维随机变量的函数分布.ppt

课件制作：应用数学系,概率论与数理统计,第五节 二维随机变量的函数分布,3.5.1 和的分布,3.5.1.1 离散型随机变量和的分布,3.5.1.2 连续型随机变量和的分布,3.5.2 一般函数 的分布,3.5.4 最大值、最小值的分布,在第二章中，我们讨论了一维随机函数的分布，现在我们进一步讨论:,我们先讨论两个随机变量的函数的分布问题， 然后将其推广到多个随机变量的情形.,当随机变量X1, X2, ,Xn的联合分布已知时， 如何求出它们的函数 Y=g(X1, X2, ,Xn), i=1,2,m 的分布?,一、离散型分布的情形,例1 若X、Y独立，P(X=k)=ak , k=0,1,2, P(Y=k)=bk , k=0,1,2, , 求Z=X+Y的概率函数.,解:,=a0br+a1br-1+arb0,由独立性,此即离散 卷积公式,r=0,1,2, ,和的分布：Z = X + Y,解：依题意,由卷积公式,i=0,1,2,j=0,1,2,由卷积公式,即Z服从参数为 的泊松分布.,r=0,1，,例3 设X和Y的联合密度为 f (x,y),求Z=X+Y的密度,解: Z=X+Y的分布函数是: FZ(z)=P(Zz)=P(X+Y z),这里积分区域D=(x, y): x+y z 是直线x+y =z 左下方的半平面.,一、连续型分布的情形,和的分布：Z = X + Y,化成累次积分,得,由X和Y的对称性, fZ (z)又可写成,以上两式是两个随机变量和的概率密度的一般公式.,特别，当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘密度分别为fX(x) , fY(y) , 则上述两式化为:,这两个公式称为卷积公式 .,为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域,解: 由卷积公式,即,如图示:,于是,解法二 从分布函数出发,当z 0 时，,可用卷积公式直接求密度函数与通过分布函数求密度函数两种方法求和的分布,当0 z 1 时，,当1 z 2 时，,z-1,当2 z 时，,例5 甲乙两人约定中午12时30分在某地会面.如果甲来到的时间在12:15到12:45之间是均匀分布. 乙独立地到达,而且到达时间在12:00到13:00之间是均匀分布. 试求先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率. 又甲先到的概率是多少？,解: 设X为甲到达时刻,Y为乙到达时刻,以12时为起点,以分为单位,依题意,XU(15,45), YU(0,60),所求为P( |X-Y | 5) 及P(XY),甲先到 的概率,由独立性,先到的人等待另一人 到达的时间不超过5分钟 的概率,解一：,P(| X-Y| 5),=P( -5 X -Y 5),=1/6,=1/2,P(XY),解二：,P(X Y),=1/6,=1/2,被积函数为常数， 直接求面积,=P(X Y),P(| X-Y| 5),例6 设随机变量X和Y相互独立,且均服从标准正态分布N(0,1),求Z= X+Y的概率密度函数.,解 由题意得,X和Y相互独立,故,结论: 两个独立的正态分布的随机变量的和 仍服从正态分布.,X1+X2N(1+ 2,12+ 22),正态分布的可加性,.即:若X1N(1,12), X2N(2,22), X1,X2独立,则,三、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布,求M=max(X,Y) 及N=min(X,Y)的分布函数.,设X，Y是两个相互独立的随机变量，,它们的分布函数分别为FX(x)和FY(y),M=max(X,Y)不大于z等价于X和Y都不大于z，,故有,P(Mz)=P(Xz,Yz),又由于X和Y 相互独立,于是得到M=max(X,Y)的分布函数为:,FM(z)=P(Mz),=P(Xz)P(Yz),=P(Xz,Yz),即有 FM(z)= FX(z)FY(z),类似地，可得N=min(X,Y)的分布函数是,下面进行推广,即有 FN(z)= 1-1-FX(z)1-FY(z),=1-P(Xz,Yz),FN(z)=P(Nz),=1-P(Nz),=1- P(Xz)P(Yz),设X1,Xn是n个相互独立的随机变量,M=max(X1,Xn)的分布函数为:,N=min(X1,Xn)的分布函数是,特别，当X1,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时，有,FM(z)=F(z) n FN(z)=1-1-F(z) n,与二维情形类似，可得:,需要指出的是，当X1,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时, 常称,M=max(X1,Xn)，N=min(X1,Xn),为极值 .,由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要的作用和实用价值.,解一: P(Y=n)= P(max(X1,X2)=n),=P(X1=n, X2n)+P( X2 =n, X1 n),记1-p=q,例7 设随机变量X1,X2相互独立,并且有相同的几何分布: P(Xi=k)=p(1-p)k-1 , k=1,2, ( i =1,2) 求Y=max(X1,X2)的分布 .,解二: P(Y=n)=P(Yn)-P(Yn-1),=P(max(X1,X2) n )-P(max(X1,X2) n-1),=P(X1 n, X2n)-P( X1 n-1, X2 n-1),练习.1 设系统L由两个相互独立的子系统联接而成，联接的方式分别为(i)串联，(ii)并联，如图所示设L1,L2的寿命分别为X与Y，已知它们的概率密度分别为,其中 ,试分别就以上两种联结方式写出L的寿命Z的概率密度,所以Z的分布函数为,概率密度函数为,概率密度函数为,由卷积公式可得:当 时,当 时,当 时,解（1）令 , 由题意,故,解（2）令 , 由题意,进而，得,故,解（3）令 , 由题意,进而，得,这一讲，我们介绍了求随机向量函数的