2019年上海市春考数学试卷.pdf

上海市教育考试院保留版权2019 年春考数学 第 1页（共 4 页） 2019 年上海市普通高校春季招生统一文化考试 数学试卷 考生注意： 1本场考试时间 120 分钟试卷共 4 页，满分 150 分，答题纸共 2 页 2作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名将核对后的条形码贴 在指定位置 3所有作答必须涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位在试卷上作 答一律不得分 4用 2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题 一一、填空题填空题（本大题共有本大题共有 12 题题，满分满分 54 分分，第第 16 题每题每题题 4 分分，第第 712 题每题每题题 5 分分）考考 生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果 1已知集合1,2,3,4,5A ，3,5,6B ，则AB 2计算： 2 2 231 lim 41 n nn nn 3不等式|1|5x 的解集为 4函数 2 ( )f xx（0x ）的反函数为 5设i为虚数单位，3i65iz ，则| z的值为 6已知二元线性方程组 2 221 4 xy xa ya 有无穷多解，则实数a 7在 6 1 x x 的二项展开式中，常数项的值为 8在ABC中，3AC ，3sin2sinAB，且 1 cos 4 C ，则AB 9首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派 4 人参与连续 5 天的志愿者活动，其 中甲连续参加 2 天，其余每人各参加 1 天，则所有不同的安排种数为 （结果 用数值表示） 10如图，正方形OABC的边长为a（1a ） ，函数 2 3yx的图像交 AB于点Q， 函数 1 2 yx 的图像交BC于点P， 则当|AQCP 最小时，a的值为 A B COx y Q P 2019 年春考数学 第 2页（共 4 页） 11已知P为椭圆 22 1 42 xy 上的任意一点，Q与P关于x轴对称， 1 F、 2 F为椭圆的左右 焦点，若有 12 1FP F P ，则 1 FP 与 2 F Q 的夹角范围为 12已知tR，集合 ,14,9At ttt，0A，若存在正数，使得对任意aA， 都有A a ，则t的值为 二二、选择题选择题（本大题共有本大题共有 4 题题，满分满分 20 分分，每题每题 5 分分）每题有且只有一个正确答案每题有且只有一个正确答案，考生考生 应在答题应在答题纸的相应位置纸的相应位置，将代表，将代表正确选项正确选项的小方格涂黑的小方格涂黑 13下列函数中，值域为0,)的是（） (A)2xy (B) 1 2 yx(C)tanyx(D)cosyx 14已知a、bR，则“ 22 ab”是“|ab”的（） (A) 充分非必要条件(B) 必要非充分条件 (C) 充要条件(D) 既非充分又非必要条件 15 已知平面、 、两两垂直， 直线abc、 、满足：a，b，c， 则直线abc、 、 不可能是（） (A) 两两垂直(B) 两两平行(C) 两两相交(D) 两两异面 16平面直角坐标系中，两动圆 1 O、 2 O的圆心分别为 1 (,0)a、 2 (,0)a，且两圆均定点(1,0)， 两圆与y轴正半轴分别交于点 1 (0,)y、 2 (0,)y，若 12 lnln0yy，点 12 11 , aa 的轨迹 为，则所在的曲线可能是（） (A) 直线(B) 圆(C) 椭圆(D) 双曲线 三三、解答题解答题（本大题满分本大题满分 76 分分）本大题共有本大题共有 5 题题，解答下列各题必须在答题纸的相应位置解答下列各题必须在答题纸的相应位置 写出必要的步骤写出必要的步骤 17 （本题满分本题满分 14 分，第分，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分分） 如图，正三棱锥PABC中，侧棱长为 2，底面边长为3， M、N分别是PB和BC的中点 (1) 求异面直线MN与AC所成角的大小； (2) 求三棱锥PABC的体积 2019 年春考数学 第 3页（共 4 页） 18 （本题满分本题满分 14 分，第分，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分分） 已知数列 n a中， 1 3a ，前n项和为 n S (1) 若 n a为等差数列，且 4 15a ，求 n S； (2) 若 n a为等比数列，且lim12 n n S ，求公比q的取值范围 19 （本题满分本题满分 14 分，第分，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分分） 改革开放 40 年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍卫生总费用 包括个人现金支出、社会支出、政府支出，下表为 2012 年2015 年我国卫生费用中个人现 金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比 年份 卫生总费用 （亿元） 个人现金卫生支出社会卫生支出政府卫生支出 绝对数占卫生总费绝对数占卫生总费绝对数占卫生总费 201228119.009656.32A10030.7035.678431.9829.99 201331668.9510729.3433.8811393.7935.989545.8130.14 201435312.40B31.9913437.7538.0510579.2329.96 201540974.6411992.6529.2716506.7140.2912475.2830.45 （数据来源于国家统计年鉴） (1) 计算 A、B 的数据，并指出 2012 年到 2015 年之间我国卫生总费用中个人现金支出 占比和社会支出占比的变化趋势； (2) 设1t 表示 1978 年， 第n年卫生总费用与年份t之间拟合函数 6.4420 0.1136 357876.6053 ( ) 1e t f t ， 研究( )f t的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过 12 万亿元的年份 2019 年春考数学 第 4页（共 4 页） 20 （本题满分本题满分 16 分，第分，第 1 小题满分小题满分 4 分，第分，第 2 小题满分小题满分 5 分分，第第 3 小题满分小题满分 7 分分） 已知抛物线 2 4yx，F为焦点，P为抛物线准线l上一动点，线段PF与抛物线交于 点Q，定义 | ( ) | PF d P FQ (1) 若点P的坐标为 8 1, 3 ，求( )d P； (2) 证明：存在常数a，使得2 ( )|d PPFa成立； (3) 设 1 P， 2 P， 3 P为抛物线准线l上三点，且 1223 |PPP P，试比较 13 ()()d Pd P与 2 2 ()d P的大小 21 （本题满分本题满分 18 分，第分，第 1 小题满分小题满分 4 分，第分，第 2 小题满分小题满分 6 分分，第第 3 小题满分小题满分 8 分分） 若 n a是等差数列，公差(0,d ，