一问题的提出如图1,有一条河,两个工厂P和Q位于河岸L.ppt_第1页
一问题的提出如图1,有一条河,两个工厂P和Q位于河岸L.ppt_第2页
一问题的提出如图1,有一条河,两个工厂P和Q位于河岸L.ppt_第3页
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二、提出方案,水泵站R建立在河边（即L上），则问题转化为在L上找一点R，使|RP|RQ|为最小。,方案一：,水泵站R建立在河边（即L上），则问题转化为在L上找一点R，使|RP|RQ|为最小。,方案一：,水泵站R不建在河边，则问题转化为要在L的P、Q一侧找点R，使R到P、Q及L的距离之和最小。,方案二：,三、论证方案,方案一：,方案二：,、对于方案一：联想平几知识，用光学性质建模：,作点Q关于直线L的对 称点Q ，,连 P Q 交 L于R，,则R为所求（如图）,这样所需直线输水管的总长度为：,S(R )| PQ | 22.72千米。,三、论证方案,方案一：,方案二：,2、对于方案二,这里建立的是关于x、y的二元函数模型，但求解困难。,y,x,O,思路一：,图,建立如图的 坐标系，则易得P（0，10）、 Q（ 8 ，8）设点R(x , y ) ， 则S(R)|PR| + |RQ| + |RM| 。,用判别式法可得 S(R)21或S(R) 3. 因为S(R)0 故S(R)的最小值是21，代入(1)中得y 5，于是Q( , 2 ) PQ的直线方程为y ，把y 5代入得x5， 故|RP|= =10 (km), | RQ|= = 6(km) , R到河岸的距离为5(km)。,若把|PR| |RQ|看作定值，则R在以P、Q为焦点的椭圆上，故这需在椭圆找点R，作R到L的距离最小，因此可考虑运用椭圆的定义和直线与椭圆的关系建模。,思路三：,L,R,椭圆方程为： (3) 联立(2) (3)，化简得 (4) 根据L为椭圆的切线，得0解得：n2 4 9（a248）。由题意n 0 ， 则n7 ，所以直线L 为：x4 y7 0.,所以L与L的距离为： 故输水管的总长度：S(R) 2a 9 (5) 用法，可得S(R)21或S(R) 3，由于S(R)0， 则S(R)21，即S(R)的最小值为21, 代入(5), 解得a8,从而d5,进一步可求出|PR|10, |PQ|6。,思路四：,如图6 ， AB/L ， RH L， PRAQRB 30. 设QB=x 则 PAx2，AR (x2)， RB x 由 AB8 ， 得 (x2) x 8 。 所以 x3 ，从而 RP10, PQ6 , RH5 .,P,Q,R,A,B,C,D,H,图6,l,联想经典的数学问题，运用费尔马点建模,四、论证结论,即选这样的点 R ，使 R 到河岸 L 的距离为5千米，到工厂 P 的距离为10千米，到工厂 Q 的距离为6千米，这时所需总水管的长度为21千米。,、若将直线 L缩成一个点（如向水库取水），则问题就是在三角形内求一点R，使R到三角形三顶点的距离之和为最小（此点即为费尔马点）。,五、问题引申,、数学建模就是把实际问题数学化。数学模型就是通过抽象和简化，使用数学语言、数学符号对实际现象给予推理、论证，从而得出实际问题结论。 、建模的基本程序是：,实际问题,数学语言,数学符号,实际问题的结论,数学问
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