2019考研数学一真题(含答案解析).pdf

第 1 页 共 14 页 2019 年考研数学年考研数学一一真题及答案解析真题及答案解析 一一、选择题选择题：18 小题小题，每小题每小题 4 分分，共共 32 分分，下列每小题给出的四个选项中下列每小题给出的四个选项中，只有一项只有一项 符合题目要求的，请将所选项前的字母填在符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸答题纸 指定位置上指定位置上. 1. 当0x时，若xxtan是与 k x是同阶无穷小，则k A. 1B.2C.3D.4 【分析与解答】答案：C 3 000 1 tantan 3 limlimlim3 kkk nnn x xxxx cck xxx 泰勒 2.设函数 ,0 ( ) ln ,0 x x x f x xx x ，则0x 是( )f x的 A.可导点，极值点B.不可导点，极值点C.可导点，非极值点D.不可导点， 非极值点 【分析与解答】答案：B 00 lim( )lim( )0(0) xx f xf xf 则函数在 0 点连续， 2 00 00 0 (0)limlim0 ln0 (0)limlim ln xx xx x xx f xx xx fx x 函数在 0 定不可导 2 ,0 ( ) ln1,0 x x fx xx 导函数在 0 点左邻域大于零， 在 0 点右邻域小于 0， 故函数左邻域单 调增，右邻域单调减，为极大值点。 3.设 n u是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是 A. 1 n n u n B. 1 1 ( 1)n n n u C. 1 1 (1) n n n u u D. 22 1 1 () nn n uu 【分析与解答】答案：D 2222222222 12132431 1 2222 1111 ()()()()() lim()lim nnnn n nn nn uuuuuuuuuu uuuu 由于 n u单调有界，极限必存在，则 2 1 lim n n u 存在，故原级数收敛，且收敛于 22 11 lim n n uu （A）的反例，取 1 ln n u n ， 1 ln n u nnn ， 这里用到 2 1 1 (ln )1 p n p p nnp 收敛 广义级数 发散 第 2 页 共 14 页 （B）的反例，取 1 n u n （C）的反例，取 1 n u n ， 1 1 1 n n u un ，对应的级数发散 4. 设函数 2 ( , ) x Q x y y ，如果对上半平面(0)y 内的任意有向光滑封闭曲线 C 都有 ( , )d( , )d0 C P x yx Q x yy ，那么函数( , )P x y可取为（） A. 2 3 x y y B. 2 3 1x yy C. 11 xy D. 1 x y 【分析与解答】答案：D 为了满足条件， 一需要函数在积分区域内没有暇点， 此题主要指的是没有使得被积函数分母 为 0 的点，注意到上半平面(0)y 时，x可以取到 0，即y轴正半轴上的点，这些点会使 得（C）选项无意义，为（C）选项的暇点，排除（C）选项。 另外为了使闭环积分为 0，需要满足 ( , )( , )Q x yP x y xy ，容易算出 2 ( , )1Q x y xy ，只有 （D）选项满足 2 ( , )1P x y yy 5.设A是 3 阶实对称矩阵，E是三阶单位矩阵， 若EAA2 2 ,且4A,则二次型AxxT 规范形为 A. 2 3 2 2 2 1 yyyB. 2 3 2 2 2 1 yyyC. 2 3 2 2 2 1 yyyD. 2 3 2 2 2 1 yyy 【分析与解答】答案：C 22 221, 2AAE，说明A的特征值只能在1, 2中选择（这一点很 重要，用化零多项式得到的特征值包含A的所有特征值，有可能会多了假根，但绝对不会 漏根） ， 再由于所有特征值之积等于行列式， 由于4A， 可知矩阵A的特征值必为1, 2, 2， 特征值两负一正，根据惯性定理，选（C） 。需要注意的是，正负号的排列顺序无所谓，比 如 2 3 2 2 2 1 yyy， 2 3 2 2 2 1 yyy也都是正确答案，正负号的顺序跟对角化时可逆变换 矩阵P中特征向量的排列顺序有关，排列顺序不同，答案形式不同。 6. 如图所示，有 3 张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程 123 (1,2,3) iiii a xa ya zd i 组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵分别记为,A A，则的秩都为 2， 第 3 页 共 14 页 则这三张平面可能的位置关系为（）. A.( )2, ( )3rrAAB.( )2, ( )2rrAA C.( )1, ( )2rrAAD.( )1, ( )1rrAA 【分析与解答】答案：A 首先需要知道的是每个方程代表一个平面，方程未知量的系数 123 (,) iii aaa构成该平面 的法向量， 可见当两个平面平行时， 法向量平行， 两个法向量线性相关， 当两个平面相交 （不 平行）时，法向量不平行，两个法向量线性无关。 看图，需要注意此时三个平面没有公共交点（虽然有三条交线，但这三条交线不是整个 方程组的解，而是两两组合后，两个方程联合起来有解，原方程组的解必须满足三个方程， 即三个平面要同时相交） ，即原方程组无界，根据解的判定，必有( )( )rrAA，另外由于 方程组两两不平行，故法向量两两无关，则( )2rA，再由于A只有 3 行，( )3rA，容 易验证选（A） 。提示：该图形说明矩阵A的 3 个行向量之间，两两无关，但整体相关。 7. 设,A B为随机事件，则( )( )P AP B的充分必要条件是 A.()( )( )P ABP AP BB.()( )( )P ABP AP B C.()()P ABP BAD.()()P ABP AB 【分析与解答】答案：C ()()( ), ()()( ) ()()()( )()( )( )( ) P ABP ABP B P BAP ABP A P ABP BAP ABP BP ABP AP BP A 8. 设随机变量X和Y相互独立，且都服从正态分布 2 ( ,)N ，则1P XY A.与无关，而与 2 有关B.与有关，而与 2 无关 C.与， 2 都有关D.与， 2 都无关 【分析与解答】答案：A X和Y动力同分布，XY消除了均值影响，取值仅有方差有关。 2 (0,2)XYN， 1 01 011 111()() 22222 XY P XYPXYP 二、填空题：二、填空题：9 14 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分，请将答案写在分，请将答案写在答题纸答题纸 指定位置上指定位置上. 9.设函数( )f u可导，(sinsin )zfyxxy，则 11 coscos zz xxyy _ 第 4 页 共 14 页 【分析与解答】答案： coscos yx xy ( )( cos ),( )(cos ) 1111 ( )( cos )( )(cos ) coscoscoscos ( )( ) coscoscoscos zz f uxyf uyx xy zz f uxyf uyx xxyyxy yxyx f uf u xyxy 10. 微分方程 2 220yyy 满足条件(0)1y的特解y _ 【分析与解答】答案：3e2 x y 2 2 2 2 2 222 22 220 22 2 ln(2) 2 (0)1ln3 ln(2)ln3ln(2)lneln323e 3e2 xx x dyyy yyydydx dxyy y dydxCyxC y yC yxyy y 11. 幂级数 1 ( 1) (2 )! n n n x n 在(0,)内的和函数( )s x _ 【分析与解答】答案：cosx 2 11 ( 1)( 1) ()cos (2 )!(2 )! nn nn nn xxx nn 12. 设为曲面 222 44(0)xyzz的上侧，则 22 44xz dxdy 【分析与解答】答案： 32 3 注意看积分微元是dxdy，而不是dS，说明这是一个第二类曲线积分，而不是第一类 曲 线 积 分 ， 直 接 带 入 积 分 即 可 ， 不 需 要 将 曲 面 往 坐 标 面 投 影 ， 即 ， 不 需 要 有 22 1 xy dSzz dxdy这种操作。 将曲面带入被积函数 2222 222 44 44 xyxy Ixz dxdyy dxdyydxdy 第 5 页 共 14 页 积分区域关于x轴对称，被积函数y是关于y的偶函数，利用偶倍奇零性质 2222 2 00 44(0) 32 22sin 3 xyxyy Iydxdyydxdydrrdr 13. 设 123 (,)A 为 3 阶矩阵，若 12 , 线性无关，且 312 2 ，则线性方程组 Ax0的通解为_ 【分析与解答】答案： T ( 1,2, 1) ,kkR 12 , 线性无关，则( )2rA， 312 2 ，则( )3rA，综上( )2rA 则Ax0的基础解析中含有 1 个向量，找到一个解向量即可，根据 312 2 可知其 系数 T ( 1,2, 1)为解，则通解可表示为 T ( 1,2, 1) ,kkR.当然，其它的答案也可是正确 答案，例如 T (1, 2,1) ,kkR或者 T (3, 6,3) ,kkR等等。 14. 设随机变量X的概率密度为 ,02 ( )2 0, x x f x 其它 ，( )F x为X的分布函数，EX为X 的数学期望，则()1P F XEX_ 【分析与解答】答案： 2 3 22 00 4 ( ) 23 x EXxf x dxxdx ，容易求得 2 0,0 ( ),02 4 1,2 x x F xx x ，则 412 3 ()1()1() 333 2 32 312 11()1 3333 P F XEXP F XP F XP X P XF 三三、解答题解答题：1523 小题小题，共共 94 分分.请将解答写在请将解答写在答题纸答题纸 指定位置上指定位置上.解答应写出文字说明解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤. 15. （本题满分 10 分）设函数( )y x是微分方程 2 2 + x yxye 满足条件(0)0y的特解 （1）求( )y x 第 6 页 共 14 页 （2）求曲线( )yy x的凹凸区间及拐点 【分析与解答】答案：凹区间为(3,0)( 3,)凸区间为(,3)(0, 3) ，拐点 有三个分别为 33 22 (0,0),(3,3),( 3, 3)ee （1）利用一阶线性微分方程的求解公式 22 22 ( )() xx xdxxdx y xeeedxCexC ，由(0)0y得，0C 则 2 2 ( ) x y xxe （2） 222 22 222 ( )(1) xxx y xex ex e 222 23 222 ( )2(1)(3 ) xxx y xxexx exx e ( )00,3, 3y xx，根据二阶导的符号，容易验证凹区间为(3,0)( 3,) 凸区间为(,3)(0, 3) ，拐点有三个分别为 33 22 (0,0),(3,3),( 3, 3)ee 16. （本题满分 10 分） 设, a b为实数，函数 22 2+zaxby在点(3,4)处的方向导数中，沿方向34 lij的方 向导数最大，最大值为 10. （1）求, a b； （2）求曲面 22 2+(0)zaxbyz的面积. 【分析与解答】答案： （1）1ab （2） 13 3 （1）函数在点(3,4)处的梯度方向即为该点方向导数最大的方向，在该方向的方向导数值 即为梯度的模长，于是先求函数的在(3,4)的梯度 (3,4) (3,4) (,)(2,2)(6 ,8 ) zz axbyab xy ， 根据方向可得到 84 63 b a （0,0ab） ，这里要求0,0ab，原因在于(6 ,8 )ab的方向 要 与( 3, 4)一 致 ， 所 以 不 仅 仅 是 平 行 还 需 要 同 向 ， 根 据 模 长 为 10 可 得 到 22 (6 )(8 )10ab，联立另式可得，1ab （2）曲面为 22 2(0)zxyz 第 7 页 共 14 页 2222 2222 :2:2 22 2 00 11 44 13 =1 4 3 xy D xyD xy sdSzz dxdyxy dxdy dr rdr 17. （本题满分 10 分） 求曲线xey x sin (0)x 与x轴之间图形的面积 【分析与解答】 1 2(1) e e 000 sinsinlimsin n xxx n Sex dxex dxex dx 设 (1) sin n x n n aex dx ，则 0 lim n i n i Sa 若n为偶数，设2nk，此时sin0x (21)(21)(21)(21) 2 2222 (21) (21)2 2 (21)(21) (21)2 22 (21)2 sincoscoscos sin sinsin sin kkkk xxxx k kkkk k kkx k kk kkxx kk kk aexdxe dxexxe dx eee dx eeexxe dx eexe (21) 2 (21)2 2 (21)2 2 2 k x k kk k kk k dx eea ee a 若n为奇数，设21nk，此时sin0x (22)(22)(22)(22) 21 (21)(21)(21)(21) (21) (22)(21) (21) (22) (22)(21) (21)(2 sincoscoscos sin sinsin kkkk xxxx k kkkk k kkx k k kkxx k aexdxe dxexxe dx eee dx eeexxe d (22) 1) (22) (22)(21) (21) (22)(21) 21 (22)(21) 21 sin 2 k k k kkx k kk k kk k x eexe dx eea ee a 第 8 页 共 14 页 (21)2(22)(21) 22 +1 000 (21)2(22) 0 2(22) 0 2 2 2 0 limlim(+)lim 2 1 lim2 2 1 lim(21) 2 21lim 2 kkkk nnn ikk nnn ikk n kkk n k n k n k n k n k eeee Saaa eee eee ee e e 其中 2 0 lim n k n k e 为一个等比级数，首项为 1，公比为 2 1e 则 2 2 0 1 lim 1 n k n k e e 则， 222 222 21121(1)1 21222(1)(1)2(1) eeeeee S eeeeee 18. （本题满分 10 分） 设 1 2 0 1(0,1,2) n n axx dx n （1）证明数列 n a单调递减，且 2 1 (2,3) 2 nn n aan n （2）求 1 lim n x n a a 【分析与解答】 （1） 111 21212 1 000 1111 nnn nn axx dxx xx dxxx dx a 则数列 n a单调递减 接下来的证明有多种方法： 法一：用分部积分法 第 9 页 共 14 页 2 111 212122 000 1 333 11 121222 222 00 0 3 11 22222 2 00 1 2222 0 1 111(1) 22 1 211 (1)(1)(1) (1) 2 333 11 (1)(1)1(1) 33 11 11() 33 nnn n nnn nn nn x axx dxxx dxx dx xdxxxxnxdx n nxxdxxxxdx nn x xdxxxx 1 2 0 2 2 11 33 1 2 nn nn dx nn aa n aa n 法二：用三角代换 sin 1 22 22 000 22 222 000 1sincos cotsincos sin(1 sin)sinsin 135+1135 24+224 +1135 (1) +224 xt nnn n nnn axx dxtttdtttdt tt dttdttdt nnnnnnn nnnnnnn nnnn nnnn 华里士 1135 +224 nnn nnnn sin 1 22222 22 -2 000 222 222 000 1sincos cotsincos sin(1 sin)sinsin 357135 24624 1357 (1) 24 xt nnn n nnn axx dxtttdtttdt tt dttdttdt nnnnnn nnnnnn nnnn nnnn 华里士 6 1357 246 nnn n nnn 则 2 113511 1+224+2 11357 2 246 n n nnnn annnnnnn nnnan nn nnn ，得证 第 10 页 共 14 页 （2）由第一问知 2 1 2 n n an an ，则 2 1 limlim1 2 n xx n an an 法一：由于数列 n a单调递减，则 1 1 n n a a ，则 1 lim1 n x n a a 而 12 nn nn aa aa ，则 12 limlim1 nn xx nn aa aa 综上， 1 lim1 n x n a a 法二：设 2 1 12122 2 2 111 limlimlimlim 11 nnnnn xxxx n nnnnn n aaaaa A a aaaaaAA a AA 19. 设是由锥面 222 ()(1) (01)xyzzz与平面0z 围成的椎体，求形心坐 标。 【分析与解答】 222 11 2 00 ()(1) (1) 3 xy zz Vdxdydzdzdxdyz dz 222 11 2 00 ()(1) (1) 12 xy zz zdxdydzzdzdxdyzz dz 令1 1 xu yvw zw ，对应的雅克比系数 ( , , ) 1 ( , , ) x y z u v w 222 222222 01 11 2 00 01 ( , , ) (1) ( , , ) (1)(1)(1) 12 uvw w uvwuvw w x y z ydxdydzvwdudvdw u v w w dudvdww dwdudvw w dw , 44 zdxdydzydxdydz zy VV 形心坐标为(0,) 4 4 第 11 页 共 14 页 20. 设向量组 123 111 2 ,3 , 123 a 为 3 R的一个基， 1 1 1 在这组基下的坐标 T ( , ,1)b c （1）求, ,a b c （2）求 23 , 到 123 , 的过渡矩阵 【分析与解答】 （1） 123 , 线性无关，行列式不为 0，可得4a 再由 123 bc可得 113 2312 2312 bca bcab bcc （3）过渡矩阵 1 23123 110 1 (, ) (,)01 2 1 00 2 21.（本题满分 11 分） 已知矩阵 221 22 002 x A与 210 010 00y B相似， （1）求;, yx （2）求可逆矩阵P使得 1 P APB 【分析与解答】答案： （1）2, 3yx（2） （ 1 ） 两 个 矩 阵 相 似( )( )41trtrxy AB，482xy AB， 则 2, 3yx （2） 221 232 002 A 210 010 002 B 思路： 第 12 页 共 14 页 1 111111 11222112 1 22 11111 121212 (),= QAQ QAQQBQQ QAQQB QBQ QQAQQBP APBP QQ 令为 则 容易求得B的特征值为 2，-1，2 对 应 的 特 征 向 量 分 别 为 TTT 123 ( 1,2,0) ,( 2,1,0) ,( 1,2,4) , ， 令 1122 (,)Q , 1 11 2 1 2 QAQ 同理，求 1 22 QBQ，最终 1 12 111 =212 004 P QQ 22.设随机变量X与Y相互独立，X服从参数为 1 的指数分布，Y的概率分布为 (1), (1)1,(01)P Yp P Ypp ，令ZXY （1）求Z的概率密度； （2）p为何值时，X与Z不相关； （3）X与Z是否相互独立？ 【分析与解答】 （1） 1,0; ( ) 0,0, x X ex Fx x ( )()()(1) (1)(1) (1) ()(1) () ()(1) () 1()(1)( ) ,0 (1)(1),0 Z XX z z FzP ZzP XYzP YP XYz YP YP XYz Y pPXzp P Xz pP Xzp P Xz pFzp Fz pez ppez ,0 ( )( ) (1),0 z ZZ z pez fzFz p ez （2） 2 22 cov(,)()() ( )()() () () ( )()( ) () ( )1 (1)1 2 X ZE XZE X E ZE