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蕴 秀 斋 蕴 秀 斋 上 善 若 水 上 善 若 水 2014 年高中数学联赛二试解答 2014 年高中数学联赛二试解答 一、实数, ,a b c满足1abc ，0abc 。求证： 1 24 abc abbcca。 证明：不妨设abc，由于0 2 abc ，故我们可以假设 1 4 abbcca。 由 于 1 3 a ， 因 此 2 1()11 434124 abca abbcca ， 等 号 仅 当 1 3 abc时成立。 也有 111 ()(1) 444 abbccaa bcbcaabcbc，等号仅当 1 2 a 时成立，因此、等号不能同时成立。 、相乘可得 2 1 44 abc abbcca ，因此 1 42 abc abbcca。 综上所述，结论成立。 蕴 秀 斋 蕴 秀 斋 上 善 若 水 上 善 若 水 二、如图，在锐角ABC中60BAC，过,B C作ABC外接圆的切线,BD CE，满足 BDCEBC。直线DE与,AB AC延长线交于,F G，,CF BD交于M，,CE BG交 于N，求证：AMAN。 证 明 ： 由 已 知BDCE， 并 且 DBCBACECB ，故 BCED是等腰梯形，作BAC的平 分线与BC交于X。 由于DFBABC ， FDBDBCBAC ， 所 以 DFBABC，因此 BXABDFDFFM XCACDBBCMC 所以XMBF， 同理XNCG， 故 XCAC XMBFBF BCABAC ， XBAB XNCGCG BCABAC ， 因 此1 XMAC BF XNAB CG ， 所 以XMXN， 由 于 1 180 2 AXMBACAXN ，因此AXMAXN ，所以AMAN。 X M N GF DE A BC 蕴 秀 斋 蕴 秀 斋 上 善 若 水 上 善 若 水 三、设1,2,3,.,100S ，求最大的整数k，使得S有k个互不相同的非空子集，具有性 质：对这k个子集中任意两个不同的子集，若它们的交非空，则它们交集中最小元素与这两 个子集的最大元素均不相同。 解：若选中的集合中没有 1，则对于任意整数2100r，以r为最大元素的集合 中不能有两个形如 rB和 rC，其中B是C在1,2,.,1r 中的补集，因此以r为 最大元素的集合最多有 2 2r个，因此 100 299 2 221 r r k 。 若选中的集合中有 1，则其它集合都不能包含1，因此对于任意整数3100r， 以r为最大元素的集合中不能有两个形如 rB和 rC， 其中B是C在2,3,.,1r 中的补集，因此以r为最大元素的集合最多有 3 2r个，因此 100 398 3 1 1221 r r k 。 因此，总是有 99 21k。 另一方面，可以取所有形如 1A这样的集合，其中A是2,3,.,100的非空子集， 这样的集合共有 99 21个，其中任意两个集合的交集都包含1，所以满足要求。 综上所述，k的最大值为 99 21。 蕴 秀 斋 蕴 秀 斋 上 善 若 水 上 善 若 水 四、整数 122014 ,.,x xx除以2014的余数互不相同，整数 122014 ,.,y yy除以2014的余数也 互 不 相 同 ， 证 明 ： 可 以 将 122014 ,.,y yy重 新 排 列 为 122014 ,.,z zz， 使 得 112220142014 ,.,xz xzxz除以4028的余数互不相同。 证明：由于交换同组数的位置对问题不产生影响，因此可以假设2014 ii xki， 2014 ii yli，其中12014i 。 对于11007i ， +1007+1007 20141007 ii xki， 1007+1007 20141007 ii yli 。 若 ii kl与 +1007+1007ii kl同奇偶，则 10071007(mod4028)iiii xyxy ，我们取 10071007 , iiii zy zy ； 若 ii kl与 +1007+1007ii kl不同奇偶，则 +1007+1007iiii klkl为奇数，因此 +1007ii kl与 +1007ii kl不同奇偶，由于 10071007 2014(21007) iiii xykli ， 10071007 2014(21007) iiii xykli ，所以 10071007 (mod4028) iiii xyxy ， 我们取 10071007 , iiii zyzy 。 根据以上取法可知 10071007(mod4028)iiii xzxz ，并且 +1007+1007 2 (mod1007) iiii xzxzi。 所以对于11007ij ，都有 1007100710071007 ,(mod1007),(mod1007) iiiijjjj xz xzxz