2014年全国大学生数学建模竞赛B题全国获得二等奖.pdf

20142014 高教社杯全国大学生数学建模竞赛高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承承 诺诺 书书 论文编号：论文编号：B02008013 我们仔细阅读了全国大学生数学建模竞赛章程和全国大学生数学建模竞赛参 赛规则（以下简称为 “竞赛章程和参赛规则” ， 可从全国大学生数学建模竞赛网站下载） 。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网 上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或 其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文 引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有 违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展 示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等） 。 我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写） ： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话） ： 所属学校（请填写完整的全名） ： 天津商业大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 叶恒扬 2. 冯冰冰 3. 朱文博 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 安建业 （论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容 请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。） 日期： 2014 年 9 月 15 日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 2014 高教社杯全国大学生数学建模竞赛高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编编 号号 专专 用用 页页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅 人 评 分 备 注 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： - 1 - 创意平板折叠桌创意平板折叠桌 摘摘 要要 创意平板折叠桌以巧妙的条状机构设计、精致的外观造型受到许多消费者的青睐， 市场需求潜力巨大。因此，设计并研制创意独特的平板折叠桌具有重要的现实意义。 本文主要综合运用几何学、运筹学、工业设计、计算机软件等知识，通过建立数学 模型来研究平板折叠桌动态变化特性，进一步设计出相应的创意作品。 针对问题一，通过分析折叠桌的结构特性，根据直纹曲面生成原理，建立了描述木 条动态变化的参数方程模型（见公式(1)） ，然后利用 Mathematica4.0 程序（见附录 1） 模拟得到了不同折叠角度下折叠的桌状态模拟图（见图 3） 。在此基础上，建立了计算桌 腿木条长度、开槽位置与描述桌脚边缘线的数学模型（见公式(2)(4)） ，并利用 Matlab 程序（见附录 2）求出了每个木条的长度与开槽位置见下表（由对称性知只需考虑 10 条即可） ： 利用 Mathematica4.0 程序（见附录 3）绘制了桌脚边缘线的几种状态曲线（见图 4） 。 模拟结果与实际情况完全吻合，验证了模型的正确性。 针对问题二，为了满足任意给定折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，从桌子不 易侧翻这一影响其稳固的重要因素出发， 利用最外侧两桌脚连线在桌面的投影恰好与圆 形桌面边缘相切给出了求平板尺寸长的公式（见公式(5)） ；然后以所有桌腿木条开槽长 度的总和最小为目标， 以便于加工、 节约成本等因素为约束条件， 建立了确定钢筋位置、 开槽长度的非线性优化模型 （见公式(6)） ； 并利用 lingo 程序 （见附录 4） 求得桌高 70cm， 直径 80cm 的折叠桌的最优设计加工参数为：平板尺寸 161.24cm80cm，钢筋位置在最 外侧木条距其端点 41.25cm 处，每根木条的开槽长度见下表： 针对问题三，基于问题一与问题二的建模思想，为尽可能满足客户对桌子形状的要 求，我们将桌面边缘线、平板材料边缘线设为任意函数 1( ) f y与 2( ) fy，首先，建立了求 解折叠桌最优设计加工参数的数学模型（见公式(7)- (10)） ；然后，设计了桌面边缘线 及平板材料边缘线分别为正弦曲线与半圆、 半圆与直线、 直线与半圆这 3 种创意折叠桌， 并运用所建模型，借助于 lingo 程序（见附录 5）求出了每款折叠桌的设计加工尺寸， 利用 Mathematica4.0 程序 （见附录 6-8） 分别绘制了每款折叠桌的 8 张动态变化过程模 拟示意图（见图 10-12） 。 模型的主要优点是给出了满足客户对桌面边缘线与平板材料边缘线任意要求的一 般模型，实用范围广；同时给出了模拟设计图形程序，具有较大的应用价值。 【关键字】 折叠桌，直纹曲面，优化模型，lingo 软件，模拟 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 长度 18.00 17.62 17.02 16.17 15.04 13.62 11.84 9.60 6.62 0 起点 30.00 30.00 30.00 30.00 30.00 30.00 30.00 30.00 30.00 30.00 终点 48.00 47.62 47.02 46.17 45.04 43.62 41.84 39.60 36.62 30.00 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 长度 39.37 39.03 38.45 37.63 36.57 35.26 33.69 31.86 编号 9 10 11 12 13 14 15 16 长度 29.74 27.32 24.58 21.48 17.96 13.92 9.06 0.00 - 2 - 一、问题的提出与重述一、问题的提出与重述 随着科技的高速发展，创新成为了我国出现频率比较高的词，也是我国企业强大需 要发展的一种理论。经市场调查，现在某公司已经可以生产一种可折叠的桌子，桌面呈 圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板。桌腿由若干根木条组成，分成两组， 每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并 且沿木条有空槽以保证滑动的自由度。桌子外形由直纹曲面 1构成，造型美观。为此， 需要建立数学模型讨论如下问题： 问题一问题一 给定长方形平板尺寸为 120cm50cm3cm，每根木条宽 2.5cm，连接桌腿 木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置， 折叠后桌子的高度为 53cm。 试建立模型 描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上求此折叠桌的设计加工参数，并给出桌脚边 缘线的数学描述。 问题二问题二 对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，为使折叠桌稳固 性好、加工方便、用材最少，如何确定平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等折叠桌的最优 设计加工参数？并就高 70cm，桌面直径 80cm 的折叠桌确定其最优设计加工参数。 问题三问题三 如果公司计划开发一种折叠桌设计软件， 并根据客户任意设定的折叠桌高 度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和 切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状，那么 请给出这一软件设计的数学模型，并根据所建立的模型设计几个创意平板折叠桌（给出 设计加工参数，画出至少 8 张动态变化过程的示意图） 。 二、基本假设二、基本假设 1. 假设木条与木条之间没有空隙，且不影响桌子的折叠过程； 2. 假设在整个计算过程中都以木条的中线为基准， 不考虑木条宽度在带来的误差； 3. 假设平板材料的厚度对折叠桌的性能没有影响。 三、主要变量的符号说明三、主要变量的符号说明 为了便于描述问题，本文将问题中涉及的主要变量用下列符号来表示(如下表 1 所 示)，其他变量将在文中用到时陆续说明。 表 1 主要变量符号说明一览表 符号 表示的意义 L 木板的长度 W 木板的宽度 R 圆形桌面的半径 h 折叠桌折叠稳定后桌子的最终高度 l 最外侧的木条钢筋固定点到桌面铰点的距离 i l 第i个木条的长度 w 木条的宽度 - 3 - 续表 i n 第i个木条开槽的长度 i 平板桌面的中心和第i根木条铰点连线与x轴正方向的夹角 两外侧木条与钢筋形成的平面与桌面的夹角 x 直纹曲面上点的横坐标 y 直纹曲面上点的纵坐标 z 直纹曲面上点的竖坐标 四、问题分析四、问题分析 桌子外形由直纹曲面构成， 每根木条上的链接桌面的绞点和钢筋固定点可以唯一求 出，把每根木条可以看成曲面的子午线，利用子午线法求出每根木条的动态变化过程方 程，再利用 Mathematica 软件模拟出直纹曲面。 就问题一而言，要定量描述折叠桌的动态变化过程，需要选择参照物建立空间直角 坐标系，通过空间曲线、曲面方程来加以描述。由于用来连接桌腿木条的钢筋不能弯曲 始终与形成的桌面平行，固定钢筋的最外侧的两根木条在折叠过程中又始终保持平行， 而两两平行的直线可以确定一个平面，在整个折叠过程中此平面与桌面形成的夹角不 断变化，且不同木条又是角的函数，因此建立关于、的参数方程即可描述直纹曲 面的动态变化过程。为此，首先通过选取木条与桌面的绞点和木条与钢筋的接触点这两 点的坐标建立空间直线的参数方程；然后利用 Mathematica 编程就可以画出桌脚边缘线 的在不同状态下的轨迹； 另外由于每根木条的开槽长度又取决于折叠桌子的起始位置和 终止位值钢筋所滑过的距离， 基于这些性质即可建立相应的设计加工参数求解的数学模 型，并利用空间几何知识和 Matlab 编程求得结果。 就问题二而言，桌面直径已知，由用材最少的约束条件可以得出长方体平板材料的 宽与桌面直径相等为 80 厘米。折叠桌的重心在一定范围内越低越稳定（也就是最外侧 木条与桌面的夹角值在一定范围内越小） ，但是由于桌子的高度一定，为了使材料最 省就需要值尽可能的大，两种情况综合考虑，我们对值取了临界值，即最外侧的两 根木条的着地端点的连线在xoy平面的投影恰好与桌面相切。再用模型一建模思想以 钢筋位置为变量，以开槽总长度最短为目标函数建立非线性优化模型，用 lingo 编程求 解得出钢筋的位置，继而借用模型一的求解方法求出开槽长度。 就问题三而言，在问题一和问题二建模思想的基础上，为了尽可能满足客户对桌子 形状的要求，可以将桌面边缘线、平板材料边缘线设为任意函数，建立求解折叠桌最优 设计加工参数的数学模型。然后根据桌面边缘线和平板材料边缘线为不同的函数，就可 以设计不同的创意折叠桌，并求出每款折叠桌的设计加工尺寸，绘制出相应的动态变化 过程模拟示意图。 五、模型五、模型的的建立与求解建立与求解 为叙述的方便起见，首先对几个名词的具体含义加以说明： 1 起始 起始状态状态指的是桌子处于平板时候的状态； 2 最终状态 最终状态指的是平板形成稳定桌子的状态； 3 铰 铰点点指的是木条与桌面的连接点； - 4 - 4 接点 接点指的是钢筋与木条接触时的交点。 1 1. . 问题一建问题一建模模和求解和求解 (1) (1) 建立直角坐标系建立直角坐标系 如图 1 所示以长方形的中心为原点，以平行长边方向为x轴方向，沿平行短边方向 为y轴，以桌面法线向上为z轴建立空间直角坐标系oxyz. 在满足假设的情况下，我 们把长方形平板的宽近似作为圆形桌面的直径为50 cm，根据问题一可知每根木条宽 w=2.5 cm，所以长方形平板在xoy平面第 1 象限的部分就可以分成n=10 份，即在桌子 折叠过程中总共有 20 根长短不同的木条。考虑到木板是中心对称图形，我们取木板在 xoy平面第 1 象限的部分区域进行分析即可。为此，对每根木条进行编号，最靠近x轴 的木条编号为 1，依次向y轴方向编号为 2,3，直到最外边木条编号为 10。 图 1 空间坐标系示意图 ( (2 2) ) 描述木条动态变化的模型与模拟描述木条动态变化的模型与模拟 如图 2 中所示，当最外侧桌腿木条绕桌面转动的角度为时，第i根木条与圆形桌 图 2 部分参数示意图 面的铰点M的坐标为(cossin0) ii RR,，而与连接木条的钢筋的接点N的坐标为 (sinsin2/coslRdl i， ，)，故得第i根木条所在空间直线MN的参数方程模型： x y z o x y M o M N - 5 - cos(coscos - /2) sin(1) sin ii i xRt Rld yR ztl 其中t为比例因子，d为第 10 号木条与同侧木条之间的距离（由于桌面为圆形，所有这 里取0d ） ， i 的取值范围为, 22 ，的取值范围为 10 0, h l ，当 10 1.08 h l 时， 桌子达到了最终状态。 根据公式（1） ，利用 Mathematica4.0 编程（见附录 1） ，绘制了以下 6 幅旋转角度 不同时折叠桌状态模拟示意图如下图 3 所示。 -50 0 50 -20 0 20 -1 -0.5 0 0.5 1 -50 0 50 -20 0 20 -50 -25 0 25 50 -20 0 20 -20 -10 0 -50 -25 0 25 50 -20 0 20 (a) 旋转弧度为 0 时的状态图 (b) 旋转弧度为 20 时的状态图 -50 -25 0 25 50 -20 0 20 -30 -20 -10 0 -50 -25 0 25 50 -20 0 20 -50 -25 0 25 50 -20 0 20 -40 -30 -20 -10 0 -50 -25 0 25 50 -20 0 20 (c) 旋转弧度为 10 时的状态图 (d) 旋转弧度为 5 时的状态图 -40 -20 0 20 40 -20 0 20 -40 -30 -20 -10 0 -40 -20 0 20 40 -20 0 20 -20 0 20 -20 0 20 -40 -20 0 -20 0 20 -20 0 20 (e) 旋转弧度为 4 时的状态图 (f ) 旋转弧度为 1.08 时的状态图 图 3 圆形折叠桌的不同状态模拟示意图 - 6 - 由上图 3 的(f )可知，所绘制的折叠桌子最终状态与实物图非常相近，说明所建模 型的正确性。 ( (3 3) ) 计算桌腿木条长度、桌脚边缘线的模型计算桌腿木条长度、桌脚边缘线的模型 当桌腿绕旋转时，由于第i根木条的铰点M和坐标原点的连线与x轴的夹角为 i ， 再根据长方形平板的长、圆形桌面的半径得到计算第i根木条长度模型为： cos1,2,.,10 2 ii L lRi （2） 由此求得桌腿木条的长度如下表 2 所示： 表 2 桌腿木条的长度一览表 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 长度 35.13 35.51 36.15 37.09 39.35 40.0 42.15 45 49.10 60 折叠桌在折叠过程中，旋转角度在0) ，2内变化，每根木条在不同的下所对应 的空间直线方程来描述不同；由圆形桌面的半径R、长方形平板的长L、钢筋的位置参 数意见两个夹角 i 、可以确定每根木条所在的具体位置。 当 10 1.08 h l 时，折叠桌处于最终状态，此时，对于一个确定的角，相应木条 的直线方程也被确定，所有对应直线集合构成直纹曲面，即为最终状态时直纹曲面方 程。由此可建立桌脚木条端点边缘线的数学模型为： 222 cos(coscos) 2 sin sin (cos)(cos ) 2 0 d xRt Rl yR ztl L xRzR z （3） 利用 Mathematica4.0 程序（见附录 3） ，绘制 4 、1.08时两种状态的桌脚边 缘线如下图 4 所示： -50 -25 0 25 50 -40 -20 0 20 40 -50 -40 -30 -20 -10 0 -50 -25 0 25 50 -40 -20 0 20 40 -50 -25 0 25 50 -40 -20 0 20 40 -50 -40 -30 -20 -10 0 -50 -25 0 25 50 -40 -20 0 20 40 (a) 旋转弧度为 4 时的状态图 (b) 旋转弧度为 1.08 时的状态图 图 4 圆形折叠桌的桌脚边缘线 - 7 - ( (4 4) ) 计算桌腿木条计算桌腿木条开槽位置开槽位置的的数学数学模型模型 如图下 5 所示，OA 为最外侧的木条， EA 为 OA 紧邻的内侧木条， C 点为桌子在起始时钢筋所在位置， D 点为桌子在终止时钢筋所在位置，O、E 点与桌面连 接的铰点，F、G 点分别为木条 EA、OA 的终止时的另 一端点。可以看出，当木条 OA 转动角度达到最终 平衡位置时，C 点的运动轨迹为 CD 弧。而对于木条 EA，在绕 E 点旋转时，钢筋在木条 EA 内从 C 点向外 侧滑动至 D 处。以 E 为圆心，以 ED 为半径作圆交 EA 于 B 点，长度 BC 即为所求开槽的长度。于是建立求 解桌腿木条开槽位置的数学模型： 图 5 木条旋转平面示意图 22 22 4 () cossin (cos)() 44 iii i ii L LLS LRwi LL SR （4） 其中 i L为 i M点到坐标原点的 x 轴方向上的水平距离， i S为第 i 个木条上钢筋所在的位 置到 i M的距离， i L即为槽的长度。 利用 Matlab 程序（附录 2）计算，求得每根木条的开槽长度如表 3 所示： 表 3 桌腿木条开槽长度一览表（单位：厘米） 根据表 3 中数据，利用 AutoCAD2007 画出开槽的位置，如下图 6 所示： 图 6 木条的开槽长度 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 长度 18.00 17.62 17.02 16.17 15.04 13.62 11.84 9.60 6.62 0 起点 30.00 30.00 30.00 30.00 30.00 30.00 30.00 30.00 30.00 30.00 终点 48.00 47.62 47.02 46.17 45.04 43.62 41.84 39.60 36.62 30.00 - 8 - 2 2. . 问题问题二二建模和求解建模和求解 在高度与圆形直径一定的前提下，桌子与地面接触的四个点所围成的面积越大，稳 固性越好即所需最外侧木条与桌面夹角值越小；桌子的高度一定，为了使材料最省就 需要值尽可能的大，两种情况综合考虑，我们对值取了临界值，即最外侧的两根木 条的着地端点的连线在xoy平面的投影恰好与桌面相切。 如图 7 所示的示意图，线段 HI 为圆形桌面的半径，等于 40cm，IJ 为桌子的高度， 等于 70cm，IHJ等于值， HJ 为最外侧木条宽度的中线。 按照每根木条的宽度为 2.5cm 计算，每侧共有 32 根木条组成，并记最外侧木条的长度为 16 l。 图 7 桌子示意图 ( (1 1) ) 确定长方形平板尺寸的数学模型确定长方形平板尺寸的数学模型 利用勾股定理可以求得中线距离即为最外侧的木条长度为 22 i lHIIJ 所需长方形平板尺寸长的近似计算公式为 2 i Ll （5） ( (2 2) ) 钢筋位置、开槽长度的非线性优化模型钢筋位置、开槽长度的非线性优化模型 采用木条开槽总长度的相对大小来描述加工的方便程度， 从而求得木条开槽的总长 度为： 1616 11 22 22 () () ( coscos)( sin) iii ii i ii LLSl LRwi SlRl 要满足加工过程中最方便，可以通过求木条开槽总长度的最小值来实现，即以开槽 总长度的最小值为目标函数，即 - 9 - 16 1 min i i L 木条在绕绞点旋转时，钢筋在每个木条内滑动的过程中，要保证钢筋能在每根木条 上滑动不脱离，应满足的约束条件为 2 ii L RLS 折叠桌处于起始位置时，钢筋要与圆形桌面相离满足的约束条件为 lR 由此可建立如下的非线性目标优化模型如下 16 1 min i i L 1616 11 22 22 2 () . . () ( coscos)( sin) 1,2,3,16 ii iii ii i ii L RLS lR LLSl st LRwi SlRl i 利用 lingo11.0 程序（见附录 4） ，对于桌高为 70cm,桌面直径为 80cm 的折叠桌的 最优设计加工参数为： 长方形平板尺寸为 161.24cm80cm； 钢筋位置在最外侧木条距其铰点 41.25cm 处； 每根木条的开槽长度见下表 4 所示： 表 4 每根木条的开槽长度（单位：cm） 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 长度 39.37 39.03 38.45 37.63 36.57 35.26 33.69 31.86 起点 41.25 41.25 41.25 41.25 41.25 41.25 41.25 41.25 终点 80.62 80.28 79.70 78.88 77.82 76.51 74.94 73.11 编号 9 10 11 12 13 14 15 16 长度 29.74 27.32 24.58 21.48 17.96 13.92 9.06 0.00 起点 41.25 41.25 41.25 41.25 41.25 41.25 41.25 41.25 终点 70.99 68.57 65.83 62.73 59.21 55.17 50.31 41.25 （6） - 10 - 3 3. . 问题问题三三建模和求解建模和求解 对于问题一与问题二，所建立的数学模型都是针对桌面形状、桌脚边缘线分别为圆 形、直线(=0)时的特定模型。而问题三需要针对任意桌面边缘线、平板材料边缘线建 立相应的数学模型，进而求出折叠桌最优设计加工参数。为此，借助问题一和问题二的 建模思想，将模型进一步推广，把桌面边缘线、平板材料边缘线设为任意函数，建立求 解折叠桌最优设计加工参数的数学模型。 ( (1 1) ) 确定折叠桌最优设计加工参数的数学模型确定折叠桌最优设计加工参数的数学模型 如下图 8 所示，对平板建立直角坐标系，z轴是垂直纸面向里，桌面边缘线的函数 表达式为 1 f，平板材料的形状函数为 2 f，最外侧木条的绞点与关于y轴对应点的距离为 d，设i为沿y轴正方向进行编号的第i根木条，则 i y表示第i根木条的纵坐标，第i根木 条的绞点坐标为 1( ),0 ii fyy，第i根木条的接点坐标为cos/ 2, sin i ldy l 图 8 直角坐标系与参数示意图 则第i根木条的空间直线参数方程模型为 11 ()(cos() 2 1,2,3,4,. sin ii i d xf ytlf y yyin zt l 对所有满足上述空间直线方程的木条组成一个直纹曲面， 即上述表达式也可以看成 是对直纹曲面的函数描述。桌脚边缘线上的每个点可以看成是以绞点为圆心，以木条长 度（即 1 f与 2 f）为半径画出的圆和直纹曲面的交点，相应圆的方程为 22 2 121 ()()() iii xfyzfyfy 把, x z带入圆方程可以得到如下的表达式 2 22 2 121 cos()sin()() 2 iii d tlf ytlfyf y 解出参数 2 21 22 1 ()() / 2cos()sin ii i fyfy t dlfyl . 当折叠角度为时，桌腿边缘线的空间状态曲线的数学模型为： （7） - 11 - 11 2 21 22 1 ()(cos() 2 sin ()() /2cos()sin ii i ii i d xf ytlf y yy ztl fyf y t dlf yl 在计算每个木条的开槽长度时相应的变量见下图 9 与图 10。 图 9 空间立体示意图 图 10 平板示意图 其中图 9 中的直线 bc l为最外侧的木条，c点是钢筋的固定的位置，直线 ac l为任意一根木 条所处的位置，其长度为 2 2 1 ( sin )cos() 2 ii d Sllf y （9） 图 10 中左边第二条曲线是开槽的终点位置，第三条直线是开槽的起始位置， i S表示的 是开槽的终点位置与桌面边缘线的距离。 每根木条的开槽长度为 1( ) iii LSfyl (10) ( (2 2) ) 三种特定创意折叠桌的设计模拟三种特定创意折叠桌的设计模拟 下面针对桌面边缘线 1( ) f y及平板材料边缘线 2( ) fy分别为正弦曲线与半圆、半圆与 直线、直线与半圆这 3 种情形，运用公式(7)-(9)所建立的模型，借助于计算机软件编 程求出了每款折叠桌的设计加工尺寸，并给出了动态变化过程模拟示意图。 边缘线边缘线 1( ) f y及平板材料边缘线及平板材料边缘线 2( ) fy分别为正弦曲线与半圆的情形分别为正弦曲线与半圆的情形 利用 lingo11.0 程序（见附录 5）设计折叠桌高为 50cm，桌面边缘线为正弦曲线 ) 10 (sin20yx 、桌脚边缘线为平行于y轴直线时的折叠桌的设计加工参数如下： (a) 最终状态夹角 50 =arctan1.107 20 ； (b) 钢筋位置在最外侧木条距其铰点为 39.07cm； （8） - 12 - (c) 每根木条开槽长度如下表 5 所示 表 5 每根木条的开槽长度（单位：cm） 利用 Mathematica4.0 程序 （见附录 6） 所绘制的本款折叠桌 8 张动态变化过程模拟 示意图如下图 11 所示。 (a) 旋转弧度为 0 时的状态图 (b) 旋转弧度为 40 时的状态图 (c) 旋转弧度为 30 时的状态图 (d) 旋转弧度为 20 时的状态图 (e) 旋转弧度为 10 时的状态图 (f ) 旋转弧度为 5 时的状态图 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 长度 12.08 14.93 3.83 5.27 7.83 5.27 3.83 14.93 12.08 0 起点 39.07 39.07 39.07 33.80 31.24 33.80 39.07 39.07 39.07 39.07 终点 51.15 54.00 42.90 39.07 39.07 39.07 42.90 54.00 51.15 39.07 - 13 - (g) 旋转弧度为 4 时的状态图 (h) 旋转弧度为 3 时的状态图 图 11 桌面边缘线为正弦曲线、桌角边缘线为半圆时折叠桌的动态演示图 边缘线边缘线 1( ) f y及平板材料边缘线及平板材料边缘线 2( ) fy分别为分别为半圆半圆与与直线直线的情形的情形 设计高为 70cm，d=40cm，桌面边缘线为半圆、桌脚边缘线为平行于y轴直线时的折 叠桌， 由于其他条件不变， 桌面去除中间长方形部分两半圆合并成圆， 等效于圆形桌面， 因此，仍然可用圆形桌面的程序（见附录 4）求解，得设计加工参数如下： (a) 最终状态夹角 70 =arctan1.05 40 ； (b) 钢筋位置在最外侧木条距其铰点为 41.25cm； (c) 每根木条开槽长度如下表 6 所示 表 6 每根木条的开槽长度（单位：cm） 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 长度 39.37 39.03 38.45 37.63 36.57 35.26 33.69 31.86 起点 61.25 61.25 61.25 61.25 61.25 61.25 61.25 61.25 终点 100.62 100.28 99.70 98.88 97.82 96.51 94.94 93.11 编号 9 10 11 12 13 14 15 16 长度 29.74 27.32 24.58 21.48 17.96 13.92 9.06 0.00 起点 61.25 61.25 61.25 61.25 61.25 61.25 61.25 61.25 终点 90.99 88.57 85.83 82.73 79.21 75.17 70.31 61.25 利用 Mathematica4.0 程序 （见附录 7） 所绘制的本款折叠桌 8 张动态变化过程模拟 示意图如下图 11 所示。 - 14 - (a) 旋转弧度为 0 时的状态图 (b) 旋转弧度为 40 时的状态图 (c) 旋转弧度为 30 时的状态图 (d) 旋转弧度为 20 时的状态图 (e) 旋转弧度为 10 时的状态图 (f ) 旋转弧度为 5 时的状态图 (g) 旋转弧度为 4 时的状态图 (h) 旋转弧度为 3 时的状态图 图 12 桌面中间位矩形、两端为半圆而桌角边缘线为圆时折叠桌的动态演示图 - 15 - 3 3 边缘线边缘线 1( ) f y及平板材料边缘线及平板材料边缘线 2( ) fy分别为分别为直线直线与与半圆半圆的情形的情形 设计一种桌面高度可调、桌面边缘线为直线、桌脚边缘线为半圆的简易折叠桌，显 然其每个桌脚木条的开槽长度为 0，钢筋位置在也不确定，可在桌腿的某一部分变动。 这里设计了折叠桌高为 50cm， 桌面边缘线为半圆直径等于长方形平板宽的折叠桌的设计 加工参数如下： (a) 最终状态夹角可调； (b) 钢筋位置在最外侧木条距其铰点为一个适当的区间； (c) 每根木条开槽长度为 0，是一个洞 利用 Mathematica4.0 程序 （见附录 8） 所绘制的本款折叠桌 8 张动态变化过程模拟 示意图如下图 13 所示。 (a) 旋转弧度为 0 时的状态图 (b) 旋转弧度为 40 时的状态图 (c) 旋转弧度为 30 时的状态图 (d) 旋转弧度为 20 时的状态图 (e) 旋转弧度为 10 时的状态图 (f ) 旋转弧度为 5 时的状态图 - 16 - (g) 旋转弧度为 4 时的状态图 (h) 旋转弧度为 3 时的状态图 图 13 桌面边缘线为直线、桌角边缘线为半圆时折叠桌的动态演示图 以上模拟结果表明，所建立的数学模型准确可靠，具有较大的应用价值。 六、模型评价与推广六、模型评价与推广 1. 1. 模型的优点模型的优点 (1) 在解决问题一和问题二的过程中引入两个角参数 i 和，所以在分析折叠桌的 动态变化过程，由对直纹曲面复杂的描述转变为对某一直线的空间状态的描述，将复杂 问题简单化，增加了模型的实用性和可靠性； (2) 所建立的满足客户对桌面边缘线与平板材料边缘线任意要求的设计加工模型 具有一般性，实用范围广，并编写了模拟不同类型折叠桌示意图的 Mathematica 程序， 具有较大的应用价值。 2. 2. 模型的不足：模型的不足： 所建立的优化模型考虑了稳固性好，便与加工和用材少这三个方面的因素，还有诸 如承重能力、平板厚度等因素没有考虑。 3. 3. 模型的改进模型的改进: : 在所建立数学模型与编写软件程序的基础上， 还可以进一步考虑桌腿木条折叠交叉 或其它桌面、桌脚边缘线形状的情形，设计出更多的创意折叠桌。 参考文献参考文献 1 吕林根，许子道.解析几何M.北京：高等教育出版社，2011. 2 王正林，刘明.精通 MATLABM.北京:电子工业出版社,2011. 3 谢金星， 薛毅.优化建模与 LINDO/LIMGO 软件M.北京： 清华大学出版社,2007. - 17 - 附录附录 1 1 折叠桌状态模拟示意图程序折叠桌状态模拟示意图程序 L = 120; ! 平板的长; W = 50; ! 平板的宽; R = W/2; ! 圆形桌面的半径; b = -1.08; ! 折叠的角度; n = 20; ! 单侧木条的个数; l = L/2; t = (l - R*Cosa)/SqrtR2*Cosa2 - R*l*Cosa*Cosb + l2/4; x = R*Cosa + t*(l/2)*Cosb - R*Cosa); y = R*Sina; z = (l/2)*t*Sinb; g1 = ParametricPlot3Dx, y, z, a, -Pi/2, Pi/2, AspectRatio - 1, BoxRatios - 1, 1, 1, PlotPoints - 16, DisplayFunction - Identity; g2 = ParametricPlot3D-x, y, z, a, -Pi/2, Pi/2, AspectRatio - 1, BoxRatios - 1, 1, 1, PlotPoints - 16, DisplayFunction - Identity; g3 = ParametricPlot3DR*Cosa, R*Sina, 0, a, 0, 2*Pi, AspectRatio - 1, DisplayFunction - Identity; g4 = ParametricPlot3D(l/2)*Cosb, y, (l/2)*Sinb, y, -R, R, AspectRatio - 1, DisplayFunction - Identity; g5 = ParametricPlot3D-(l/2)*Cosb, y, (l/2)*Sinb, y, -R, R, AspectRatio - 1, DisplayFunction - Identity; at = (l - R*Cosa)/SqrtR2*Cosa2 - R*l*Cosa*Cosb + l2/4; x1 = R*Cosa + s*(l/2)*Cosb - R*Cosa); y1 = R*Sina; z1 = (l/2)*s*Sinb; a = -Pi/2; gh1 = ParametricPlot3Dx1, y1, z1, s, 0, at, AspectRatio - 1, AxesLabel - “x“, “y“, “z“, DisplayFunction - Identity; gh01 = ParametricPlot3D-x1, y1, z1, s, 0, at, AspectRatio - 1, AxesLabel - “x“, “y“, “z“, DisplayFunction - Identity; Fork = 1, k 1, AxesLabel - “x“, “y“, “z“, DisplayFunction - Identity; gh0k + 1 =Showgh0k, ParametricPlot3D-x1, y1, z1, s, 0, at, AspectRatio - 1, AxesLabel - “x“, “y“, “z“, DisplayFunction - Identity; k+; Showg1, g2, g3, g4, g5, ghn + 2, gh0n + 2, AspectRatio - 1, DisplayFunction - $DisplayFunction - 18 - 附录附录 2 2 桌腿开槽长度桌腿开槽长度 Matlab 程序程序 for i=1:10 h=53;L=120;R=25; b=asin(2*h/L);ai=asin(2.5*i/R); Li=sqrt(R2-(2.5*i).2); Si=sqrt(R*cos(ai)-0.5*L*cos(b).2+(0.5*L*sin(b)2); D(i)=Li+Si-0.5*L; D(i) end 附录附录 3 3 桌脚边缘线的状态曲线桌脚边缘线的状态曲线 Mathematica 程序程序 L = 120; ! 平板的长; W = 50; ! 平板的宽; R = W/2; ! 圆形桌面的半径; b = -1.08; ! 折叠的角度; n = 20; ! 单侧木条的个数; l = L/2; t = (l - R*Cosa)/SqrtR2*Cosa2 - R*l*Cosa*Cosb + l2/4; x = R*Cosa + t*(l/2)*Cosb - R*Cosa); y = R*Sina; z = (l/2)*t*Sinb; g1 = ParametricPlot3Dx, y, z, a, -Pi/2, Pi/2, AspectRatio - 1, BoxRatios - 1, 1, 1, PlotPoints - 16, DisplayFunction - Identity; g2 = ParametricPlot3D-x, y, z, a, -Pi/2, Pi/2, AspectRatio - 1, BoxRatios - 1, 1, 1, PlotPoints - 16, DisplayFunction - Identity; Showg1, g2, AspectRatio - 1, DisplayFunction - $DisplayFunction, PlotRange - -60, 60, -40, 40, -50, 0 附录附录 4 4：圆形桌面钢筋位置确定：圆形桌面钢筋位置确定的的 Lingo 程序程序 model: sets: ZHUOTUI/116/:a,Ld,L,S; !a为平板桌面的中心位置和木条的铰点的连线与x轴正向的夹角，Ld为开槽长度，L 为铰点到坐标原点的x轴方向上的水平距离 ，S为第i个木条上钢筋所在的位置到铰 点的距离; endsets min=sum(ZHUOTUI(i):Ld(i); data: b=1.05;w=2.5;R=40; !b为两外侧木条与钢筋形成的平面与桌面的夹角; enddata cR; !c为最外侧的木条钢筋固定点到桌面铰点的距离; c 1, 1, 1, PlotPoints - 16, DisplayFunction - Identity; - 20 - g2 = ParametricPlot3D-x, y, z, y0, -W/2, W/2, AspectRatio - 1, BoxRatios - 1, 1, 1, PlotPoints - 16, DisplayFunction - Identity; g3 = ParametricPlot3Dfmy0, y0, 0, y0, -W/2, W/2, AspectRatio - 1, BoxRatios - 1, 1, 1, DisplayFunction - Identity; g4 = ParametricPlot3D-fmy0, y0, 0, y0, -W/2, W/2, AspectRatio - 1, BoxRatios - 1, 1, 1, DisplayFunction - Identity; g5 = ParametricPlot3Ds, W/2, 0, s, -d, d, AspectRatio - 1, BoxRatios - 1, 1, 1, DisplayFunction - Identity; g6 = ParametricPlot3Ds, -W/2, 0, s, -d, d, AspectRatio - 1, BoxRatios - 1, 1, 1, DisplayFunction - Identity; g7 = ParametricPlot3Dl*Cosb + d, y, l*Sinb, y, -R, R, AspectRatio - 1, DisplayFunction - Identity; g8 = ParametricPlot3D-l*Cosb - d, y, l*Sinb, y, -R, R, AspectRatio - 1, DisplayFunction - Identity; s0 = -W/2; at = Sqrt(fts0 - fms0)2/(d + l*Cosb - fms0)2 + l2*Sinb2); x1 = fms0 + s*(d + l*Cosb - fms0); y1 = s0; z1 = l*s*Sinb; gh1 = ParametricPlot3Dx1, y1, z1, s, 0, at, AspectRatio - 1, AxesLabel - “x“, “y“, “z“, DisplayFunction - Identity; gh01 = ParametricPlot3D-x1, y1, z1, s, 0, a