2018年全国高中数学联合竞赛一试试题及参考答案.pdf

2018 年年全国高中数学全国高中数学联合竞赛一联合竞赛一试试（A 卷）卷） 参考答案及评分标准参考答案及评分标准 说明：说明： 1. . 评阅试卷时，请依据本评分标准评阅试卷时，请依据本评分标准. . 填空题只设填空题只设 8 分和分和 0 分两档；其他各题的分两档；其他各题的 评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次. . 2. . 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第 9 小题小题 4 分为一个档次，第分为一个档次，第 10、 11 小题小题 5 分为一个档次，不得增加其他中间档次分为一个档次，不得增加其他中间档次 一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分 1. 设集合1, 2,3,99 ,2,2ABx xACxxA， 则BC的元 素个数为 答案答案：24 解解： 由条件知， 1399 2, 4, 6,198,1, 2,2, 4, 6, 48 222 BC ， 故BC的元素个数为24 2. 设点 P 到平面的距离为3 ，点Q在平面上，使得直线PQ与所成 角不小于30且不大于60， 则这样的点Q所构成的区域的面积为 答案答案：8 解解： 设点P 在平面上的射影为O 由条件知， 3 tan,3 3 OP OQP OQ ， 即1, 3OQ ，故所求的区域面积为 22 318 3. 将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为, , , , ,a b c d e f，则abcdef+是偶数的 概率为 答案答案： 9 10 解解：先考虑abcdef+为奇数的情况，此时,abc def一奇一偶，若abc为奇数， 则, ,a b c为1,3,5的排列，进而, ,d e f为2,4,6的排列，这样有3!3!36=种情况， 由对称性可知，使abcdef+为奇数的情况数为36272=种从而abcdef+为偶 数的概率为 72729 11 6!72010 = = 4. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点 分别是 1 F、 2 F，椭圆C的弦ST与UV分别平行于x轴与y轴，且相交于点P已 知线段,PU PS PV PT的长分别为1, 2, 3, 6，则 12 PFF的面积为 答案答案：15 解解：由对称性，不妨设(,) PP P xy在第一象限，则由条件知 11 2,1 22 PP xPTPSyPVPU， 1 即(2,1)P进而由1,2 P xPUPS得(2, 2),(4,1)US，代入椭圆C的方程知 2222 1111 44161 abab ，解得 22 20,5ab 从而 1 2 22 12 1 15 2 PF FPP SFFyaby 5. 设( )f x是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间0,1上严格递减， 且满足( )1,(2 )2ff，则不等式组 12, 1( )2 x f x 的解集为 答案答案：2, 82 解解：由( )f x为偶函数及在0,1上严格递减知，( )f x在 1, 0上严格递增， 再结合( )f x以2为周期可知，1, 2是( )f x的严格递增区间 注意到 (2)( )1,(82 )( 2 )(2 )2fffff， 所以 1( )2(2)( )(82 )f xff xf， 而12822 ，故原不等式组成立当且仅当2, 82 x 6. 设复数z满足1z ，使得关于x的方程 2 220zxzx有实根，则这样 的复数z的和为 答案答案： 3 2 解解：设 22 i ( ,1)Rzaba bab 将原方程改为 2 (i)2(i)20ab xab x，分离实部与虚部后等价于 2 220axax， 2 20bxbx 若0b，则 2 1a ，但当1a 时，无实数解，从而1a ，此时存在实 数13x 满足、，故1z 满足条件 若0b，则由知0, 2x，但显然0x不满足，故只能是2x，代 入解得 1 4 a ，进而 15 4 b，相应有 115i 4 z 综上，满足条件的所有复数z之和为 115i115i3 1 442 7. 设O为ABC的外心， 若2AOABAC ， 则sinBAC的值为 答案答案： 10 4 解解：不失一般性，设ABC的外接圆半径2R 由条件知， 2ACAOABBO ， 故 1 1 2 ACBO 2 取AC的中点M，则OMAC，结合知OMBO，且B与A位于直线 OM的同侧于是 1 coscos(90)sin 4 MC BOCMOCMOC OC 在BOC中，由余弦定理得 22 2cos10BCOBOCOB OCBOC， 进而在ABC中，由正弦定理得 10 sin 24 BC BAC R 8. 设整数数列 1210 ,a aa满足 101285 3 ,2aa aaa，且 1 1, 2,1, 2, 9 iii aaai ， 则这样的数列的个数为 答案答案：80 解解：设 1 1, 2(1, 2,9) iii baai ，则有 1101129 2aaabbb， 2345285567 bbbaaaabbb 用t表示 234 ,b b b 中值为2的项数由知，t也是 567 ,b b b 中值为2的项数， 其中0,1, 2,3t 因此 237 ,b bb的取法数为 0212223 2 3333 (C )(C )(C )(C )20 取定 237 ,b bb后，任意指定 89 ,b b 的值，有 2 24种方式 最后由知，应取 1 1, 2b 使得 129 bbb为偶数，这样的 1 b的取法是 唯一的，并且确定了整数 1 a 的值，进而数列 129 ,b bb唯一对应一个满足条件的 数列 1210 ,a aa 综上可知，满足条件的数列的个数为20480 二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤 9.（本题满分本题满分 16 分分）已知定义在R上的函数( )f x为 3 log1,09, ( ) 4,9. xx f x xx 设, ,a b c是三个互不相同的实数，满足( )( )( )f af bf c，求abc的取值范围 解解： 不妨假设abc 由于( )f x在(0, 3上严格递减， 在3, 9上严格递增， 在9,)上严格递减，且(3)0,(9)1ff，故结合图像可知 (0, 3)a，(3, 9)b，(9,)c， 并且( )( )( )(0,1)f af bf c 4 分 由( )( )f af b得 33 1loglog1ab， 即 33 loglog2ab，因此 2 39ab于是9abcc 8 分 又 3 0( )41f cc ， 12 分 故(9,16)c进而9(81,144)abcc 所以，abc的取值范围是(81, 144) 16 分 注注：对任意的(81, 144)r，取 0 9 r c =，则 0 (9,16)c ，从而 0 ()(0,1)f c过 点 00 (,()cf c作平行于x轴的直线l，则l与( )f x的图像另有两个交点( ,( )a f a， ( ,( )b f b（其中(0, 3),(3, 9)ab） ，满足( )( )( )f af bf c，并且9ab，从 而abcr= 10.（本题满分本题满分 20 分分）已知实数列 123 ,aaa 满足：对任意正整数n，有 (2)1 nnn aSa，其中 n S表示数列的前n项和证明： (1) 对任意正整数n，有2 n an； (2) 对任意正整数n，有 1 1 nn a a 证明证明：(1) 约定 0 0S 由条件知，对任意正整数n，有 22 111 1(2)()() nnnnnnnnn aSaSSSSSS ， 从而 22 0n SnSn，即 n Sn（当0n时亦成立） 5 分 显然， 1 12 nnn aSSnnn 10 分 (2) 仅需考虑 1 , nn aa 同号的情况不失一般性，可设 1 , nn aa 均为正（否则 将数列各项同时变为相反数，仍满足条件） ，则 11nnn SSSn ，故必有 1 ,1 nn Sn Sn ， 此时 1 1,1 nn annann ， 从而 1 (1)(1)(1)(1)1 nn a annnnnnnn 20 分 11.（本题满分本题满分 20 分分）在平面直角坐标系xOy中，设AB是抛物线 2 4yx的 过点(1, 0)F的弦，AOB的外接圆交抛物线于点P（不同于点,O A B） 若PF平 分APB，求PF的所有可能值 解解：设 222 123 123 , 444 yyy AyByPy ，由条件知 123 ,yyy 两两不等且非零 设直线AB的方程为1xty，与抛物线方程联立可得 2 440yty ，故 12 4y y 注意到AOB的外接圆过点O，可设该圆的方程为 22 0xydxey，与 2 4 y x联立得， 4 2 10 164 yd yey 该四次方程有 123 , 0yyyy这四个不 4 同的实根，故由韦达定理得 123 00yyy，从而 312 ()yyy 5 分 因PF平分APB，由角平分线定理知， 1 2 PAFAy PBFBy ，结合、，有 2 22 2 31 2 2222 31 2 12112 1 2222 22222 2 2 3212221 32 () ()16(2) 44 ()16(2) () 44 yy yy yyyyy PAy y PB yyyyyyy yy 222242 21221 222242 12112 (8)16(416)64192 (8)16(416)64192 yyyyy yyyyy ， 10 分 即 62226222 11212212 6419264192yy yyyy yy，故 224224 121122 ()(192)0yyyy yy 当 22 1