2020中考数学：-几何与函数问题专题复习.pdf

1 2 2020020 中考数学专题讲座中考数学专题讲座 几何与函数问题几何与函数问题 【知识纵横知识纵横】 客观世界中事物总是相互关联、相互制约的。几何与函数问题 就是从量和形的侧面去描述客观世界的运动变化、 相互联系和相互制 约性。函数与几何的综合题，对考查学生的双基和探索能力有一定的 代表性，通过几何图形的两个变量之间的关系建立函数关系式，进一 步研究几何的性质，沟通函数与几何的有机联系，可以培养学生的数 形结合的思想方法。 【典型例题典型例题】 【例例 1 1】已知24ABAD，90DAB ，ADBC（如图） E是射线BC上 的动点（点E与点B不重合） ，M是线段DE的中点 （1）设BEx，ABM的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义 域； （2）如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长； （3） 联结BD， 交线段AM于点N， 如果以AND， ，为顶点的三角形与BME相似， 求线段BE的长 【思路点拨】 （1）取AB中点H，联结MH； （2）先求出 DE; （3）分二种情况讨 论。 【例例 2 2】 （山东青岛山东青岛）已知：如图（1） ，在RtACB中，90C ，4cmAC ， 3cmBC ，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为 1cm/s；点Q由A出发沿 AC方向向点C匀速运动，速度为 2cm/s；连接PQ若设运动的时间为(s)t（02t ） ， 解答下列问题： （1）当t为何值时，PQBC？ （2）设AQP的面积为y（ 2 cm） ，求y与t之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把RtACB的周长和面积同时平分？若存在， 求出此时t的值；若不存在，说明理由； （4）如图（2） ，连接PC，并把PQC沿QC翻折，得到四边形PQP C，那么是否存在 某一时刻t，使四边形PQP C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理 B A D M E CB A D C 备用图 P B A Q C P B 2 由 图（1）图（2） 【思路点拨】 （1）设 BP 为t，则AQ= 2t，证APQABC； （2）过点P作PHAC 于H （3）构建方程模型，求t；（4）过点P作PMAC于，PNBC于N，若四边形PQPC 是菱形，那么构建方程模型后，能找到对应t的值。 【例例 3 3】 （山东德州山东德州）如图（1）,在ABC中，A90，AB4，AC3，M是AB上的 动点（不与A，B重合） ，过M点作MNBC交AC于点N以MN为直径作O，并在O内作 内接矩形AMPN令AMx （1）用含x的代数式表示NP的面积S； （2）当x为何值时，O与直线BC相切？ （3）在动点M的运动过程中，记NP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的 函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？ 图（1）图（2）图（3） 【思路点拨】 （1）证AMN ABC； （2）设直线BC与O相切于点D，连结AO，OD， 先求出 OD（用x的代数式表示） ，再过M点作MQBC于Q，证BMQBCA；（3）先找到 图形娈化的分界点，x2。然后 分两种情况讨论求y的最大值： 当 0x2 时， 当 2x4 时。 A B C MN D O A B C M N P O A B C MN P O P 3 【学力训练学力训练】 1、 （山东威海山东威海）如图，在梯形ABCD中，ABCD，AB7，CD1，ADBC5点 M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MNAB，MEAB，NFAB，垂足分别为E，F （1）求梯形ABCD的面积； （2）求四边形MEFN面积的最大值 （3）试判断四边形MEFN能否为正方形，若能， 求出正方形MEFN的面积；若不能，请说明理由 2、 （浙江温州市浙江温州市）如图，在RtABC中，90A ， 6AB ，8AC ，DE，分 别是边ABAC，的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQBC于Q，过 点Q作QRBA交AC于R， 当点Q与点C重合时， 点P停止运动 设BQx，QRy （1）求点D到BC的距离DH的长； （2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围） ； （3）是否存在点P，使PQR为等腰三角形？若存在， 请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由 3、 （湖南郴州湖南郴州）如图，平行四边形ABCD中，AB5，BC10，BC边上的高AM=4，E为BC 边上的一个动点（不与B、C重合） 过E作直线AB的垂线，垂足为FFE与DC的延长线 相交于点G，连结DE，DF （1） 求证：BEFCEG （2） 当点E在线段BC上运动时，BEF和 CEG的周长之间有什么关系？并说明你的理由 （3）设BEx，DEF的面积为y，请你求 出y和x之间的函数关系式，并求出当x为何 值时,y有最大值，最大值是多少？ 4、 （浙江台州浙江台州）如图，在矩形ABCD中，9AB ，3 3AD ，点P是边BC上 的动点（点P不与点B，点C重合） ，过点P作直线PQBD，交CD边于Q点，再把 PQC沿着动直线PQ对折，点C的对应点是R点，设CP的长度为x，PQR与矩形 ABCD重叠部分的面积为y M B D C E F G x A CD ABEF N M A BC D E R P H Q 4 （1）求CQP的度数； （2）当x取何值时，点R落在矩形ABCD的AB边上？ （3）求y与x之间的函数关系式； 当x取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的 7 27 ？ D Q C B P R AB A DC （备用图 1） B A DC （备用图 2） 几何与函数问题的参考答案几何与函数问题的参考答案 【典型例题典型例题】 【例例 1 1】 （上海市上海市） （1）取AB中点H，联结MH， M为DE的中点，MHBE， 1 () 2 MHBEAD 又ABBE，MHAB 1 2 ABM SAB MH ，得 1 2(0) 2 yxx； （2）由已知得 22 (4)2DEx 以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切， 11 22 MHABDE，即 22 11 (4)2(4)2 22 xx 解得 4 3 x ，即线段BE的长为 4 3 ； （3）由已知，以AND， ，为顶点的三角形与BME相似， 又易证得DAMEBM 由此可知， 另一对对应角相等有两种情况： ADNBEM； ADBBME 当ADNBEM时，ADBE，ADNDBEDBEBEM DBDE，易得2BEAD得8BE ； 当ADBBME 时，ADBE，ADBDBE DBEBME 又BEDMEB ，BEDMEB DEBE BEEM ，即 2 BEEM DE，得 22222 1 2(4)2(4) 2 xxx 5 解得 1 2x ， 2 10x （舍去） 即线段BE的长为 2 综上所述，所求线段BE的长为 8 或 2 【例例 2 2】 （山东青岛山东青岛） （1）在 RtABC中，5 22 ACBCAB， 由题意知：AP= 5t，AQ= 2t， 若PQBC，则APQABC， AC AQ AB AP ， 5 5 4 2tt ， 7 10 t （2）过点P作PHAC于H APHABC， BC PH AB AP ， 3 PH 5 5t ，tPH 5 3 3， ttttPHAQy3 5 3 ) 5 3 3(2 2 1 2 1 2 （3）若PQ把ABC周长平分，则AP+AQ=BP+BC+CQ )24(32)5(tttt，解得：1t 若PQ把ABC面积平分，则 ABCAPQ SS 2 1 ，即 2 5 3 t3t=3 t=1 代入上面方程不成立， 不存在这一时刻t，使线段PQ把 RtACB的周长和面积同时平分 （4）过点P作PMAC于，PNBC于N， 若四边形PQPC是菱形，那么PQPC PMAC于M，QM=CM PNBC于N，易知PBNABC AB BP AC PN ， 54 tPN ， 5 4t PN ， 5 4t CMQM， 42 5 4 5 4 ttt，解得： 9 10 t 当 9 10 t时，四边形PQPC是菱形 此时 3 7 5 3 3tPM， 9 8 5 4 tCM， 在 RtPMC中， 9 505 81 64 9 49 22 CMPMPC， 图 B AQ P C H P B AQ P C 图 M N 6 菱形PQPC边长为 9 505 【例例 3 3】 （山东德州山东德州） （1）MNBC，AMN=B，ANMC AMN ABC AMAN ABAC ，即 43 xAN AN 4 3 x S= 2 1 33 2 48 MNPAMN SSx xx （0x4） （2）如图（2） ，设直线BC与O相切于点D，连结AO，OD，则AO=OD= 2 1 MN 在 RtABC中，BC 22 ABAC=5 由（1）知 AMN ABC AMMN ABBC ，即 45 xMN 5 4 MNx， 5 8 ODx过M点作MQBC于Q，则 5 8 MQODx 在 RtBMQ与 RtBCA中，B是公共角， BMQBCA BMQM BCAC 5 5 25 8 324 x BMx ， 25 4 24 ABBMMAxx x 49 96 当x 49 96 时，O与直线BC相切 （3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连结AP，则O点为AP的中点 MNBC， AMN=B，AOMAPC AMO ABP 1 2 AMAO ABAP AMMB2 故以下分两种情况讨论： A B C MN D 图（ 2） O Q A B C M N P 图（3） O A B C M N P 图（1） O 7 当 0x2 时， 2 8 3 xSy PMN 当x2 时， 2 33 2. 82 y 最大 当 2x4 时，设PM，PN分别交BC于E，F 四边形AMPN是矩形， PNAM，PNAMx 又MNBC， 四边形MBFN是平行四边形 FNBM4x 424PFxxx 又PEF ACB 2 PEF ABC SPF ABS 23 2 2 PEF Sx MNPPEF ySS 2 22 339 266 828 xxxx 当 2x4 时， 2 9 66 8 yxx 2 98 2 83 x 当 8 3 x 时，满足 2x4，2y 最大 综上所述，当 8 3 x 时，y值最大，最大值是 2 【例例 3】 （山东德州山东德州） （1）MNBC，AMN=B，ANMC AMN ABC AMAN ABAC ，即 43 xAN AN 4 3 x S= 2 1 33 2 48 MNPAMN SSx xx （0x4） （2）如图（2） ，设直线 BC 与O 相切于点 D，连结 AO，OD，则 AO=OD = 2 1 MN 在 RtABC 中，BC 22 ABAC=5 由（1）知 AMN ABC A B C MN D 图（ 2） O Q A B C MN P 图（ 4） O EF 8 AMMN ABBC ，即 45 xMN 5 4 MNx， 5 8 ODx过 M 点作 MQBC 于 Q，则 5 8 MQODx 在 RtBMQ 与 RtBCA 中，B 是公共角， BMQBCA BMQM BCAC 5 5 25 8 324 x BMx ， 25 4 24 ABBMMAxx x 49 96 当 x 49 96 时，O 与直线 BC 相切 （3）随点 M 的运动，当 P 点落在直线 BC 上时，连结 AP，则 O 点为 AP 的中点 MNBC， AMN=B，AOMAPC AMO ABP 1 2 AMAO ABAP AMMB2 故以下分两种情况讨论： 当 0x2 时， 2 8 3 xSy PMN 当x2 时， 2 33 2. 82 y 最大 当 2x4 时，设 PM，PN 分别交 BC 于 E，F 四边形 AMPN 是矩形， PNAM，PNAMx 又 MNBC， 四边形 MBFN 是平行四边形 FNBM4x 424PFxxx 又PEF ACB 2 PEF ABC SPF ABS 23 2 2 PEF Sx A B C MN P 图（ 4） O EF A B C M N P 图（3） O A B C M N P 图（1） O 9 MNPPEF ySS 2 22 339 266 828 xxxx 当 2x4 时， 2 9 66 8 yxx 2 98 2 83 x 当 8 3 x 时，满足 2x4，2y 最大 综上所述，当 8 3 x 时，y值最大，最大值是 2 【学力训练学力训练】 1、 （山东威海山东威海） （1）分别过 D，C 两点作 DGAB 于点 G，CHAB 于点 H ABCD， DGCH，DGCH 四边形 DGHC 为矩形，GHCD1 DGCH，ADBC，AGDBHC90， AGDBHC（HL） AGBH 2 17 2 GHAB 3 在 RtAGD 中，AG3，AD5， DG4 1 74 16 2 ABCD S 梯形 （2） MNAB，MEAB，NFAB， MENF，MENF 四边形 MEFN 为矩形 ABCD，ADBC， AB MENF，MEANFB90， MEANFB（AAS） AEBF 设 AEx，则 EF72x AA，MEADGA90， MEADGA CD ABEF N M GH CD ABEF N M GH 10 DG ME AG AE MEx 3 4 6 49 4 7 3 8 )2(7 3 4 2 xxxEFMES MEFN矩形 当 x 4 7 时，ME 3 7 4，四边形 MEFN 面积的最大值为 6 49 （3）能 由（2）可知，设 AEx，则 EF72x，MEx 3 4 若四边形 MEFN 为正方形，则 MEEF 即 3 4x 72x解，得 10 21 x EF 2114 7272 105 x 4 四边形MEFN能为正方形，其面积为 25 196 5 14 2 MEFN S正方形 2 2、 （浙江温州市浙江温州市） （1）RtA，6AB ，8AC ，10BC 点D为AB中点， 1 3 2 BDAB 90DHBA ，BB BHDBAC， DHBD ACBC ， 312 8 105 BD DHAC BC （2）QRAB，90QRCA CC ，RQCABC， RQQC ABBC ， 10 610 yx ， 即y关于x的函数关系式为： 3 6 5 yx （3）存在，分三种情况： 当PQPR时，过点P作PMQR于M，则QMRM 1290 ，290C ， 1C A BC D E R P H Q M 2 1 11 84 cos 1cos 105 C ， 4 5 QM QP ， 13 6 425 12 5 5 x ， 18 5 x 当PQRQ时， 312 6 55 x， 6x 当PRQR时，则R为PQ中垂线上的点， 于是点R为EC的中点， 11 2 24 CRCEAC tan QRBA C CRCA ， 3 6 6 5 28 x ， 15 2 x 综上所述，当x为 18 5 或 6 或 15 2 时，PQR为等腰三角形 3、 （湖南郴州湖南郴州） （1）因为四边形ABCD是平行四边形， 所以ABDG 所以,BGCEGBFE 所以BEFCEG （2）BEFCEG与的周长之和为定值理由一： 过点C作FG的平行线交直线AB于H， 因为GFAB，所以四边形FHCG为矩形所以FHCG，FGCH 因此，BEFCEG与的周长之和等于BCCHBH 由BC10，AB5，AM4，可得CH8，BH6， 所以BCCHBH24 理由二： 由AB5，AM4，可知 在 RtBEF与 RtGCE中，有： A M x H G F E D CB A BC D E R P H Q A BC D E R P H Q 12 4343 , 5555 EFBEBFBEGEECGCCE， 所以，BEF的周长是 12 5 BE， ECG的周长是 12 5 CE 又BECE10，因此BEFCEG与的周长之和是 24 （3）设BEx，则 43 ,(10) 55 EFxGCx 所以 2 11 43622 (10)5 22 55255 yEF DGxxxx 配方得： 2 655121 () 2566 yx 所以，当 55 6 x 时，y有最大值最大值为 121 6 4、 （浙江台州浙江台州） （1）如图，四边形ABCD是矩形，ABCDADBC， 又9AB ，3 3AD ，90C ， 9CD，3 3BC 3 tan 3 BC CDB CD ，30CD