2016年全国初中数学联赛试题.pdf

2016 年全国初中数学联合竞赛试题年全国初中数学联合竞赛试题 第一试第一试 一、选择题一、选择题(本题满分 42 分，每小题 7 分) 1. 用 x表示不超过x的最大整数，把 xx称为x的小数部分已知 1 23 t = ，a是 t的小数部分，b是t的小数部分，则 11 2ba = ( ) A 1 2 B 3 2 C1 D3 2. 三种图书的单价分别为 10 元、15 元和 20 元，某学校计划恰好用 500 元购买上述图书 30 本，那么不同的购书方案有 ( ) A9 种 B 10 种 C11 种 D12 种 3. (A) 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐 数”如： 3333 21( 1)2631= = ，2 和 26 均为“和谐数”那么，不超过 2016 的正 整数中，所有的“和谐数”之和为( ) A6858 B6860 C9260 D9262 3. (B)已知二次函数 2 1(0)yaxbxa=+的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0)当 ab为整数时，ab = ( ) A0 B 1 4 C 3 4 D2 4. 已知O的半径OD垂直于弦AB，交AB于点C，连接AO并延长交O于点E，若 82ABCD=，则BCE的面积为 ( ) A12 B15 C 16 D18 5. 如图，在四边形ABCD中， 0 90BACBDC= =，5ABAC=，1CD =，对角线 的交点为M，则DM =( ) A 3 2 B 5 3 C 2 2 D 1 2 6. 设实数xyz， ，满足1,xyz+= 则23Mxyyzxz=+的最大值为( ) A 1 2 B 2 3 C 3 4 D1 二、填空题二、填空题(本题满分本题满分 28 分，每小题分，每小题 7 分分) (本题共有本题共有 4 个小题，要求直接将答案写在横线上个小题，要求直接将答案写在横线上) 7. 【7(A)、8(B)】已知ABC的顶点A、C在反比例函数 3 y x = (0x )的图象上， 90ACB=，30ABC=，ABx轴，点B在点A的上方，且6AB =，则点C的坐 标为 (B)已知ABC的最大边BC上的高线AD和中线AM恰好把BAC三等分， 3AD =，则AM = 8. (A) 在四边形ABCD中，BCAD，CA平分BCD，O为对角线的交点，CDAO=， BCDO=，则ABC= 9. 【9(A)、10(B)】 有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数 恰好为原来两个三位数的乘积的 3 倍，这个六位数是 (B) 若质数p、q满足：340111qppq=+， 则pq的最大值为 10. (A)将 5 个 1、5 个 2、5 个 3、5 个 4、5 个 5 共 25 个数填入一个 5 行 5 列的表格内 (每格填入一个数)，使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过 2考虑每列中各数之 和，设这 5 个和的最小值为M，则M的最大值为 第二试第二试 一、(本题满分 20 分) 已知ab，为正整数，求 22 324Maabb=能取到的最小正整数值 二、(本题满分 25 分) (A)如图，点C在以AB为直径的O上，CDAB于点D，点E在BD上，AEAC=， 四边形DEFM是正方形，AM的延长线与O交于点N证明:FNDE= (B)已知：5abc+=， 222 15abc+=， 333 47abc+= 求 222222 ()()()aabbbbccccaa+的值 三、(本题满分 25 分) (A)已知正实数xyz， ，满足：1xyyzzx+ ，且 222222 (1)(1)(1)(1)(1)(1) 4 xyyzzx xyyzzx += (1) 求 111 xyyzzx +的值 (2) 证明:9()()()8()xy yz zxxyz xyyzzx+ (B)如图，在等腰ABC中，5ABAC=，D为BC边上异于中点的点，点C关于直线AD 的对称点为点E，EB的延长线与AD的延长线交于点F，求AD AF的值 2016 年全国初中数学联合竞赛试题及详解年全国初中数学联合竞赛试题及详解 第一试第一试 (3 月月 20 日上午日上午 8:30 - 9:30) 一、选择题一、选择题(本题满分本题满分 42 分，每小题分，每小题 7 分分) (本题共有 6 个小题，每题均给出了代号为 A，B，C，D 的四个答案，其中有且仅有一个是正 确的将你所选择的答案的代号填在题后的括号内 每小题选对得 7 分；不选、选错或选出 的代号字母超过一个(不论是否写在括号内)，一律得 0 分) 1用 x表示不超过x的最大整数，把 xx称为x的小数部分已知 1 23 t = ，a是t 的小数部分，b是t的小数部分，则 11 2ba = ( ) . A 1 2 .B 3 2 .C 1 .D 3 【答案】A 【解析】 1 23,132, 23 t =+ 3234, + 即34,t 33 1.at= = 又23, 231,t = 4233, ( 4)23,bt = = 111123311 , 22222(23)3 1ba + = 故选 A 2三种图书的单价分别为 10 元、15 元和 20 元，某学校计划恰好用 500 元购买上述图书 30 本，那么不同的购书方案有 ( ) . A 9种 .B 10种 .C11种 .D12种 【答案】C 【解析】设购买三种图书的数量分别为, , ,x y z则 30 101520500 xyz xyz += += ， 即 30 341002 yzx yzx += += ，解得 202 10 yx zx = =+ 依题意得，, ,x y z为自然数(非负整数)， 故010,xx有11种可能的取值(分别为0,1,2,9,10)， 对于每一个x值，y和z都有唯一 的值(自然数)相对应 即不同的购书方案共有 11 种，故选 C 3(A) 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差， 则称这个正整数为“和谐数” 如： 3333 21( 1) ,2631 ,= = 2和26均为“和谐数”那么，不超过2016的正整数中，所有的“和 谐数”之和为 ( ) . A6858 .B6860 .C9260 .D9262 【答案】B 【解析】 3322 (21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)kkkkkkkk+=+ 2 2(121)k=+ (其中k为非负整数)，由 2 2(121)2016k +得，9k 0,1,2,8,9k=，即得所有不超过 2016 的“和谐数”，它们的和为 33333333333 1( 1)(31 )(53 )(1715 )(1917 )1916860. +=+ = 故选 B 3(B)已知二次函数 2 1(0)yaxbxa=+的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0)当 ab为整数时，ab = ( ) . A0 .B 1 4 .C 3 4 .D2 【答案】B 【解析】依题意知0,0,10, 2 b aab a + = 故0,b 且1ba= ， (1)21abaaa= =+，于是10,a 121 1a + 又ab为整数，210,a+ = 故 1 , 2 ab= = 1 4 ab =，故选 B 4已知O的半径OD垂直于弦AB，交AB于点C，连接AO并延长交O于点E，若 8,AB =2CD =，则BCE的面积为( ) . A12 .B 15 .C 16 .D18 【解析】设,OCx=则2,OAODx=+ ODAB于,C 1 4, 2 ACCBAB= 在Rt OAC中， 222, OCACOA+= 即 222 4(2) ,xx+=+解得3x =，即3OC = (第 4 题答案图) OC为ABE的中位线，26.BEOC= AE是O的直径，90 ,B= 11 4 612. 22 BCE SCB BE = = 故选 A 5如图，在四边形ABCD中， 0 90BACBDC= =，5ABAC=，1CD =，对角线的 交点为M，则DM = ( ) . A 3 2 .B 5 3 .C 2 2 .D 1 2 (第 5 题答案图) 【答案】D 【 解 析 】 过 点A作AHBD于 点,H则AMH,CMD, AHAM CDCM =1,CD = , AM AH CM =设,AMx= 则5, 5 x CMxAH x = 在Rt ABM中， 222 5,BMABAMx=+=+ 则 2 5 5 AB AMx AH BM x = + 2 5 , 5 5 xx x x = + 显然0x ，化简整理得 2 25 5100xx+= 解得 5 , 2 x =(2 5x =不符合题意，舍去)，故 5 , 2 CM =在Rt CDM中， 22 1 2 DMCMCD=，故选 D 6设实数, ,x y z满足1,xyz+= 则23Mxyyzxz=+的最大值为 ( ) . A 1 2 .B 2 3 .C 3 4 .D1 【答案】C 【解析】 22 (23 )(23 )(1)34232Mxyyx zxyyxxyxxyyxy=+=+= + 22 22 111 22332 222 yxyxxxx = + 222 2 111133 22 222244 yxxxyxx = += + 当且仅当 1 ,0 2 xy=时，M取等号，故 max 3 4 M=，故选 C 二、填空题二、填空题(本题满分本题满分 28 分，每小题分，每小题 7 分分) (本题共有本题共有 4 个小题，要求直接将答案写在横线上个小题，要求直接将答案写在横线上) 1 【1(A)、2(B)】 已知ABC的顶点A、C在反比例函数 3 y x = (0x )的图象上， 0 90ACB=， 0 30ABC=，ABx轴，点B在点A的上方，且6,AB =则点C的坐标 为 【答案】 3 ,2 2 【解析】如图，过点C作CDAB于点D 在Rt ACB中，cos3 3BCABABC= 在Rt BCD中， 3 3 sin, 2 CDBCB= (第 1 题答案图) 9 cos, 2 BDBCB= 3 2 ADABBD=，设 33 ,C mA n mn ， 依题意知0,nm故 33 ,CDnm AD mn =，于是 3 3 2 333 2 nm mn = = 解得 3 2 2 3 m n = = ，故点C的坐标为 3 ,2 2 1(B) 已知ABC的最大边BC上的高线AD和中线AM恰好把BAC三等分，3AD =， 则AM = 【答案】2 【解析】 (第 1 题答案图 1 ) ( 第 1 题答案图 2) 依题意得BADDAMMAC= = ， 0 90 ,ADBADC= = 故ABCACB (1)若ABCACB 时，如答案图 1 所示，ADM,ADB 1 , 2 BDDMCM= 又AM平分,DAC 1 , 2 ADDM ACCM =在Rt DAC中，即 1 cos, 2 DAC= 0 60 ,DAC= 从而 00 90 ,30BACACD= 在Rt ADC中，tan3 tan603,CDADDAC= 1.DM = 在Rt ADM中， 22 2AMADDM=+= (2)若ABCACB 时，如答案图 2 所示同理可得2AM =综上所述，2AM = 2(A)在四边形ABCD中，BCAD，CA平分BCD，O为对角线的交点，,CDAO= ,BCOD=则ABC= 【答案】126 【解析】设,OCDADO=， CA平分BCD，OCDOCB= =， BCAD，,ADOOBCDAOOCB= = =， (第 2 题答案图) OCDDAO= =，ADCD=，,CDAO=ADAO=， ADOAODBOCOBC= = = =，OCBC=， ,BCOD=,OCOD=ODCOCD= = ,180BOCODCOCDBOCOBCOCB= += 2 ,2180 , =+=解得36 ,72=，72DBCBCD= =， ,BDCDAD= 180 54 , 2 ABDBAD = = 故126ABCABDDBC= += 3 【3(A)、4(B)】 有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好为 原来两个三位数的乘积的 3 倍，这个六位数是 【答案】167334 【解析】设两个三位数分别为, x y，则10003xyxy+=， 31000(31000) ,yxyxyx=故y是x的正整数倍，不妨设ytx=(t为正整数)，代入 得10003 ,ttx+ = 1000 , 3 t x t + =x是三位数， 1000 100 3 t x t + =，解得 1000 , 299 t t为正整数，t的可能取值为1,2,3.验证可知，只有2t =符合，此时 167,334.xy= 故所求的六位数为167334 3(B)若质数p、q满足：340,111,qppq=+则pq的最大值为 【答案】1007 【解析】由340qp=得，34,pq= 2 2 24 (34)343, 33 pqqqqqq = 因q为质数， 故pq的值随着质数q的增大而增大， 当且仅当q取得最大值时，pq取得最大值 又111pq+，34111,qq+ 3 28 4 q，因q为质数，故q的可能取值为 23,19,17,13,11,7,5,3,2，但23q =时，34655 13pq= 不是质数，舍去 当19q =时，3453pq=恰为质数故 maxmax 19,()53 191007qpq= 4(A)将 5 个 1、5 个 2、5 个 3、5 个 4、5 个 5 共 25 个数填入一个 5 行 5 列的表格内(每格填 入一个数)，使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过 2考虑每列中各数之和，设这 5 个和的 最小值为M，则M的最大值为 【答案】10. 【解析】(依据 5 个 1 分布的列数的不同情形进行讨论，确定M的最大值 (1)若 5 个 1 分布在同一列，则5M =； (2)若 5 个 1 分布在两列中，则由题意知这两列中出现的最大数至多为 3，故 25 1 5 320M + =，故10M ; (3) 若 5 个 1 分布在三列中，则由题意知这三列中出现的最大数至多为 3，故 35 1 5 25 330M + + =，故10M ; (4) 若 5 个 1 分布在至少四列中，则其中某一列至少有一个数大于 3，这与已知矛盾 综上所述，10.M 另一方面，如下表的例子说明M可以取到 10故M的最大值为10. 第二试第二试 (3 月 20 日上午 9:50 11:20) 一、(本题满分 20 分) 已知, a b为正整数，求 22 324Maabb=能取到的最小正整数值 【解析】解：因, a b为正整数，要使得 22 324Maabb=的值为正整数，则有2a 当2a =时，b只能为 1，此时4.M =故M能取到的最小正整数值不超过 4 当3a =时，b只能为 1 或 2若1,18bM=;若2b =，则7M = 当4a =时，b只能为 1 或 2 或 3若1,38bM=;若2,24bM=;若3,b =则2M = (下面考虑： 22 324Maabb=的值能否为 1？) 1 1 1 4 5 1 1 2 4 5 2 2 2 4 5 3 3 2 4 5 3 3 3 4 5 (反证法)假设1M =，则 22 3241aabb=，即 22 325aabb=+， 2 (3)25aabb=+ 因b为正整数，故25b+为奇数，从而a为奇数，b为偶数， 不妨设21,2ambn=+=，其中,m n均为正整数，则 22222 (3)(21) 3(21)(2 )4(332)3aabmmnmmmnn=+=+ 即 2 (3)aab被4除所得余数为 3，而252(2 ) 141bnn+=+ =+被 4 除所得余数为 1， 故式不可能成立，故1M 因此，M能取到的最小正整数值为 2 二、(本题满分 25 分) (A)如图，点C在以AB为直径的O上，CDAB于点D，点E在BD上，,AEAC= 四边形DEFM是正方形，AM的延长线与O交于点N证明:FNDE= (第 2(A)题答案图) 【证明】 ：连接BC、.BNAB为O的直径，CDAB于点D 90ACBANBADC= = = ,CABDACACBADC= = ,ACBADC , ACAB ADAC = 2 ACAD AB= 由四边形DEFM是正方形及CDAB于点D可知: 点M在CD上，DEDMEFMF= ,NABDAMANBADM= = ,ANBADM , ANAB ADAM =,AD ABAM AN= 2 ,ACAM AN= ,AEAC= 2 AEAM AN= 以点F为圆心、FE为半径作,F与直线AM交于另一点P，则F与AB切于点E， 即AE是F的切线，直线AMP是F的割线，故由切割线定理得 2 AEAM AP= ANAP=，即点N与点P重合，点N在F上，FNFEDE= (注注：上述最后一段得证明用了“同一法”) (B)已知：5,abc+= 222 15,abc+= 333 47.abc+= 求 222222 ()()()aabbbbccccaa+的值 【解析】由已知得 2222 1 ()()5 2 abbccaabcabc+=+= 由恒等式 333222 3()()abcabcabc abcabbcca+=+得， 4735 (155),abc= 1abc= 又 22 ()()()5(5)55(1)aabbabc ababbccacc+=+= 同理可得 2222 5(4),5(4)bbcca ccaab+=+= 原式= 3 5 (4)(4)(4)125 64 16()4()abcabcabbccaabc=+ 125 64 16 54 5( 1)625.= + = 【注注：恒等式 32 ()()()()()ta tb tctabc tabbcca tabc=+】 三、(本题满分 25 分) (A)已知正实数, ,x y z满足：1xyyzzx+ ，且 222222 (1)(1)(1)(1)(1)(1) 4 xyyzzx xyyzzx += (3) 求 111 xyyzzx +的值 (4) 证明:9()()()8()xyyz zxxyz xyyzzx+ 【解析】(1)解：由等式 222222 (1)(1)(1)(1)(1)(1) 4 xyyzzx xyyzzx +=， 去分母得 222222 (1)(1)(1(1)(1)(1)4z xyx yzy zxxyz+=， 222222222222 ()()()3()0,x y zxy zx yzx yzy