有：,三、随机变量的分布函数,1.概念,定义 设 X 是一个随机变量，x 是任意实数，函数,注意到 X 的分布函数是一个普通函数.,0,x,X,-1,x,2. 例子,例 1 设随机变量 X 的为：,解：,当 x -1 时，满足,求 X 的分布函数.,满足,满足,例 1 设随机变量 X 的为：,求 X 的分布函数.,满足,满足,总之,例 2 一个靶子是半径为 2 米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以 X 表示弹着点与圆心的距离. 试求随机变量X的分布函数.,解：,X,（1） 若 x 0,满足,（2）,满足,据题意,例 2 一个靶子是半径为 2 米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以 X 表示弹着点与圆心的距离. 试求随机变量X的分布函数.,解：,（1） 若 x 0,（2）,（3）,满足,是必然事件，,于是,总之,3. 性质,从以上分布函数的图象可以看出，分布函数 F(x) 具有以下基本性质：,10 F (x) 是一个不减的函数,事实上，,20,30,性质20 ，30不加证明了,可以直观理解.,3. 性质,10 F (x) 是一个单调不减的函数,20,30,另外，可以证明:,(1)分布函数必须满足以上三个性质. (2)满足以上三个性质的函数一定是某一个随机变量的分布函数.,4. 用分布函数计算某些事件的概率,则,F (x) 是一个单调不减的函数，单侧极限一定存在.,例 3,例 4,由分布函数的性质，我们有,解：,解方程组,得,四、随机变量的分类,离散型,随机变量,连续型