2016初一(下专题训练)专题三全等三角形——压轴题_看图王.pdf

新思维学校L3 数学团队专用七年级学生卷L3新思维学校L3 数学团队专用七年级学生卷L3成功法则：目标兴趣信心方法勤奋成功法则：目标兴趣信心方法勤奋成功成功 追求卓越成就梦想版权所有翻印必究追求卓越成就梦想版权所有翻印必究 1 L3L3专题专题:初一（下）数学专题训练 专题三全等三角形压轴题 教师：肖光洲 初一（下）数学专题训练 专题三全等三角形压轴题 教师：肖光洲学生：学生： 1、已知，如图所示，在1、已知，如图所示，在ABC和和ADE中，中，ACAB ，AEAD ，DAEBAC， 且点 ， 且点B、A、D在一条直线上，连接在一条直线上，连接BE、CD，M、N分别为分别为BE、CD的中点 （1）求证： 的中点 （1）求证：CDBE ；ANAM ； （2）在图的基础上，将 ； （2）在图的基础上，将ADE绕点绕点A按顺时针方向旋转按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图，其他条件不变，得到图 所示的图形请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立所示的图形请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立 2、 已知四边形2、 已知四边形ABCD中，中，ABAD，BCCD，ABBC，120ABC ，60MBN ， MBN绕绕B点旋转，它的两边分别交点旋转，它的两边分别交ADDC，（或它们的延长线）于（或它们的延长线）于EF， 当 当MBN绕绕B点旋转到点旋转到AECF时（如图 1） ，易证时（如图 1） ，易证AECFEF 当 当MBN绕绕B点旋转到点旋转到AECF时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？ 若成立，请给予证明；若不成立，线段 时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？ 若成立，请给予证明；若不成立，线段AECF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想， 不需证明 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想， 不需证明 C E N D A B M 图 C A E M B D N 图 （图 1） A B CD E F M N （图 2） A B CD E F M N （图 3） A B C D E F M N 新思维学校L3 数学团队专用七年级学生卷L3新思维学校L3 数学团队专用七年级学生卷L3成功法则：目标兴趣信心方法勤奋成功法则：目标兴趣信心方法勤奋成功成功 追求卓越成就梦想版权所有翻印必究追求卓越成就梦想版权所有翻印必究 2 3、 （1）如图 1，3、 （1）如图 1，BD、CE分别是分别是ABC的 外角平分线，过点的 外角平分线，过点A作作ADBD，AECE, 垂足分别是 , 垂足分别是D、E,连接,连接DE求证求证/ /DEBC； 1 () 2 DEABBCAC 图 1图 2图 3 （2）如图 2， 图 1图 2图 3 （2）如图 2，BD、CE分别是分别是ABC的 内角平分线，其他条件不变 （3）如图 3， 的 内角平分线，其他条件不变 （3）如图 3，BD是是ABC的 内角平分线，的 内角平分线，CE分别是分别是ABC的 外角平分线，其他条件 不变则在图 2、图 3 两种情况下， 的 外角平分线，其他条件 不变则在图 2、图 3 两种情况下，DE与与BC还平行吗？它与还平行吗？它与ABC三边又有怎样的 数量关系？请写出你的猜测，并证明你的结论 （提示：利用三角形中位线的知识证明 线平行） 三边又有怎样的 数量关系？请写出你的猜测，并证明你的结论 （提示：利用三角形中位线的知识证明 线平行） 4、如图 1，在4、如图 1，在ABC中，中，ACB为锐角，点为锐角，点D为射线为射线BC上一点，连接上一点，连接AD，以，以AD为一边 且在 为一边 且在AD的右侧作正方形的右侧作正方形ADEF （1）如果 （1）如果ACAB ，90BAC， 当点 ， 当点D在线段在线段BC上时（与点上时（与点B不重合） ，如图 2，线段不重合） ，如图 2，线段CF、BD所在直线的位置 关系为 所在直线的位置 关系为，线段，线段CF、BD的数量关系为的数量关系为； 当点 ； 当点D在线段在线段BC的延长线上时，如图 3，中的结论是否仍然成立，并说明理由； （2）如果 的延长线上时，如图 3，中的结论是否仍然成立，并说明理由； （2）如果ACAB ，BAC是锐角，点是锐角，点D在线段在线段BC上，当上，当ACBACB满足什么条件满足什么条件 时，时，BCCF （点（点C、F不重合） ，并说明理由不重合） ，并说明理由 新思维学校L3 数学团队专用七年级学生卷L3新思维学校L3 数学团队专用七年级学生卷L3成功法则：目标兴趣信心方法勤奋成功法则：目标兴趣信心方法勤奋成功成功 追求卓越成就梦想版权所有翻印必究追求卓越成就梦想版权所有翻印必究 3 5、 （1）如图 1，正方形5、 （1）如图 1，正方形ABCD中，点中，点E，F分别在边分别在边BC，CD上，上，45EAF，延长，延长CD 到点到点G，使，使DGBE，连结，连结EF，AG求证：求证：EFFG （2）如图，等腰直角三角形 （2）如图，等腰直角三角形ABC中，中，90BAC，ABAC，点，点M，N在边在边BC上， 且 上， 且45MAN，若，若1BM ，3CN ，求，求MN的长的长 6、如图 1，将两个完全相同的三角形纸片6、如图 1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和和DEC重合放置，其中重合放置，其中90C， 30BE （1）操作发现：如图 2，固定 （1）操作发现：如图 2，固定ABC，使，使DEC绕点绕点C旋转，当点旋转，当点D恰好落在恰好落在AB边上时， 线段 边上时， 线段DE与与AC的位置关系是的位置关系是； 设 ； 设BDC的面积为的面积为 1 S，AEC的面积为的面积为 2 S，则，则 1 S与与 2 S的数量关系是的数量关系是 （2）猜想论证：当（2）猜想论证：当DEC绕点绕点C旋转到如图 3 所示的位置时，小明猜想（1）中旋转到如图 3 所示的位置时，小明猜想（1）中 1 S与与 2 S的 数量关系仍然成立，并尝试分别作出了 的 数量关系仍然成立，并尝试分别作出了BDC和和AEC中中BC、CE边上的高，请你 证明小明的猜想 （3）拓展探究：已知 边上的高，请你 证明小明的猜想 （3）拓展探究：已知60ABC，点，点D是角平分线上一点，是角平分线上一点，4BDCD，/ /DEAB交交 BC于点于点E（如图 4） 若在射线（如图 4） 若在射线BA上存在点上存在点F，使，使 DCFBDE SS ，请直接写出相应的 BF 的长 ，请直接写出相应的 BF 的长 新思维学校L3 数学团队专用七年级学生卷L3新思维学校L3 数学团队专用七年级学生卷L3成功法则：目标兴趣信心方法勤奋成功法则：目标兴趣信心方法勤奋成功成功 追求卓越成就梦想版权所有翻印必究追求卓越成就梦想版权所有翻印必究 4 7、如图，将两个全等的直角三角形7、如图，将两个全等的直角三角形ABD、ACE拼在一起（图 1） 拼在一起（图 1） ABD不动，不动， （1） 若将（1） 若将ACE绕点绕点A逆时针旋转， 连接逆时针旋转， 连接DE，M是是DE的中点， 连接的中点， 连接MB、MC（图 2） ，（图 2） ， 证明：证明：MBMC （2） 若将图 （2） 若将图1中的中的CE向上平移，向上平移，CAE不变， 连接不变， 连接DE，M是是DE的中点， 连接的中点， 连接MB、MC （图 3） ，判断并直接写出（图 3） ，判断并直接写出MB、MC的数量关系 （3）在（2）中，若 的数量关系 （3）在（2）中，若CAE的大小改变（图 4） ，其他条件不变，则（2）中的的大小改变（图 4） ，其他条件不变，则（2）中的MB、MC的 数量关系还成立吗？说明理由 的 数量关系还成立吗？说明理由 8、如图 1，8、如图 1， 1 l， 2 l， 3 l， 4 l是一组平行线，相邻 2 条平行线间的距离都是 1 个单位长度，正方 形 是一组平行线，相邻 2 条平行线间的距离都是 1 个单位长度，正方 形ABCD的 4 个顶点的 4 个顶点A，B，C，D都在这些平行线上过点都在这些平行线上过点A作作 3 AFl于点于点F，交，交 2 l 于点于点H，过点，过点C作作 2 CEl于点于点E，交，交 3 l于点于点G （1）求证： （1）求证：ADFCBE ； （2）求正方形 ； （2）求正方形ABCD的面积； （3）如图 2，如果四条平行线不等距，相邻的两条平行线间的距离依次为 的面积； （3）如图 2，如果四条平行线不等距，相邻的两条平行线间的距离依次为 1 h， 2 h， 3 h，试，试 用用 1 h， 2 h， 3 h表示正方形表示正方形ABCD的面积的面积S 新思维学校L3 数学团队专用七年级学生卷L3新思维学校L3 数学团队专用七年级学生卷L3成功法则：目标兴趣信心方法勤奋成功法则：目标兴趣信心方法勤奋成功成功 追求卓越成就梦想版权所有翻印必究追求卓越成就梦想版权所有翻印必究 5 9、 已知： 如图，9、 已知： 如图，ABC是等边三角形， 过是等边三角形， 过AB边上的点边上的点D作作/ /DGBC， 交， 交AC于点于点G， 在， 在GD 的延长线上取点的延长线上取点E，使，使DEDB，连接，连接AECD， （1）求证： （1）求证：DACAGE； （2）过点 ； （2）过点E作作/ /EFDC，交，交BC于点于点F，请你连接，请你连接AF，并判断，并判断AEF是怎样的三角形，是怎样的三角形， 试证明你的结论试证明你的结论 10、已知，如图所示，在10、已知，如图所示，在ABC和和ADE中，中，ACAB ，AEAD ，DAEBAC， 且点 ， 且点DAB、在一条直线上，连接在一条直线上，连接CDBE、，NM、分别为分别为CDBE、的中点 （1）求证： 的中点 （1）求证：BECD；AMAN （2）在图的基础上，将 （2）在图的基础上，将ADE绕点绕点A按顺时针方向旋转按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图 所示的图形请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立 ，其他条件不变，得到图 所示的图形请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立 C E N D A B M 图 C A E M B D N 图 新思维学校L3 数学团队专用七年级学生卷L3新思维学校L3 数学团队专用七年级学生卷L3成功法则：目标兴趣信心方法勤奋成功法则：目标兴趣信心方法勤奋成功成功 追求卓越成就梦想版权所有翻印必究追求卓越成就梦想版权所有翻印必究 6 11、如图11、如图1，BD是等腰是等腰ABCRt的角平分线，的角平分线，90BAC （1）求证: （1）求证:ADABBC; （2）如图 ; （2）如图2，BDAF 于于F点，点，BDCE 交延长线于交延长线于E，求证：，求证：CEBD2 图 1图 2图 1图 2 12、已知，如图12、已知，如图ABC，45ABC，CDAB，BE平分平分ABC，且，且BEAC于于E， 与 ， 与CD相交于点相交于点F，H是是BC边的中点，连接边的中点，连接DH与与BE相交于点相交于点G 求证： （1）求证： （1）BFAC； （2）； （2） 1 2 CEBF A BC D F E D C B A 新思维学校L3 数学团队专用七年级学生卷L3新思维学校L3 数学团队专用七年级学生卷L3成功法则：目标兴趣信心方法勤奋成功法则：目标兴趣信心方法勤奋成功成功 追求卓越成就梦想版权所有翻印必究追求卓越成就梦想版权所有翻印必究 7 13、在13、在ABC中，中，ABCACB2，BAC的平分线的平分线AQ交交BC于点于点D，点，点P为为AQ上一动 点，过点 上一动 点，过点P作直线作直线AQl 于于P，分别交直线，分别交直线BCACAB、于点于点MFE、 （1）当直线 （1）当直线l经过点经过点B时，如图 1，求证：时，如图 1，求证：AFAB ; （2）当 ; （2）当M在在BC上时，如图 2，写出上时，如图 2，写出CDCFBE、之间的数量关系，并加以证明; （3）当 之间的数量关系，并加以证明; （3）当M是是BC中点时，请补全图 3，并证明：中点时，请补全图 3，并证明：2 CF CD 14、等腰14、等腰ABC，ACAB ，ACEABD、都是等边三角形，直线都是等边三角形，直线CEBD、交于点交于点O，直 线 ，直 线BCAO、交于点交于点F （1）如图 1，当点 （1）如图 1，当点D在在AB左侧，点左侧，点E在在AC右侧时，右侧时，AFC; （2）如图 2，当点 ; （2）如图 2，当点D在在AB右侧，点右侧，点E在在AC左侧时，求证左侧时，求证90AFC; （3）如图 3，当点 ; （3）如图 3，当点D在在AB左侧，点左侧，点E在在AC左侧时，求左侧时，求AFC的度数的度数 新思维学校L3 数学团队专用七年级学生卷L3新思维学校L3 数学团队专用七年级学生卷L3成功法则：目标兴趣信心方法勤奋成功法则：目标兴趣信心方法勤奋成功成功 追求卓越成就梦想版权所有翻印必究追求卓越成就梦想版权所有翻印必究 8 15、 （1）如图，已知：在15、 （1）如图，已知：在ABC中，中，90BAC，ACAB ，直线，直线m经过点经过点A，mBD ， mCE ，垂足分别为点，垂足分别为点ED、，求证：，求证：CEBDDE （2） 如图， 将中的条件改为： 在 （2） 如图， 将中的条件改为： 在ABC中，中，ACAB ，EAD、三点都在直线三点都在直线m上， 并 且 有 上， 并 且 有BACAECBDA， 其 中， 其 中为 任 意 锐 角 或 钝 角 ， 请 问为 任 意 锐 角 或 钝 角 ， 请 问 CEBDDE是否成立？若成立，给出证明;若不成立，请说明理由 （3）应用：如图， 是否成立？若成立，给出证明;若不成立，请说明理由 （3）应用：如图，ED、是是EAD、三点所在直线三点所在直线m上的两动点（上的两动点（ED、互不重合） ， 点 互不重合） ， 点F为为BAC平分线上的一点，且平分线上的一点，且ABF和和ACF均为等边三角形，连接均为等边三角形，连接CEBD,， 若若BACAECBDA，试判断，试判断DEF的形状的形状 16 、 将 一 副 直 角 三 角 板 （16 、 将 一 副 直 角 三 角 板 （DEFRtABCRt,） 如 图 1 所 示 的 方 式 摆 放 其 中） 如 图 1 所 示 的 方 式 摆 放 其 中 90,90FDECBCAACB，O是是AB的中点， 点的中点， 点D与点与点O重合，重合，ACDF 于 点 于 点M，BCDE 于点于点N探究线段探究线段OM与与ON的数量关系 （1）直接写出上面问题中线段 的数量关系 （1）直接写出上面问题中线段OM与与ON的数量关系; （2）将这副直角三角板如图 2 所示的方式摆放使点 的数量关系; （2）将这副直角三角板如图 2 所示的方式摆放使点D落在落在BA的延长线上，的延长线上，ACDE/， FD的延长线与的延长线与CA的延长线交于点的延长线交于点M，BC的延长线与的延长线与DE交于点交于点N，点，点O是是AB 的中点，连接的中点，连接MNOMON、请你判断线段请你判断线段OM与与ON的数量关系和位置关系，的数量关系和位置关系， 并证明你的结论并证明你的结论 新思维学校L3 数学团队专用七年级学生卷L3新思维学校L3 数学团队专用七年级学生卷L3成功法则：目标兴趣信心方法勤奋成功法则：目标兴趣信心方法勤奋成功成功 追求卓越成就梦想版权所有翻印必究追求卓越成就梦想版权所有翻印必究 9 17、在等腰直角17、在等腰直角ABC中，中，90BAC，ACAB （1） 如图 1， 点 （1） 如图 1， 点ED、分别是分别是ACAB、边的中点，边的中点，BEAF 交交BC于点于点F， 连接， 连接CDEF、 交于点交于点H求证：求证：CDEF ; （2）如图 2， ; （2）如图 2，ADAE，AFBE于点于点G交交BC于点于点F，过，过F作作FPCD交交BE的延 长线于点 的延 长线于点P，试探究线段，试探究线段,BP FP AF之间的数量关系，并说明理由之间的数量关系，并说明理由 18、如图 1，在18、如图 1，在ABC中，中，90CBA，60CBA，点，点E角平分线上一点，过点角平分线上一点，过点E作作AE 的垂线， 过点的垂线， 过点A作作AB的线段， 两垂线交于点的线段， 两垂线交于点D， 连接， 连接DB， 点， 点F是是DB的中点，的中点，ACDH ， 垂足为 ， 垂足为H，连接，连接EF，HF （1）如图 1，求证： （1）如图 1，求证：HFEF （2）如图 2，连接（2）如图 2，连接CF、CE，猜想：，猜想：CEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是， 请说明理由 是否是等边三角形？若是，请证明；若不是， 请说明理由 图 1图 2图 1图 2 新思维学校L3 数学团队专用七年级学生卷L3新思维学校L3 数学团队专用七年级学生卷L3成功法则：目标兴趣信心方法勤奋成功法则：目标兴趣信心方法勤奋成功成功 追求卓越成就梦想版权所有翻印必究追求卓越成就梦想版权所有翻印必究 10 19 、 以19 、 以ABC的 两 边的 两 边AB、AC为 腰 分 别 向 外 作 等 腰为 腰 分 别 向 外 作 等 腰ABDRt和 等 腰和 等 腰ACERt， 90CAEBAD连接连接DE，M、N分别是分别是BC、DE的中点探究：的中点探究：AM与与DE 的位置关系及数量关系 （1） 如图 当 的位置关系及数量关系 （1） 如图 当ABC为直角三角形时，为直角三角形时，AM与与DE的位置关系是的位置关系是； 线段； 线段AM与与 DE的数量关系是的数量关系是； （2） 将图中的等腰 ； （2） 将图中的等腰ABDRt绕点绕点A沿逆时针方向旋转沿逆时针方向旋转( (900)后， 如图所示， 问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由 )后， 如图所示， 问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由 20、 已知： 如图所示， 在20、 已知： 如图所示， 在ABC和和ADE中，中，ACAB ，AEAD ，DAEBAC， 且点 ， 且点B、A、D在一条直线上，连接在一条直线上，连接BE、CD，M、N分别为分别为BE、CD的中点 （1）求证： 的中点 （1）求证：CDBE ；AMN是等腰三角形 （2）在图的基础上，将 是等腰三角形 （2）在图的基础上，将ADE绕点绕点A按顺时针方向旋转按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图 所示的图形请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立； （3）在旋转的过程中，若直线 ，其他条件不变，得到图 所示的图形请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立； （3）在旋转的过程中，若直线BE与与CD相交于点相交于点P，试探究，试探究APB与与MAN的关系， 并说明理由 的关系， 并说明理由 C E N D A B M 图 C A E M B D N 图 新思维学校L3 数学团队专用七年级学生卷L3新思维学校L3 数学团队专用七年级学生卷L3成功法则：目标兴趣信心方法勤奋成功法则：目标兴趣信心方法勤奋成功成功 追求卓越成就梦想版权所有翻印必究追求卓越成就梦想版权所有翻印必究 11 21、如图，等边21、如图，等边ABC中，中，/CD AB为边为边BC上一点，上一点，Q为直线为直线CD上一点，连接上一点，连接APPQ、， 使得 ， 使得APQBAC （1）如图 （1）如图1，探索，探索PAC与与PQC的数量关系并证明；如图的数量关系并证明；如图1，求证：，求证：APPQ； （2）如图 2，若将“等边 ； （2）如图 2，若将“等边ABC”改为“等腰直角”改为“等腰直角ABC（ABAC） ” ，其他条件不变， 求证： ） ” ，其他条件不变， 求证：APPQ； （3）如图 3，若继续将“等腰直角 ； （3）如图 3，若继续将“等腰直角ABC”改为“等腰”改为“等腰ABC( (ABAC)” ，其他条件不)” ，其他条件不 变，(2)中的结论是否正确？若正确，请你给出证明；若不正确，请你说明理由变，(2)中的结论是否正确？若正确，请你给出证明；若不正确，请你说明理由 22、 如图中， 已知22、 如图中， 已知ABC中，中，ABAC，点，点P是是BC上一点，上一点，PNAC于点于点NPMAB， 于点于点MCG，垂直垂直AB于点于点G （1）（1）CGPMPN、之间有什么数量关系？证明你的猜想； （2）如图，若点 之间有什么数量关系？证明你的猜想； （2）如图，若点P在在BC延长线上，则延长线上，则PMPNCG、三者是否还有上述关系，若有， 请说明理由，若没有，猜想三者之间又有怎样的关系，并证明你的猜想； （3） 如图， 三者是否还有上述关系，若有， 请说明理由，若没有，猜想三者之间又有怎样的关系，并证明你的猜想； （3） 如图，AC是正方形是正方形ABCD的对角线，的对角线，AEAB，点点P是是BE上任一点，上任一点，PNAB 于点于点NPMAB，于点于点M，猜想，猜想PMPNAC、有什么数量关系，并证明你的猜有什么数量关系，并证明你的猜 想想 新思维学校L3 数学团队专用七年级学生卷L3新思维学校L3 数学团队专用七年级学生卷L3成功法则：目标兴趣信心方法勤奋成功法则：目标兴趣信心方法勤奋成功成功 追求卓越成就梦想版权所有翻印必究追求卓越成就梦想版权所有翻印必究 12 23、已知：如图，23、已知：如图，,90ABAC ADAEBACDAE ， （1）求证：（1）求证：ABDACE； （2）求证： ； （2）求证：BDCE、所在直线互相垂直； （3）如图 所在直线互相垂直； （3）如图2，连接，连接BEDC、，取，取BE中点中点M，连接，连接AM，试判断线段，试判断线段AM与与DC有何 位置关系，并加以证明 有何 位置关系，并加以证明 24、如图，在24、如图，在ABC中，过中，过C作作BAC的平分线的平分线AD的垂线，垂足为的垂线，垂足为DAD，交交BC于于 /GDE AB，交交AC于于E （1）求证： （1）求证： AECE； （2）作 ； （2）作BCA的平分线的平分线CF交交AD于于P，交，交AB于于F，求证：，求证： 1 2 PCDB； （3）在（2）的条件下，若 ； （3）在（2）的条件下，若60B，求证：，求证：AFGCAC 图 2图 1 新思维学校L3 数学团队专用七年级学生卷L3新思维学校L3 数学团队专用七年级学生卷L3成功法则：目标兴趣信心方法勤奋成功法则：目标兴趣信心方法勤奋成功成功 追求卓越成就梦想版权所有翻印必究追求卓越成就梦想版权所有翻印必究 13 25、如图 1， 两个完全相同的三角形纸片25、如图 1， 两个完全相同的三角形纸片ABC和和DEC重合放置，其中重合放置，其中 90C， 30BE （1）操作发现：如图 2，固定 （1）操作发现：如图 2，固定ABC，使，使 DEC绕点绕点C旋转，当点旋转，当点D恰好落在恰好落在AB边上 时，填空：线段 边上 时，填空：线段DE与与AC的位置关系是的位置关系是； 设 ； 设BDC的面积为的面积为 1 S，AEC的面积为的面积为 2 S，则，则 1 S与与 2 S的数量关系是的数量关系是 （2）猜想论证：当（2）猜想论证：当 DEC绕点绕点 C旋转到如图 3 所示的位置时，请猜想（1）中旋转到如图 3 所示的位置时，请猜想（1）中 1 S与与 2 S的 数量关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由 （3）拓展探究：已知 的 数量关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由 （3）拓展探究：已知 60ABC，BD平分平分 9/ABCBDCDBCDE AB，交交 BC于点于点E（如图 4） 若在射线（如图 4） 若在射线BA上存在点上存在点 F， 使， 使 DCFBDE SS ， 请求相应的， 请求相应的BF 的长的长 26、探索与证明： （1）如图 14-1，直线 26、探索与证明： （1）如图 14-1，直线m经过正三角形经过正三角形ABC的顶点的顶点A，在直线，在直线m上取两点上取两点,D E，使得，使得 60ADE，60AEC通过观察或测量，猜想线段通过观察或测量，猜想线段BD，CE与与DE之间满 足的数量关系，并予以证明； （2）将（1）中的直线 之间满 足的数量关系，并予以证明； （2）将（1）中的直线m绕着点绕着点A逆时针方向旋转一个角度到如图 14-2 的位置，并使逆时针方向旋转一个角度到如图 14-2 的位置，并使 120 ,120ADBAEC 通过观察或测量，猜想线段通过观察或测量，猜想线段BD，CE与与DE之间满 足的数量关系，并予以证明 之间满 足的数量关系，并予以证明 新思维学校L3 数学团队专用七年级学生卷L3新思维学校L3 数学团队专用七年级学生卷L3成功法则：目标兴趣信心方法勤奋成功法则：目标兴趣信心方法勤奋成功成功 追求卓越成就梦想版权所有翻印必究追求卓越成就梦想版权所有翻印必究 14 27、在等腰直角三角形27、在等腰直角三角形ABC中，中，90BAC，ABAC，直线，直线MN过点过点A且且MNBC， 过点 ， 过点B为一锐角顶点作为一锐角顶点作Rt BDE，90BDE，且点，且点D在直线在直线MN上（不与点上（不与点A重合） ， 如图 1， 重合） ， 如图 1，DE与与AC交于点交于点P，易证：，易证：BDDP（无需写证明过程） （1） 在图 2 中， （无需写证明过程） （1） 在图 2 中，DE与与CA延长线交于点延长线交于点P，BDDP是否成立？如果成立， 请给予证明； 如果不成立，请说明理由； （2）在图 3 中， 是否成立？如果成立， 请给予证明； 如果不成立，请说明理由； （2）在图 3 中，DE与与DE延长线交于点延长线交于点P，,BD DP是否相等？请直接写出你的结论， 无需证明 是否相等？请直接写出你的结论， 无需证明 28、已知28、已知ABC为等边三角形，点为等边三角形，点D为直线为直线BC上的一动点（点上的一动点（点D不与不与CB、重合） ，以重合） ，以AD为 边作菱形 为 边作菱形ADEF（FEDA、按逆时针） ，使按逆时针） ，使,60DAF连接连接CF （1）如图 1，当点 （1）如图 1，当点D在边在边BC上时求证：上时求证：CFBD ；CDCFAC； （2）如图 2，当点 ； （2）如图 2，当点D在边在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论的延长线上且其他条件不变时，结论CDCFAC是否成 立？若不成立，请写出 是否成 立？若不成立，请写出CDCFAC、之间存在的数量关系，并说明理由； （3）如图 3，当点 之间存在的数量关系，并说明理由； （3）如图 3，当点D在边在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出 CDCFAC、之间存在的数量关系之间存在的数量关系 新思维学校L3 数学团队专用七年级学生卷L3新思维学校L3 数学团队专用七年级学生卷L3成功法则：目标兴趣信心方法勤奋成功法则：目标兴趣信心方法勤奋成功成功 追求卓越成就梦想版权所有翻印必究追求卓越成就梦想版权所有翻印必究 15 29、（1） 如图 1， 现有一正方形29、（1） 如图 1， 现有一正方形ABCD， 将三角尺的指直角顶点放在， 将三角尺的指直角顶点放在A点处， 两条直角边也与点处， 两条直角边也与CB 的延长线、的延长线、DC分别交于点分别交于点FE、请你通过观察、测量，判断请你通过观察、测量，判断AF与与AE之间的数量 关系，并说明理由 （2）将三角尺沿对角线平移到图 2 的位置， 之间的数量 关系，并说明理由 （2）将三角尺沿对角线平移到图 2 的位置，PFPE、之间有怎样的数量关系，并说明理由 （3）如果将三角尺旋转到图 3 的位置， 之间有怎样的数量关系，并说明理由 （3）如果将三角尺旋转到图 3 的位置，PFPE、之间是否还具有（2）中的数量关系？如果 有，请说明理由；如果没有，那么点 之间是否还具有（2）中的数量关系？如果 有，请说明理由；如果没有，那么点P在在AC的什么位置时，的什么位置时，PFPE、才具有（2）中 的数量关系 才具有（2）中 的数量关系 30、如图30、如图a, ,CEF和和ABC是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C,连接,连接 BEAF、 （1）线段 （1）线段BE和和AF有怎样的大小关系?请证明你的结论； （2）将图 有怎样的大小关系?请证明你的结论； （2）将图a中的中的CEF绕点绕点C旋转一定的角度，得到图旋转一定的角度，得到图b，(1)中的结论还成立吗?作出判 断并说明理由； （3）若将图 ，(1)中的结论还成立吗?作出判 断并说明理由； （3）若将图a中的中的ABC绕点绕点C旋转一定的角度，请你画山一个变换后的图形旋转一定的角度，请你画山一个变换后的图形c（草图即 可） ，(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由； （草图即 可） ，(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由； （4）根据以上证明、说理、画图，归纳你的发现（4）根据以上证明、说理、画图，归纳你的发现 新思维学校L3 数学团队专用七年级学生卷L3新思维学校L3 数学团队专用七年级学生卷L3成功法则：目标兴趣信心方法勤奋成功法则：目标兴趣信心方法勤奋成功成功 追求卓越成就梦想版权所有翻印必究追求卓越成就梦想版权所有翻印必究 16 31、如图 14-1，31、如图 14-1，ABC中，中，BC边在直线边在直线l上，上，EFPBCACBCAC,的边的边FP也在直线也在直线l 上，边上，边EF与与AC重合，且重合，且FPEF （1）在图 14-1 中，请你通过观察、测量，猜想并写出 （1）在图 14-1 中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与与AP所满足的数量关系和位置 关系； （2） 将 所满足的数量关系和位置 关系； （2） 将EFP沿直线沿直线l向左平移到图 14-2 的位置时,向左平移到图 14-2 的位置时,EP交交AC于点于点Q,连接,连接BQAP,猜想 并写出 ,猜想 并写出AP与与BQ所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想； （3） 将（3） 将EFP沿直线沿直线l向左平移到图 14-3 的位置时，向左平移到图 14-3 的位置时，EP的延长线交的延长线交AC的延长线于点的延长线于点Q， 连接 ， 连接BQAP、 你认为 （2） 中所猜想的 你认为 （2） 中所猜想的AP与与BQ的数量关系和位置关系还成立吗？ 若成立，给出证明；若不成立，请说明理由 的数量关系和位置关系还成立吗？ 若成立，给出证明；若不成立，请说明理由 32、如图，点32、如图，点M为锐角三角形为锐角三角形ABC内任意一点，连接内任意一点，连接CMBMAM、以以AB为一边向 外作等边三角形 为一边向 外作等边三角形ABE，将，将BM绕点绕点B逆时针旋转逆时针旋转60得到得到BN,连接,连接EN （1）求证： （1）求证：ENBAMB； （2）若 ； （2）若CMBMAM的值最小，则称点的值最小，则称点M为为ABC的费尔马点若点的费尔马点若点M为为ABC的 费尔马点，试求此时 的 费尔马点，试求此时CMABMCAMB、的度数； （3） 小翔受以上启发， 得到一个作锐角三角形费尔马点的简便方法： 如图， 分别以 的度数； （3） 小翔受以上启发， 得到一个作锐角三角形费尔马点的简便方法： 如图， 分别以ABC 的的ACAB、为一边向外作等边为一边向外作等边ABE和等边和等边ACF，连接，连接BFCE、，设交点为，设交点为M， 则点则点M为为ABC费尔马点试说明这种作法的依据费尔马点试说明这种作法的依据 新思维学校L3 数学团队专用七年级学生卷L3新思维学校L3 数学团队专用七年级学生卷L3成功法则：目标兴趣信心方法勤奋成功法则：目标兴趣信心方法勤奋成功成功 追求卓越成就梦想版权所有翻印必究追求卓越成就梦想版权所有翻印必究 17 33、如图 1，正六边形33、如图 1，正六边形ABCDEF的边长为的边长为Pa,是是BC边上一动点，过边上一动点，过P作作ABPM 交交AF于于 M，作，作CDPN交交DE于于N （1） （1）_MPN;求证：;求证：aPNPM3； （2）如图 2，点 ； （2）如图 2，点O是是AD的中点，连接的中点，连接ONOM、，求证：，求证：ONOM ； （3）如图 3，点 ； （3）如图 3，点O是是AD的中点，的中点，OG平分平分MON，判断四边形，判断四边形OMGN是否为特殊四边 形？并说明理由 是否为特殊四边 形？并说明理由 34、如图，正方形34、如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线的四个顶点分别在四条平行线 4321 ,llll上，这四条直线中相邻两条之 间的距离依次为 上，这四条直线中相邻两条之 间的距离依次为0, 0, 0, 321321 hhhhhh （1）求证： （1）求证： 31 hh ； （2）设正方形 ； （2）设正方形ABCD的面积为的面积为S，求证：，求证： 2 1 2 21 hhhS； （3）若 ； （3）若1 2 3 21 hh，当，当 1 h变化时，说明正方形变化时，说明正方形ABCD的面积为的面积为S随随 1 h的变化情况的变化情况 新思维学校L3 数学团队专用七年级学生卷L3新思维学校L3 数学团队专用七年级学生卷L3成功法则：目标兴趣信心方法勤奋成功法则：目标兴趣信心方法勤奋成功成功 追求卓越成就梦想版权所有翻印必究追求卓越成就梦想版权所有翻印必究 18 35、已知：点35、已知：点O到到ABC的两边的两边ACAB,所在直线的距离相等，且所在直线的距离相等，且OCOB （1）如图 1，若点 （1）如图 1，若点O在边在边BC上，求证：上，求证：ACAB ； （2）如图 2，若点 ； （2）如图 2，若点O在在ABC的内部，求证：的内部，求证：ACAB ； （3）若点 ； （3）若点O在在ABC的外部，的外部，ACAB 成立吗？请画出图表示成立吗？请画出图表示 36、 数学课上，张老师出示了问题：如图36、 数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形，四边形ABCD是正方形，点是正方形，点E是边是边BC的中点，的中点， 90AEF，且，且EF交正方形外角交正方形外角DCG的平行线的平行线CF于点于点F，求证：，求证：EFAE 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点的中点M，连接，连接ME，则，则ECAM ， 易证 ， 易证 ECFAME ，所以，所以 EFAE （1）请你写出说明 （1）请你写出说明AMEECF的理由； 在此基础上，同学们作了进一步的研究： （2）小颖提出：如图 的理由； 在此基础上，同学们作了进一步的研究： （2）小颖提出：如图2，如果把“点，如果把“点E是边是边BC的中点”改为“点的中点”改为“点E是边是边BC上（除上（除B， C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“EFAE ”仍然成立，你认为小 颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； （3）小华提出：如图 ”仍然成立，你认为小 颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； （3）小华提出：如图3，点，点E是是BC的延长线上（除的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变， 结论“ 点外）的任意一点，其他条件不变， 结论“EFAE ”仍然成立你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程； 如果不正确，请说明理由 ”仍然成立你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程； 如果不正确，请说明理由 新思维学校L3 数学团队专用七年级学生卷L3新思维学校L3 数学团队专用七年级学生卷L3成功法则：目标兴趣信心方法勤奋成功法则：目标兴趣信心方法勤奋成功成功 追求卓越成就梦想版权所有翻印必究追求卓越成就梦想版权所有翻印必究 19 37、如图37、如图1，已知正方形，已知正方形ABCD(正方形四条边都相等，四个角都是直角），把一个直角与正方 形叠合，使直角顶点与 (正方形四条边都相等，四个角都是直角），把一个直角与正方 形叠合，使直角顶点与A重合，当直角的一边重合，当直角的一边与与BC相交于相交于E点，另一边与点，另一边与CD的延长线 相交于 的延长线 相交于F点时 （1）证明： 点时 （1）证明：DFBE ； （2）如图 ； （2）如图2，作，作EAF的平分线交的平分线交CD于于G点，连接点，连接EG证明证明EGDGBE； （3）如图 ； （3）如图3，将图中，将图中1的“直角”改为“的“直角”改为“45EAF” ，当” ，当EAF的一边与的一边与BC的延长线 相交于 的延长线 相交于E点，另一边与点，另一边与CD的延长线相交于的延长线相交于F点，连接点，连接EF线段线段BE，DF和和EF之之 间有怎样的数量关系？并加以证明间有怎样的数量关系？并加以证明 38、如图38、如图1，在，在ABC中，中，E为为AB边上一点，以边上一点，以AE为一边作正方形为一边作正方形AEFH，点，点F在在AC上， 连接 上， 连接BF，G为为BF中点，连接中点，连接EG，CG （1）求证： （1）求证：CGEG ； （2） 将图 ； （2） 将图1中正方形中正方形AEFH绕绕A点逆时针旋转点逆时针旋转45， 如图， 如图2所示， 取所示， 取BF中点中点G， 连接， 连接EG， CG问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （3）将图 问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （3）将图1中正方形中正方形AEFH绕绕B点旋转任意角度，如图点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1） 中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明） 所示，再连接相应的线段，问（1） 中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明） 新思维学校L3 数学团队专用七年级学生卷L3新思维学校L3 数学团队专用七年级学生卷L3成功法则：目标兴趣信心方法勤奋成功法则：目标兴趣信心方法勤奋成功成功 追求卓越成就梦想版权所有翻印必究追求卓越成就梦想版权所有翻印必究 20 39、如图 1，已知正方形39、如图 1，已知正方形ABCD的边的边CD在正方形在正方形DEFG的边的边DE上，连接上，连接AEGC， （1）试猜想（1）试猜想AE与与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论 （2）将正方形 有怎样的位置关系，并证明你的结论 （2）将正方形DEFG绕点绕点D按顺时针方向旋转，使点按顺时针方向旋转，使点E落在落在BC边上，如图 2，连接边上，如图 2，连接AE 和和GC你认为(1)中的结论是否还成立？若成立，给出证明； 若不成立，请说明理由你认为(1)中的结论是否还成立？若成立，给出证明； 若不成立，请说明理由 40、已知，如图，40、已知，如图，ABC是等边三角形，过是等边三角形，过AC边上的点边上的点D作作BCDG，交，交AB于点于点G， 在 ， 在GD的延长线上取点的延长线上取点E，使，使DCDE ，连接，连接AE、BD （1）求证： （1）求证：DABAGE ； （2）过点 ； （2）过点E作作DBEF，交，交BC于点于点F，连结，连结AF，求，求AFE的度数的度数 D A BC GE F 新思维学校L3 数学团队专用七年级学生卷L3新思维学校L3 数学团队专用七年级学生卷L3成功法则：目标兴趣信心方法勤奋成功法则：目标兴趣信心方法勤奋成功成功 追求卓越成就梦想版权所有翻印必究追求卓越成就梦想版权所有翻印必究 21 41、如图 1，在41、如图 1，在ABC中，点中，点P为为BC边中点，直线边中点，直线a绕顶点绕顶点A旋转，若点旋转，若点BP、在直线在直线a的 异侧， 的 异侧，BM 直线直线a于点于点M，CN 直线直线a于点于点N，连接，连接.PMPN、 （1） 延长（1） 延长MP交交CN于点于点E（如图 2） ， 求证：（如图 2） ， 求证：BPMCPE； 求证：； 求证：PMPN； （2）若直线 ； （2）若直线a绕点绕点A旋转