2019年大庆市高三一模数学(理科).pdf

2019 年大庆市一模数学（理） 一、选择题 1. i是虚数单位，则 1 3 3 i i + = . A i .B i .C 1 .D -1 2.已知集合 2 |1Mx x=，则MN = . A |1x x .B |01xx，则满足 1 0 nn SS + 的左、友焦点，O为坐标原点，点P 在双曲线C的右支上，且满足 12 | 2|PFPF， 1 | 2|FFOP=，则双曲线C的离心力取值范 围为 . A 15 1, 2 .B 10 1, 2 .C (1, 5 .D 5 1, 2 12.函数( )(1)ln22 (1)f xaxxa a=+ ， 若有且只有两个整数 12 ,x x， 使得 1 ( )0f x， 且 2 ()0f x，则a的取值范围是 . A (1,ln3 .B (1,1 ln3 .C (0,2ln3 .D )1 ln3,1 二、填空题。 13.若两个单位向量, a b 的夹角为 120，则|2|ab+ = 14.已知变量, x y满足约束条件 10 310 10 xy xy xy + + ，则23zxy=的最大值为 15.有 1 位老师和 3 位男生，3 位女生站在一起照相，要求老师必须站在中间，与老师相邻的不能同时 为男生或女生，则这样的排法种数是 16.过抛物线 2 4yx=的焦点F的直线l与抛物线交于,A B两点，与抛物线交于C点，若B点是 AC的中点，则|AB= 三、解答题 17已知函数( )sin(-2 )2 3sin cos 2 f xxxx =+ （1）求函数( )f x的最小正周期； （2） 已知, ,a b c分别为ABC的三个内角, ,A B C的对边，ABC的面积为S，2,4ab=， () 2 C f=2，求S的值. 18.如图所示， 四棱锥PABCD中， 底面ABCD为矩形，PD 平面ABCD，4PDDC=， 2AD =，E、F分别为AB、PC的中点. （1）求证：EF平面PDA； （2）求二面角DFEC的余弦值. 19某高校在 2018 年的自主招生笔试成绩（满分 200 分）中，随机抽取 100 名考生的成绩，将这 100 名考生的成绩分成五组，得到如下的频率分布表： 组号 分组 频数 频率 第一组 )80,100 15 a 第二组 ) 100,120 25 0.25 第三组 )120,140 30 0.30 第四组 ) 140,160 b c 第五组 )160,180 10 0.10 （1）求频率分布表中, ,a b c的值，并估计全体考生的平均成绩； （2） 用分层抽样的方法从第四组、 第五组中共抽取n名考生的成绩， 且这n名考生的成绩各不相同， 已知从第五组恰好抽取了 2 名考生的成绩. 求n的值； 若专家为了进一步了解考生的综合素质，从这n个成绩对应的考试中随机抽取 3 名考生进行 面试，记这 3 名考生中成绩在第四组的人数为X，求X的分布列与数学期望. 20.已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab +=的离心率为 3 2 ，以椭圆的四个顶点为四边形的面积为 4. （1）求椭圆C的方程； （2）斜率为 2 的直线l与椭圆C交于,P Q两点，若以线段PQ为直径的圆过坐标原点O，求直线 l的方程. 21已知函数( )lnf xxxkx=. （1）若1k = ，求函数( )f x的单调区间； （2）若函数 2 ( )( )g xf xex=在()0.+上有一个零点，求k的值. 22.在直角坐标系xOy中， 曲线 1 C的参数方程是 2 3cos () 2sin x y = = 是参数， 以原点O为极点， 以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程是sin+=