大学生数学竞赛真题非数学类.pdf

2009 年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题一、填空题（每小题 5 5 分，共分，共 2020 分）分） 1计算= + yx yx x y yx D dd 1 )1ln()( _，其中区域D由直线1=+ yx与两 坐标轴所围成三角形区域. 2设)(xf是连续函数，且满足 = 2 0 2 2d)(3)(xxfxxf, 则=)(xf_. 3曲面2 2 2 2 +=y x z平行平面022=+zyx的切平面方程是_. 4设函数)(xyy =由方程29ln )(yyf exe=确定，其中f具有二阶导数，且1 f ，则 = 2 2 d d x y _. 二、（5 5 分）求极限分）求极限 x e nxxx x n eee )(lim 2 0 + ，其中，其中n是给定的正整数是给定的正整数. 三、 （三、 （1515 分） 设函数分） 设函数)(xf连续，连续， = 1 0 d)()(txtfxg， 且， 且A x xf x = )( lim 0 ，A为常数， 求为常数， 求)(x g 并讨论并讨论)(x g 在在0=x处的连续性处的连续性. . 四、（四、（1515 分）已知平面区域分）已知平面区域0,0| ),(=yxyxD，L为为D的正向边界，试的正向边界，试 证：证： （1 1） = L xy L xy xyeyxexyeyxedddd sinsinsinsin ； （2 2） 2sinsin 2 5 dd L yy xyeyxe. . 五、（五、（1010 分）已知分）已知 xx exey 2 1 +=， xx exey += 2 ， xxx eexey += 2 3 是某二阶常系数是某二阶常系数 线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程. . 六、六、（1010 分）设抛物线分）设抛物线cbxaxyln2 2 +=过原点过原点. .当当10 x时时, ,0y, ,又已知该抛物又已知该抛物 线与线与x轴及直线轴及直线1=x所围图形的面积为所围图形的面积为 3 1 . .试确定试确定cba, ,使此图形绕使此图形绕x轴旋转一周而成的轴旋转一周而成的 旋转体的体积最小旋转体的体积最小. . 七、（七、（1515 分）已知分）已知)(xun满足满足), 2 , 1()()( 1 =+= nexxuxu xn nn , , 且且 n e un=) 1 (, , 求函数求函数 项级数项级数 =1 )( n n xu之和之和. . 八、（八、（1010 分）求分）求 1x时时, , 与与 =0 2 n n x等价的无穷大量等价的无穷大量. 2010 年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、（一、（2525 分，每小题分，每小题 5 5 分）分） （1）设 22 (1)(1)(1), n n xaaa=+L其中| 1,a 求lim. n n x （2）求 2 1 lim1 x x x e x + 。 （3）设0s ，求 0 (1,2,) sxn Iex dx n = L。 （4）设函数( )f t有二阶连续导数， 22 1 , ( , )rxyg x yf r =+= ，求 22 22 gg xy + 。 （5）求直线 1 0 : 0 xy l z = = 与直线 2 213 : 421 xyz l = 的距离。 二、（二、（1515 分）设函数分）设函数( )f x在在(,) +上具有二阶导数，并且上具有二阶导数，并且 ( )0, lim( )0, lim( )0, xx fxfxfx + =且存在一点且存在一点 0 x，使得，使得 0 ()0f x。 三、三、（1515 分）设函数分）设函数( )yf x=由参数方程由参数方程 2 2 (1) ( ) xtt t yt =+ = 所确定，其中所确定，其中( ) t具有二具有二 阶导数，曲线阶导数，曲线( )yt=与与 2 2 1 3 2 t u yedu e =+ 在在1t =出相切，求函数出相切，求函数( ) t。 四、（四、（1515 分）设分）设 1 0, n nnk k aSa = =证明：证明： （1 1）当）当1时，级数时，级数 1 n n n a S + = 收敛；收敛； （2 2）当）当1且且() n sn时，级数时，级数 1 n n n a S + = 发散发散。 五、（五、（1515 分）设分）设l是过原点、方向为是过原点、方向为( , , ) ，（其中，（其中 222 1)+=的直线，均匀椭的直线，均匀椭 球球 222 222 1 xyz abc +，其中（，其中（0,cba密度为密度为 1 1）绕）绕l旋转。旋转。 （1 1）求其转动惯量；）求其转动惯量； （2 2）求其转动惯量关于方向）求其转动惯量关于方向( , , ) 的最大值和最小值。的最大值和最小值。 六、六、(15(15 分分) )设函数设函数( )x具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C上，曲线上，曲线 积分积分 42 2( ) c xydxx dy xy + + 的值为常数。的值为常数。 （1 1）设）设L为正向闭曲线为正向闭曲线 22 (2)1,xy+=证明证明 42 2( ) 0; c xydxx dy xy + = + （2 2）求函数）求函数( )x； （3 3）设）设C是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求 42 2( ) c xydxx dy xy + + 。 2011 年 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一一 计算下列各题（本题共计算下列各题（本题共 3 3 小题，每小题各小题，每小题各 5 5 分，共分，共 1515 分）分） （1）.求 1 1 cos 0 sin lim x x x x ； （2）.求 111 lim. 12 n nnnn + + ； （3）已知 () 2 ln 1 arctan t t xe yte =+ = ，求 2 2 d y dx 。 二（本题二（本题 1010 分）求方程分）求方程()()2410xydxxydy+=的通解的通解。 三 （ 本 题三 （ 本 题 1515 分 ） 设 函 数分 ） 设 函 数 f(x)f(x) 在在 x=0x=0 的 某 邻 域 内 具 有 二 阶 连 续 导 数 ， 且的 某 邻 域 内 具 有 二 阶 连 续 导 数 ， 且 ( )( )( ) “ 0 ,0 ,0fff均不为均不为 0 0，证明：存在唯一一组实数，证明：存在唯一一组实数 123 ,k k k，使得，使得 ( )()()( ) 123 2 0 230 lim0 h k f hk fhk fhf h + =。 四 （ 本 题17分 ） 设 222 1 222 :1 xyz abc +=， 其 中0abc， 222 2 : zxy=+，为 1 与 2 的交线，求椭球面 1 在上各点的切平面到原点 距离的最大值和最小值。 五 （本题五 （本题 1616 分）已知分）已知 S S 是空间曲线是空间曲线 22 31 0 xy z += = 绕绕 y y 轴旋转形成的椭球面的上半部轴旋转形成的椭球面的上半部 分（分（0z ）取上侧，）取上侧，是是 S S 在在(), ,P x y z点处的切平面，点处的切平面，(), ,x y z是原点到切是原点到切 平面平面的距离，的距离，, , 表示表示 S S 的正法向的方向余弦。计算：的正法向的方向余弦。计算： （1 1） (), , S z dS x y z ；（；（2 2）()3 S zxyz dS+ 六（本题 12 分）设 f(x)是在(), +内的可微函数，且( )( )fxmf x 、 ，其 中01m， 任 取 实 数 0 a， 定 义() 1 ln,1,2,., nn af an =证 明 ： () 1 1 nn n aa = 绝对收敛。 七七（本题（本题1515分） 是否存在区间分） 是否存在区间0,2上的连续可微函数上的连续可微函数f(x)f(x)， 满足， 满足( )( )021ff=， ( )( ) 2 0 1,1fxf x dx 、 ？请说明理由。？请说明理由。 2012 年 第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、（本大题共 5 小题，每小题 6 分共 30 分）解答下列个体（要求写出要求写 出重要步骤） (1) 求极限 2 1 ) !(lim n n n (2) 求通过直线 = =+ + + + = =+ + + + 03455 0232 : zyx zyx l的两个互相垂直的平面 1 和 2 ，使其中 一个平面过点)1,3,4( 。 (3) 已知函数 byax eyxuz + + = =),(， 且0 2 = = yx u 。 确定常数a和b， 使函数),(yxzz = = 满足方程0 2 = =+ + z y z x z yx z (4) 设函数)(xuu= =连续可微，1)2(= =u，且udyuxudxyx)()2( 3 + + + + 在右半 平面与路径无关，求),(yxu。 (5) 求极限dt tt t x x xx cos sin lim 1 3 + + + + + 二、（本题 10 分）计算dxxe x sin 2 0 + + 三、求方程5012 1 sin 2 = =x x x的近似解，精确到 0.001. 四、 （本题 12 分） 设函数)(xfy = =二阶可导， 且0)( x f，0)0(= =f，0)0(= = f ， 求 uxf ufx x 3 3 0 sin)( )( lim ，其中u是曲线)(xfy = =上点)(,(xfxP处的切线在x轴 上的截距。 五、（本题 12 分） 求最小实数C， 使得满足1)( 1 0 = = dxxf的连续函数)(xf都 有 Cdxxf )( 1 0 六、（本题 12 分）设)(xf为连续函数，0 t。区域 是由抛物面 22 yxz+ += = 和球面 2222 tzyx= =+ + +)0( z所围起来的部分。定义三重积分 dvzyxftF)()( 222 + + += = 求)(tF的导数)(t F 七、（本题 14 分）设 n n a = =1 与 n n b = =1 为正项级数，证明： （1）若( () )0 1 lim 11 + + + nnn n n bba a ，则级数 n n a = =1 收敛； （2）若( () )0 1 lim 11 + + + nnn n n bba a ，且级数 n n b = =1 发散，则级数 n n a = =1 发散。 2013 年 第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、一、 解答下列各题（每小题解答下列各题（每小题 6 分共分共 24 分，要求写出重要步骤）分，要求写出重要步骤） 1.求极限 () 2 lim 1 sin14 n n n +. 2.证明广义积分 0 sin x dx x + 不是绝对收敛的 3.设函数( )yy x=由 323 322xx yy+=确定，求( )y x的极值。 4.过曲线() 3 0yx x=上的点 A 作切线， 使该切线与曲线及x轴所围成的平面图形的 面积为 3 4 ，求点 A 的坐标。 二、（满分二、（满分 12）计算定积分）计算定积分 2 sinarctan 1 cos x xxe Idx x = + 三、 （满分三、 （满分 12 分分） 设） 设( )fx在在0x =处存在二阶导数处存在二阶导数( )0 f ， 且， 且 ( ) 0 lim0 x f x x =。 证明证明 ：级数：级数 1 1 n f n = 收敛。收敛。 四、（满分四、（满分 12 分） 设分） 设( )( )(),0f xfxaxb，证明证明( ) 2 sin b a f x dx m 五、（满分五、（满分 14 分）设分）设是一个光滑封闭曲面，方向朝外。给定第二是一个光滑封闭曲面，方向朝外。给定第二 型的曲面积分型的曲面积分()()() 333 23Ixx dydzyy dzdxzz dxdy =+ 。试确定曲面。试确定曲面 ，使积分使积分I的值最小，并求该最小值。的值最小，并求该最小值。 六、（满分六、（满分 14 分）设分）设( ) () 22 aa C ydxxdy Ir xy = + ，其中其中a为常数，曲线为常数，曲线C为椭为椭 圆圆 222 xxyyr+=，取正向。求极限，取正向。求极限( )lim a r Ir + 七（满分（满分 14 分）判断级数分）判断级数 ()() 1 11 1 2 12 n n nn = + + L 的敛散性，若收敛，求其和。的敛散性，若收敛，求其和。 2014 年 全国大学生数学竞赛预赛试题 一、 填空题(共有 5 小题，每题 6 分，共 30 分) 1. 已知 x ey = 1 和 x xey = 1 是齐次二阶常系数线性微分方程的解，则该方程是_ _ 2. 设有曲面 22 2:yxzS+=和平面022:=+zyxL。 则与L平行的S的切平面方程是 _ 3. 设函数)(xyy =由方程 = xy dt t x 1 2 4 sin 所确定。求= =0x dx dy _ 4. 设 = + = n k n k k x 1 )!1( 。则= n n xlim_ 5. 已知 3 1 0 )( 1lime x xf x x x = + 。则= 2 0 )( lim x xf x _ 二、 （本题 12 分）设n为正整数，计算 = 1 2 1 lncos n e dx xdx d I。 三、 （本题 14 分）设函数)(xf在 1 , 0上有二阶导数，且有正常数BA,使得 Bxf | )( “|。证明：对任意 1 , 0x，有 2 2| )( | B Axf+。 四、 （本题 14 分）（1）设一球缺高为h，所在球半径为R。证明该球缺体积为 2 )3( 3 hhR 。 球冠面积为Rh2； （2） 设球体12) 1() 1() 1( 222 +zyx被 平面6:=+zyxP所截得小球缺为，记球冠为，方向指向球外。求第二型 曲面积分 +=zdxdyydzdxxdydzI 五、 （本题 15 分）设f在,ba上非负连续，严格单增，且存在,baxn，使得 = b a nn n dxxf ab xf)( 1 )(。求 n n x lim 六、 （本题 15 分）设 22222 21nn n n n n n An + + + + + =。求 n n An 4 lim 2015 年 第七届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题 6 分，共 5 小题，满分 30 分） （1）极限 222 2 sinsin sin lim 12 n nn n nnnn += + L . （2）设函数(),zz x y=由方程,0 zz F xy yx += 所决定，其中(),F u v具有连续偏导 数，且0 uv xFyF+。则 zz xy xy += . （ 3 ） 曲 面 22 1zxy=+在 点()1, 1,3M的 切 平 面 与 曲 面 所 围 区 域 的 体 积 是 . （ 4 ） 函 数( ) ) ) 3,5,0 0.0,5 x f x x = 在(5,5的 傅 立 叶 级 数 在0x =收 敛 的 值 是 . （3）设区间()0,+上的函数( )u x定义域为的( ) 2 0 xt u xedt + =，则( )u x的初等函数表 达式是 . 二、（12 分）设M是以三个正半轴为母线的半圆锥面，求其方程。 三、（12 分）设( )fx在(), a b内二次可导，且存在常数, ，使得对于(),xa b ，有 ( )( )( )fxf xf x =+，则 ( )fx在(), a b内无穷次可导。 四、（14 分）求幂级数 () () 3 0 2 1 1 ! n n n x n = + + 的收敛域，及其和函数。 五、（16 分）设函数( )fx在0,1上连续，且( )( ) 11 00 0,1f x dxxf x dx= 。试证： （1） 0 0,1x使() 0 4f x （2） 1 0,1x使() 1 4f x= 六、（16 分）设(),fx y在 22 1xy+上有连续的二阶偏导数，且 222 2 xxxyyy fffM+。 若 ()()()0,00,0,00,00, xy fff=证明：() 22 1 , 4 xy M f x y dxdy + 。 20162016 年年 第八届全国大学生数学竞