2004年考研数学二试题答案与解析.pdf

NBF 辅导，真正为考研人着想的辅导! NBF 考研辅导，全程包过，不过退款! QQ 客服：296312040 2004 年考硕数学（二）真题评注年考硕数学（二）真题评注 (NBF 真题计划：公共课最准，专业课最全!) (NBF 真题计划：公共课最准，专业课最全!) 一一. 填空题（本题共填空题（本题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 24 分分. 把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上. ） （1）设 2 (1) ( )lim 1 n nx f x nx = + , 则( )f x的间断点为x = 0 . 【分析分析】本题属于确定由极限定义的函数的连续性与间断点.对不同的x,先用求极限的方法得出 ( )f x的表达式, 再讨论( )f x的间断点. 【详解详解】显然当0x =时,( )0f x =; 当0x 时, 22 2 1 (1) (1)1 ( )limlim 1 1 nn x nxx n f x nxxx x n = + + , 所以 ( )f x 0,0 1 ,0 x x x = = , 因为 00 1 lim( )lim(0) xx f xf x = 故 0x =为( )f x的间断点. 【二李版评注二李版评注】关于函数连续性的概念，应注意分段函数的连续性，特别是分段函数在连接点处的 连续性问题。 1判断连续性的方法： （1）按定义，就是求极限；(2)用连续性运算法则（四则，复合与反函数 运算） 特别是复合运算， 连续函数与联学函数的复合是连续的， 连续函数与不连续函数的复合， 不连续函数与不连续函数的复合均是不确定的;(3)初等函数在定义区间内连续 2判断间断点的类型就是求间断点处的左右极限 3分段函数的连续性问题的关键是连接处的连续性，或按定义考察，或分别考察左右连续性 【考试分析考试分析】考察两个知识点：极限与函数的间断点，属基本题，考生出错较少 （2）设函数( )y x由参数方程 3 3 31 31 xtt ytt =+ =+ 确定, 则曲线( )yy x=向上凸的x取值范围为 1（， ）（或 （- ， 1 ）. 【分析分析】判别由参数方程定义的曲线的凹凸性，先用由 ( ) ( ) xx t yy t = = NBF 辅导，真正为考研人着想的辅导! NBF 考研辅导，全程包过，不过退款! QQ 客服：296312040 定义的 2 23 ( ) ( )( )( ) ( ( ) d yy t x tx t y t dxx t = 求出二阶导数,再由 2 2 0 d y dx 时, ( )f x凸, 于是(0,0)为拐点. 又(0)0f=, 0 1x、时, ( )0f x, 从而0x =为极小值点. 所以, 0x =是极值点, (0,0)是曲线( )yf x=的拐点, 故选（C） . 【方法 2方法 2】 画出 f（x）在x0得邻域内的草图，马上可以得出正确答案 NBF 辅导，真正为考研人着想的辅导! NBF 考研辅导，全程包过，不过退款! QQ 客服：296312040 ， 【评注评注】此题是判定分段函数的极值点与拐点的常规题目, （9） 222 12 lim ln(1) (1)(1) n n n nnn +?等于 （A） 2 2 1 ln xdx . （B） 2 1 2ln xdx . （C） 2 1 2ln(1)x dx+ . （D） 2 2 1 ln (1)x dx+ B 【分析分析】将原极限变型，使其对应一函数在一区间上的积分和式。作变换后,从四个选项中选出正 确的. 【详解详解】 222 12 lim ln(1) (1)(1) n n n nnn +? 2 12 lim ln (1)(1)(1) n n n nnn =+ ? 212 limln(1)ln(1)(1) n n nnnn =+ ? 1 1 lim 2ln(1) n n i i n n = =+ 1 0 2ln(1)x dx=+ 2 1 12lnxttdt+= 2 1 2ln xdx= 故选（B）. 【评注评注】 此题是将无穷和式的极限化为定积分的题型， 值得注意的是化为定积分后还必须作一变换, 才能化为四选项之一 （10）设函数( )f x连续, 且(0)0 f , 则存在0, 使得 NBF 辅导，真正为考研人着想的辅导! NBF 考研辅导，全程包过，不过退款! QQ 客服：296312040 （A）( )f x在(0,)内单调增加. （B）( )f x在(, 0)内单调减小. （C）对任意的(0,)x有( )(0)f xf. （D）对任意的(,0)x 有( )(0)f xf. C 【分析分析】可借助于导数的定义及极限的性质讨论函数( )f x在0x =附近的局部性质. 【详解详解】由导数的定义知 0 ( )(0) (0)lim0 0 x f xf f x = , 由极限的性质, 0, 使x 即0x时, ( )(0)f xf， 0x时, ( )0x 故 22 2 4 lnln()baba e . 【详证 2详证 2】设 22 2 4 ( )lnln()xxaxa e =, 则 2 ln4 ( )2 x x xe = NBF 辅导，真正为考研人着想的辅导! NBF 考研辅导，全程包过，不过退款! QQ 客服：296312040 2 1 ln ( )2 x x x =, xe时, ( )0x 即 22 2 4 lnln()baba e . 【详证 3详证 3】证证 对函数 2 ln x在 , a b上应用拉格朗日定理, 得 22 2ln lnln()baba , ab=, 故 22 2 4 lnln()baba e 【详证 4详证 4】出自考试分析 2 22 ( )ln, ( ) , ( ), ( ) lnln2ln () f xx g xx a bf x g x ba ab ba = 令 在上对应用柯西中值定理，得 ， 以下同证 3 【考试分析评注考试分析评注】此题是文字不等式的证明题型.由于不能直接利用中值定理证明,所以常用的方法 是将文字不等式化为函数不等式,然后借助函数不等式的证明方法加以证明. 典型错误： （1） 在证法 3 中把 NBF 辅导，真正为考研人着想的辅导! NBF 考研辅导，全程包过，不过退款! QQ 客服：296312040 22 lnln( )( )2ln ( ) () baf bf a f baba = =中得 当成变量，直接求导数 （2） 对于 ln t t t 2 （ ）在e,e 上得单调减少不加证明 本题考查的知识点是用函数的单调性或中值定理证明不等式，由于考生对此类题目比较熟悉，本题 答题情况较好 （20） （本题满分11分） 某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞 机迅速减速并停下来. 现有一质量为9000kg的飞机,着陆时的水平速度为700/km h.经测试,减速伞打开后,飞机所受的总 阻力与飞机的速度成正比(比例系数为 6 6.0 10k =).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少? 注 注 kg表示千克,/km h表示千米/小时. 【分析分析】本题属物理应用.已知加速度或力求运动方程是质点运动学中一类重要的计算,可利用牛顿 第二定律,建立微分方程,再求解. 【详解1详解1】由题设,飞机的质量9000mkg=,着陆时的水平速度 0 700/vkm h=.从飞机接触跑道开始记 时,设t时刻飞机的滑行距离为( )x t,速度为( )v t. 根据牛顿第二定律,得 dv mkv dt = . 又 dvdv dxdv v dtdx dtdx =, m dxdv k = , 积分得 ( ) m x tvC k = +, 由于 0 (0)vv=,(0)0x=, 故得 0 m Cv k =, 从而 0 ( )( ) m x tvv t k =. 当( )0v t 时, 0 6 9000 700 ( )1.05() 6.0 10 mv x tkm k = . 所以,飞机滑行的最长距离为1.05 km. NBF 辅导，真正为考研人着想的辅导! NBF 考研辅导，全程包过，不过退款! QQ 客服：296312040 【详解2详解2】根据牛顿第二定律,得 dv mkv dt = . 所以 dvk dt vm = , 两边积分得 k t m vCe =, 代入初始条件 0 0t vv = =, 得 0 Cv=, 0 ( ) k t m v tv e =, 故飞机滑行的最长距离为 00 0 0 ( )1.05() k t m mvmv xv t dtekm kk + + = = . 【详解3详解3】根据牛顿第二定律,得 2 2 d xdx mk dtdt = , 2 2 0 d xk dx dtm dt +=, 其特征方程为 2 0 k rr m +=, 解得 1 0r =, 2 k r m = ， 故 12 k t m xCC e =+， 由(0)0x=, 2 0 0 0 (0) k t m t t kCdx vev dtm = = = =，得 0 12 mv CC k = =， 0 ( )(1) k t m mv x te k =. 当t +时, 0 6 9000 700 ( )1.05() 6.0 10 mv x tkm k = . 所以,飞机滑行的最长距离为1.05 km. 【考试分析评注考试分析评注】此题的考点是由物理问题建立微分方程,并进一步求解. 典型错误：粗心大意，列方程时写成 2 2 d xdx mk dtdt =，漏掉负号，积分漏加常数 C NBF 辅导，真正为考研人着想的辅导! NBF 考研辅导，全程包过，不过退款! QQ 客服：296312040 本题是一道数学建模应用题，和往年应用题相比，比较简单，因此得分率较往年高一些，区分度也 比较好 （21） （本题满分10分） 设 22 (,) xy zf xye=,其中f具有连续二阶偏导数,求 2 , zzz xyx y . 【分析分析】利用复合函数求偏导和混合偏导的方法直接计算. 【详解详解】 12 2 xy z xfyef x =+ , 12 2 xy z yfxef y = + , 2 111222 2 ( 2 ) xyxyxy z x fyfxeefxyef x y = + 2122 ( 2 ) xyxy yefyfxe+ + 222 1112222 42()(1) xyxyxy xyfxyefxyefexy f= +. 【考试分析评注考试分析评注】此题属求抽象复合函数高阶偏导数的常规题型.本题比较简单，因此得分较高 典型错误有： （1）偏导数记号不规范 （2）不理解 121221 ffff， 仍然是两个中间变量得函数，因此漏掉和 （22） （本题满分9分） 设有齐次线性方程组 1234 1234 1234 1234 (1)0, 2(2)220, 33(3)30, 444(4)0, a xxxx xa xxx xxa xx xxxa x += += += += 试问a取何值时, 该方程组有非零解, 并求出其通解. 【分析分析】此题为求含参数齐次线性方程组的解.由系数行列式为 0 确定参数的取值,进而求方程组的 非零解.一个解法是对方程组的系数矩阵作初等行变换，得到 a0 和 a10 有非零解，写出同解方程 组，求得方程组的通解，另一种解法是由方程组系数行列式等于 0 得到 a0 和 a=10 时有非零解，再 对系数矩阵作初等行变换，得到同解方程组，求得方程组通解 【详解 1详解 1】对方程组的系数矩阵A作初等行变换, 有 NBF 辅导，真正为考研人着想的辅导! NBF 考研辅导，全程包过，不过退款! QQ 客服：296312040 11111111 2222200 3333300 4444400 aa aaa B aaa aaa + + = + + 当0a =时, ( )14r A = , 故方程组有非零解, 其同解方程组为 1234 0xxxx+=. 由此得基础解系为 1 ( 1,1,0, 0)T= , 2 ( 1, 0,1,0)T= , 3 ( 1, 0, 0,1)T= , 于是所求方程组的通解为 1 12233 xkkk=+, 其中 123 ,kkk为任意常数. 当0a 时, 111110000 21002100 30103010 40014001 aa B + 当10a = 时, ( )34r A =, 故方程组也有非零解, 其同解方程组为 12 13 14 20, 30, 40, xx xx xx += += += 由此得基础解系为 (1, 2,3, 4)T=, 所以所求方程组的通解为 xk=, 其中k为任意常数. 【详解 2详解 2】方程组的系数行列式 3 1111 2222 (10) 3333 4444 a a Aaa a a + + =+ + + . 当0A =, 即0a =或10a = 时, 方程组有非零解. 当0a =时, 对系数矩阵A作初等行变换, 有 NBF 辅导，真正为考研人着想的辅导! NBF 考研辅导，全程包过，不过退款! QQ 客服：296312040 11111111 22220000 33330000 44440000 A = 故方程组的同解方程组为 1234 0xxxx+=. 其基础解系为 1 ( 1,1,0, 0)T= , 2 ( 1, 0,1,0)T= , 3 ( 1, 0, 0,1)T= , 于是所求方程组的通解为 1 12233 xkkk=+, 其中 123 ,kkk为任意常数. 当10a = 时, 对A作初等行变换, 有 91119111 2822201000 3373300100 4446400010 A = 91110000 21002100 30103010 40014001 故方程组的同解方程组为 21 31 41 2, 3, 4, xx xx xx = = = 其基础解系为(1, 2,3, 4)T=, 所以所求方程组的通解为xk=, 其中k为任意常数 【评注评注】 解此题的方法是先根据齐次方程有非零解的条件确定方程组中的参数,再对求得的参数对应 的方程组求解. 【考试分析考试分析】本题考查的知识点有齐次方程组有非零解的充分必要条件，矩阵的初等变换和矩阵的 秩，由于它是一道难度较低的基本题目，因此考生做得较好，主要问题是当 a10 时，在求方程通解 得过程中出现了简单的计算错误 （23） （本题满分9分） NBF 辅导，真正为考研人着想的辅导! NBF 考研辅导，全程包过，不过退款! QQ 客服：296312040 设矩阵 123 143 15a 的特征方程有一个二重根, 求a的值, 并讨论A是否可相似对角化. 【分析分析】由矩阵特征根的定义确定a的值，由线性无关特征向量的个数与EA秩之间的关系确定 A是否可对角化. 【详解详解】A的特征多项式为 123220 143143 1