随机信号分析课后答案赵淑清郑薇著哈尔滨工业大学出版社.pdf

第一次作业：练习一之 1、2、3 题 1.1 离散随机变量 X 由 0，1，2，3 四个样本组成，相当于四元通信中的四个电平，四 个样本的取值概率顺序为 1/2，1/4，1/8，和 1/8。求随机变量的数学期望和方差。 解：875. 0 8 7 8 1 3 8 1 2 4 1 1 2 1 0)( 4 1 =+= = i i i xXPxXE 8 1 ) 8 7 3( 8 1 ) 8 7 2( 4 1 ) 8 7 1 ( 2 1 ) 8 7 0()( 222 4 1 22 += =i ii PXExXD 109. 1 64 71 = 1.2 设连续随机变量 X 的概率分布函数为 =aaxu a xa xu a x xF 解： （1） = 00 0e1 )( 2 x x xF x 当时，对于，有，是单调非减函数； 0x 12 xx )()( 12 xFxF)(xF 1)(0xF成立； )()(xFxF= + 也成立。 所以，是连续随机变量的概率分布函数。 )(xF 求得， = 00 0 2 1 )( )( 2 x xe dx xdF xf x （2） =aaxuxu a x xF 上式可改写为0 0 0)()( )( )()( 12 xFxF 所以，不是连续随机变量的概率分布函数。 )(xF （4）0)()()( =aaxu a xa xu a x xF 0)()()(+=aaxuaxuxu a x 0 1 2 0 1 00 =aaxu a xa xu a x xF 解： （1） = 00 0e1 )( 2 x x xF x 当时，对于，有，是单调非减函数； 0x 12 xx )()( 12 xFxF)(xF 1)(0xF成立； )()(xFxF= + 也成立。 所以，是连续随机变量的概率分布函数。 )(xF 求得， = 00 0 2 1 )( )( 2 x xe dx xdF xf x （2） =aaxuxu a x xF 上式可改写为0 0 0)()( )( )()( 12 xFxF 所以，不是连续随机变量的概率分布函数。 )(xF （4）0)()()( =aaxu a xa xu a x xF 0)()()(+=aaxuaxuxu a x 0 1 2 0 1 00 =a xax a axx a x 当xa 时，不满足，所以不是连续随机变量的概率分布函数。 1)(0xF)(xF 1.4 随机变量X在，上均匀分布，求它的数学期望和方差。 解：因X在，上均匀分布 = 其他 下 0 1 )(xf + = = 2 dd )(E - x x xxxfX )2( 3 1 dd )(E 22 2 - 22 += = x x xxfxX 222 - 2 )( 12 1 )XE(XEd )()XE(D= xxfxX 1.5 设随机变量 X 的概率密度为，求 Y=5X+1 的概率密度函数。 = 其他0 101 )( x xfX 解：反函数 X = h(y) = (Y-1)/5 h(y) = 1/5 1y6 fY (y) = fX (h(y)h(y)= 1 1/5 = 1/5 于是有 = 其他0 615/1 )( y yfY 1.7 设随机变量 X 的数学期望和方差分别为 m 和，求随机变量23=XY的数学期望、方差及 X 和 Y 的相关矩。 解：数学期望： 23=mYE 方差： =90)3( 2 YD 23)23( 2 XXEXXEXYERXY= 222 )(mXEXDXE+=+= 相关矩： mmRXY233 2 = 1.11 随机变量X,Y的联合概率密度为 2 ,0)sin(),( +=yxyxAyxfXY 求： （1）系数A； （2）X,Y的数学期望； （3）X,Y的方差； （4）X,Y的相关矩及相关系数。 解： （1） +=+= 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 sincoscossin)sin(),( ydyxdxAydyxdxAdxdyyxAdxdyyxfXY 12=A 2 1 =A （2）ydyxydyxdyyxdyyxfxf XYX sincos 2 1 cossin 2 1 )sin( 2 1 ),()( 2 0 2 0 2 0 +=+= )cos(sin 2 1 xx += 同理 )cos(sin 2 1 )(yyxfY+= +=+=+= 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 sin 2 1 cos 2 1 cos 2 1 sin 2 1 )cos(sin 2 1 yydyydydyyydyydyyyymm YX += 2 0 2 0 sin 2 1 0 2 sin 2 1 cos 2 1 0 2 cos 2 1 ydyyyydyyy 4 = （3） +=+= 2 0 2 0 22 ) 4 cos() 4 ( 2 2 )cos(sin 2 1 ) 4 ( ydydyyyyYDXD dyyyyy += 2 0 2 ) 4 cos() 4 (2 2 2 0 2 ) 4 cos() 4 ( 2 2 += 2 0 2 ) 4 sin() 4 (2 16 ydy ydyyy += 2 0 2 ) 4 sin(2 0 2 ) 4 sin() 4 (2 16 2 216 2 += （4）相关矩 =+= 2 0 2 0 2 0 2 0 1 2 )sin( 2 1 ),( dxdyyxxydxdyyxxyfXYER XYXY 协方差1 162 2 = YEXERC XYXY 相关系数 328 168 2 2 + + = YX XY XY C r 1.14 求概率密度为 x X exf = 2 1 )(的随机变量X的特征函数。 解： =dxexf xj XX )()( =dxee xj x 2 1 利用傅氏变换： x e + 2 22 2 1 1 )( + = X 2.1 随机过程tBtAtXsincos)(+=，其中为常数，A、B是两个相互独立的高斯变量，并且 ，。求X(t)的数学期望和自相关函数。 0=BEAE 222 =BEAE 解： sincossincos)(tBEtAEtBtAEtXE+=+= tBEtAEsincos+= 0= （） 0=BEAE )sincos)(sincos()()(),( 22112121 tBtAtBtAEtXtXEttRX+= sinsincossinsincoscoscos 21 2 212121 2 ttBttABttABttAE+= 21 2 212121 2 sinsincossinsincoscoscosttBEttBEAEttBEAEttAE+= 21 2 21 2 sinsincoscosttBEttAE+= （） 22 )(XEXDXE+= )(cos 12 2 tt = )(cos 2 = （ 12 tt =） 2.4 判断随机过程)cos()(tAtX+=是否平稳？其中为常数，A、分别为均匀分布和瑞利分布的随 机变量，且相互独立。 20 2 1 )(= ae a af a A 解： 0 2 1 )cos()cos( 2 0 =+=+ dttE 0)cos()cos()(=+=+=tEAEtAEtXE cos)22cos( 2 1 )(cos)cos(),( 22 +=+=+tEAEttAEttRX cos 2 1 2 AE= 与时间的起点无关，且 )( 2 tXE 因此，是广义平稳的随机过程。 2.6 有三个样本函数ttxttxtxsin3)(,cos2)(, 2)( 321 =组成的随机过程，每个样本函数发生的概率 相等，是否满足严平稳或宽平稳的条件？ )(tX 解： sin3 ,cos2 , 2)(),(),()( 321 tttxtxtxtX= 3 1 321 =PPP = += 3 1 )sin3cos22( 3 1 )()( i ii ttPtxtXE 由于数学期望与时间相关，不为常数，因此不满足一阶平稳，也就不满足严平稳或宽平稳的条件。 2.7 已知随机过程)cos()(tAtX+=，为在2 , 0内均匀分布的随机变量，A可能是常数、时间函 数或随机变量。A满足什么条件时，是各态历经过程？ )(tX 解： （1）考查为平稳过程的条件 )(tX 在A为常数或与不相关的随机变量时，满足 )(cos)cos()()(),( 0)( 2 ttAEtXtXEttR tXE X +=+=+ = cos)22cos( 2 1 2 EtEAE+= cos 2 1 2 AE= )( X R= （2）考查为各态历经过程的条件 )(tX 在A为常数或与不相关的随机变量时，满足 )(coslim)cos( 2 1 lim)( 2 1 lim)(tXE0Tsin T A dttA T dttX T tX T T T T T T T =+= 而 +=+=+ T T T T T T dtttA T dttXtX T tXtX)(cos)cos( 2 1 lim)()( 2 1 lim)()( 2 += T T T dtt A T cos)22cos( 22 1 lim 2 cos 2 2 A = 只有在A为常数时，满足=+ )()(tXtX)( X R。 欲使是各态历经过程，A必为常数。 )(tX 2.8 设和是相互独立的平稳随机过程，他们的乘积是否平稳？ )(tX)(tY 解：令 )()()(tYtXtZ= YXm mtYEtXEtYtXEtZE=)()()()()( )()()()()()()( )()()()(),( ZYX Z RRRtYtYEtXtXE tYtXtYtXEttR =+= +=+ 又 =)()()( 222 tYtXEtZE )(tX和的乘积是平稳的。 )(tY 2.9 求用自相关函数及功率谱密度表示的)(tX)cos()()( 0 ttXtY+=的自相关函数及功率谱密度。其 中，为在2 , 0内均匀分布的随机变量，是与相互独立的随机过程。 )(tX 解：)(cos)()cos()()()(),( 00 ttXttXEtYtYEttRY+=+=+ )(cos)cos()()( 00 ttEtXtXE+= 0 cos)( 2 1 X R= )( Y R= )()( 4 1 )( 4 1 )( 4 1 cos)( 2 1 )()( 00 )()( 0 00 00 += += += = + XX jj X jjj X j X j YY SS deeR deeeR deRdeRS 2.10 平稳高斯过程的自相关函数为)(tX =eRX 2 1 )(，求的一维和二维概率密度。 )(tX 解：0 2 1 lim)(lim)( 2 = eRRm XXX 0= X m 2 1 )()0( 2 = XXX RR （1）的一维概率密度： )(tX 2 2 1 2 1 2 1 ),( 2 1 2 x x X eetxf = = （2）平稳高斯过程n维概率密度等于n个以为概率密度的乘积。 2 2 2121 1 ),;,( x X ettxxf = 2.11 对于两个零均值联合平稳随机过程和，已知，说明下列函数是否可能为他 们的自相关函数，并说明原因。 )(tX)(tY10, 5 22 = YX 3 3 )(5)()5( 46)()3( )6cos()() 1 ( 2 = += = euR eR eR X Y Y = = = eR R R X X Y 5)()6( )5sin(5)()4( 3 )3sin( 5)()2( 2 解： （a）自相关函数是偶函数，仅有(1)、(2)、(3)、(6)满足； （b）)()0( XX RR， （a）中仅有(2)、(3)、(6)满足； （c）对于非周期平稳过程有， （b）中仅有(6)满足。 )()0( 2 = XXX RR 因此，(6)是自相关函数。 2.12 求随机相位正弦信号)cos()( 0 ttX+=的功率谱密度，为在2 , 0内均匀分布的随机变量， 0 是 常数。 解： 0 00 cos 2 1 )(cos)cos()()(),( = +=+=+ttEtXtXEttRX )()( 2 cos 2 1 )()( 00 0 += = dedeRS jj XX 2.14 由和联合平稳过程定义了一个随机过程)(tX)(tYttYttXtV 00 sin)(cos)()(+= （1）和的数学期望和自相关函数满足那些条件可使是平稳过程。 )(tX)(tY)(tV （2）将（1）的结果用到，求以和的功率谱密度和互谱密度表示的的功率谱密度。 )(tV)(tX)(tY)(tV （3）如果和不相关，那么的功率谱密度是什么？ )(tX)(tY)(tV 解： （1）ttYEttXEttYttXEtVE 0000 sin)(cos)(sin)(cos)()(+=+= 欲使与时间无关，不随时间函数)(tVEt 0 cos、 0 sint变化，和的数学期望必须是 ； )(tX)(tY 0)(, 0)(=tYEtXE )(sinsin)()(cossin)( )(sincos)()(coscos)( )(sinsin)()()(cossin)()( )(sincos)()()(coscos)()( )(sin)()(cos)(sin)(cos)( )()(),( 0000 0000 0000 0000 0000 + += + += += +=+ ttRttR ttRttR tttYtYEtttXtYE tttYtXEtttXtXE ttYttXttYttXE tVtVEttR YYX XYX V 在)()(),()( YXXYYX RRRR=时，上式可写作与时间起点无关的表达式