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垂直平分线一选择题（共12小题）1（2014日照）已知ABC的周长为13，且各边长均为整数，那么这样的等腰ABC有（）A5个B4个C3个D2个2（2014安顺）已知等腰三角形的两边长分別为a、b，且a、b满足+（2a+3b13）2=0，则此等腰三角形的周长为（）A7或8B6或1OC6或7D7或103（2014防城港）在等腰ABC中，AB=AC，其周长为20cm，则AB边的取值范围是（）A1cmAB4cmB5cmAB10cmC4cmAB8cmD4cmAB10cm4（2015春启东市校级月考）如图，在ABC中，AC=BC=2，ACB=90，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是（）ABC3D2.55（2015秋丹阳市校级月考）如图，在坐标系中，已知A（1，1）、B（3，5），要在y轴上找一点P，使|PBPA|最大，则点P的坐标为（）A（0，1）B（0，2）CD（0，1）6（2015秋杭州校级月考）已知点A（a，3），B（4，b）关于y轴的对称，则a+b的值为（）A1B7C7D17（2015秋西安校级月考）平面直角坐标系中，点P的坐标为（3，2），若点Q与点P关于x轴对称，则线段PQ的长度为（）A2个单位B3个单位C4个单位D6个单位8（2015春黄陂区校级月考）在矩形ABCD中，AB=8，BC=7，以CD为边在矩形外部作CDE，且SCDE=16，连接BE，则BE+DE的最小值为（）A15B16C17D189（2015秋重庆校级月考）如图，在RtABC中，ACB=90，AC=BC=6，D为AC的中点，E是线段AB边上一动点，连接ED、EC，则CDE周长的最小值为（）A3B3C3+3D3+310（2015秋哈尔滨校级月考）在下列对称图形中，对称轴的条数最多的图形是（）A圆B等边三角形C正方形D正六边形11（2016天门）如图，在ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC=4，ABC的周长为23，则ABD的周长为（）A13B15C17D1912（2016毕节市）到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（）A三条高的交点B三条角平分线的交点C三条中线的交点D三条边的垂直平分线的交点二填空题（共6小题）13（2016徐州）若等腰三角形的顶角为120，腰长为2cm，则它的底边长为_cm14（2016龙岩模拟）如图，ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等的三角形的对数是_15（2016阜宁县二模）如图，已知AB=AC，DE垂直平分AB，若A=40，则EBC=_16（2015春宁化县校级月考）如图，ABC=70，A=50，AB的垂直平分线交AC于D，则DBC=_17（2015秋滨湖区期中）如图，在RtABC中，AC=4，BC=3，若点M、N分别是线段AB、AC上的两个动点，则CM+MN的最小值为_18（2015秋常熟市月考）如图，在ABC中，ACB=130，AC、BC的垂直平分线分别交AB于点M、N，则MCN=_三解答题（共12小题）19（2016常州）如图，已知ABC中，AB=AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O（1）求证：OB=OC；（2）若ABC=50，求BOC的度数20（2016宁夏）在等边ABC中，点D，E分别在边BC、AC上，若CD=2，过点D作DEAB，过点E作EFDE，交BC的延长线于点F，求EF的长21（2016临夏州）如图，在平面直角坐标系中，ABC的顶点A（0，1），B（3，2），C（1，4）均在正方形网格的格点上（1）画出ABC关于x轴的对称图形A1B1C1；（2）将A1B1C1沿x轴方向向左平移3个单位后得到A2B2C2，写出顶点A2，B2，C2的坐标22（2016怀柔区一模）如图，在RtABC中，C=90，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D求证：CAB=AED23（2015宿迁）如图，已知AB=AC=AD，且ADBC，求证：C=2D24如图，XOY内有一点P，在射线OX上找出一点M，在射线OY上找出一点N，使PM+MN+NP最短25已知：如图，在ABC中，ABC=3C，1=2，BEAE求证：ACAB=2BE26（2012常州）如图，在四边形ABCD中，ADBC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂线分别与AD、BC相交于点E、F，连接AF求证：AE=AF27（2011梅州）如图1，已知线段AB的长为2a，点P是AB上的动点（P不与A，B重合），分别以AP、PB为边向线段AB的同一侧作正APC和正PBD（1）当APC与PBD的面积之和取最小值时，AP=_；（直接写结果）（2）连接AD、BC，相交于点Q，设AQC=，那么的大小是否会随点P的移动面变化？请说明理由；（3）如图2，若点P固定，将PBD绕点P按顺时针方向旋转（旋转角小于180），此时的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）28（2012凉山州）在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题如图（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法他把管道l看成一条直线（图（2），问题就转化为，要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小他的做法是这样的：作点B关于直线l的对称点B连接AB交直线l于点P，则点P为所求请你参考小华的做法解决下列问题如图在ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC=6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使PDE得周长最小（1）在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）（2）请直接写出PDE周长的最小值：_29（2008广安）如图，在梯形ABCD中，ADBC，E为CD中点，连接AE并延长AE交BC的延长线于点F（1）求证：CF=AD；（2）若AD=2，AB=8，当BC为多少时，点B在线段AF的垂直平分线上，为什么？30（2012中山模拟）如图，在RtABC中，C=90，A=60，AB=12cm，若点P从B点出发以2cm/秒的速度向A点运动，点Q从A点出发以1cm/秒的速度向C点运动，设P、Q分别从B、A同时出发，运动时间为t秒解答下列问题：（1）用含t的代数式表示线段AP，AQ的长；（2）当t为何值时APQ是以PQ为底的等腰三角形？（3）当t为何值时PQBC？参考答案与试题解析一选择题（共12小题）1（2014日照）已知ABC的周长为13，且各边长均为整数，那么这样的等腰ABC有（）A5个B4个C3个D2个【分析】由已知条件，根据三角形三边的关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，结合边长是整数进行分析【解答】解：周长为13，边长为整数的等腰三角形的边长只能为：3，5，5；或4，4，5；或6，6，1，共3个故选：C【点评】本题考查了等腰三角形的判定；所构成的等腰三角形的三边必须满足任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边解答本题时要进行多次的尝试验证2（2014安顺）已知等腰三角形的两边长分別为a、b，且a、b满足+（2a+3b13）2=0，则此等腰三角形的周长为（）A7或8B6或1OC6或7D7或10【分析】先根据非负数的性质求出a，b的值，再分两种情况确定第三边的长，从而得出三角形的周长【解答】解：+（2a+3b13）2=0，解得，当a为底时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8；当b为底时，三角形的三边长为2，2，3，则周长为7；综上所述此等腰三角形的周长为7或8故选：A【点评】本题考查了非负数的性质、等腰三角形的性质以及解二元一次方程组，是基础知识要熟练掌握3（2014防城港）在等腰ABC中，AB=AC，其周长为20cm，则AB边的取值范围是（）A1cmAB4cmB5cmAB10cmC4cmAB8cmD4cmAB10cm【分析】设AB=AC=x，则BC=202x，根据三角形的三边关系即可得出结论【解答】解：在等腰ABC中，AB=AC，其周长为20cm，设AB=AC=x cm，则BC=（202x）cm，解得5cmx10cm故选：B【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、解一元一次不等式组，熟知等腰三角形的两腰相等是解答此题的关键4（2015春启东市校级月考）如图，在ABC中，AC=BC=2，ACB=90，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是（）ABC3D2.5【分析】首先确定DC=DE+EC=DE+CE的值最小，然后根据勾股定理计算【解答】解：过点C作COAB于O，延长CO到C，使OC=OC，连接DC，交AB于E，连接CB，此时DE+CE=DE+EC=DC的值最小连接BC，由对称性可知CBE=CBE=45，CBC=90，BCBC，BCC=BCC=45，BC=BC=2，D是BC边的中点，BD=1，根据勾股定理可得：DC=，故EC+ED的最小值是故选：A【点评】此题考查了轴对称求最短路线的问题，确定动点E何位置时，使EC+ED的值最小是关键5（2015秋丹阳市校级月考）如图，在坐标系中，已知A（1，1）、B（3，5），要在y轴上找一点P，使|PBPA|最大，则点P的坐标为（）A（0，1）B（0，2）CD（0，1）【分析】连接BA并延长交y轴于P，则点P即为所求，求出直线AB的解析式y=2x1，当x=0时，y=1，于是得到结论【解答】解：连接BA并延长交y轴于P，则点P即为所求，设：直线AB的解析式为：y=kx+b，A（1，1）、B（3，5），解得：，直线AB的解析式为：y=2x1，当x=0时，y=1，P（0，1）故选：D【点评】此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：三角形三边关系，待定系数法确定一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，找出|PBPA|最大值时P的位置是解本题的关键6（2015秋杭州校级月考）已知点A（a，3），B（4，b）关于y轴的对称，则a+b的值为（）A1B7C7D1【分析】利用关于y轴对称点的性质，关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变即点P（x，y）关于y轴的对称点P的坐标是（x，y），进而得出答案【解答】解：点A（a，3），B（4，b）关于y轴的对称，a=4，b=3，则a+b的值为：43=7故选：C【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键7（2015秋西安校级月考）平面直角坐标系中，点P的坐标为（3，2），若点Q与点P关于x轴对称，则线段PQ的长度为（）A2个单位B3个单位C4个单位D6个单位【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出Q点位置，进而得出PQ的长【解答】解：如图所示：线段PQ的长度为：4个单位故选：C【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确得出Q点位置是解题关键8（2015春黄陂区校级月考）在矩形ABCD中，AB=8，BC=7，以CD为边在矩形外部作CDE，且SCDE=16，连接BE，则BE+DE的最小值为（）A15B16C17D18【分析】由SCDE=DCh=16，得出三角形的高h=4，在直线DC外作直线lCD，且两直线间的距离为4，延长AD至P是DP=8，则P、D关于直线l对称，连接PB，交直线l于E，连接DE、CE，则SCDE=16，此时BE+DE=PB，根据两点之间线段最短可知BE+DE的最小值为PB；然后根据勾股定理即可求得【解答】解；在矩形ABCD中，AB=8，BC=7，DC=8，AD=7，SCDE=DCh=16，h=4，在直线DC外作直线lCD，且两直线间的距离为4，延长AD至P是DP=8，则P、D关于直线l对称，连接PB，交直线l于E，连接DE、CE，则SCDE=16，此时BE+DE=PB，根据两点之间线段最短可知BE+DE的最小值为PB；AD=7，PD=8，PA=15，AB=8，PB=17，BE+DE的最小值为17；故选C【点评】本题考查了轴对称最短路线问题以及勾股定理的应用，根据题意作出点E是解题的关键9（2015秋重庆校级月考）如图，在RtABC中，ACB=90，AC=BC=6，D为AC的中点，E是线段AB边上一动点，连接ED、EC，则CDE周长的最小值为（）A3B3C3+3D3+3【分析】过点D作D点关于直线AB的对称点D，连接DC，交AB于E，连接AD，首先确定DC=DE+EC=DE+CE的值最小，然后根据勾股定理计算【解答】解：过点D作D点关于直线AB的对称点D，连接DC，交AB于E，连接AD，此时DE+CE=DE+EC=DC的值最小在RtABC中，ACB=90，AC=BC=6，D为AC的中点，BAC=45，DC=3，由对称性可知DAE=DAE=45，AD=AD，DAD=90，D是AC边的中点，AC=6，AD=3，根据勾股定理可得：DC=3，CDE周长的最小值：DE+CE+DC=DC+DC=3+3故选D【点评】此题考查了轴对称求最短路线的问题，确定动点E何位置时，使EC+ED的值最小是关键10（2015秋哈尔滨校级月考）在下列对称图形中，对称轴的条数最多的图形是（）A圆B等边三角形C正方形D正六边形【分析】分别确定出各图形的对称轴的条数，然后进行比较即可【解答】解：圆有无数条对称轴；等边三角形有3条对称轴；正方形有四条对称轴，正六边形有6条对称轴故选：A【点评】本题主要考查的是轴对称图形的定义，确定出选项中各图形的对称轴的条数是解题的关键11（2016天门）如图，在ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC=4，ABC的周长为23，则ABD的周长为（）A13B15C17D19【分析】根据线段垂直平分线性质得出AD=DC，AE=CE=4，求出AC=8，AB+BC=15，求出ABD的周长为AB+BC，代入求出即可【解答】解：AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，AD=DC，AE=CE=4，即AC=8，ABC的周长为23，AB+BC+AC=23，AB+BC=238=15，ABD的周长为AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=15，故选B【点评】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，能熟记线段垂直平分线性质定理的内容是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等12（2016毕节市）到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（）A三条高的交点B三条角平分线的交点C三条中线的交点D三条边的垂直平分线的交点【分析】根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解答即可【解答】解：到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点，故选：D【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键二填空题（共6小题）13（2016徐州）若等腰三角形的顶角为120，腰长为2cm，则它的底边长为2cm【分析】作ADBC于点D，可得BC=2BD，RTABD中，根据BD=ABcosB求得BD，即可得答案【解答】解：如图，作ADBC于点D，BAC=120，AB=AC，B=30，又ADBC，BC=2BD，AB=2cm，在RTABD中，BD=ABcosB=2=（cm），BC=2cm，故答案为：2【点评】本题主要考查等腰三角形的性质及解直角三角形，熟练掌握等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等，等腰三角形的两个底角相等 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合是解题关键14（2016龙岩模拟）如图，ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等的三角形的对数是4【分析】由AB=AC，D是BC的中点，易得AD是BC的垂直平分线，则可证得ACDABD，OCDOBD，AOCAOB，又由EF是AC的垂直平分线，证得OCEOAE【解答】解：AB=AC，D是BC的中点，CAD=BAD，ADBC，OC=OB，在ACD和ABD中，ACDABD（SAS）；同理：CODBOD，在AOC和AOB中，OACOAB（SSS）；EF是AC的垂直平分线，OA=OC，OEA=OEC=90，在RtOAE和RtOCE中，RtOAERtOCE（HL）故答案为：4【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等15（2016阜宁县二模）如图，已知AB=AC，DE垂直平分AB，若A=40，则EBC=30【分析】由DE垂直平分AB分别交AB、AC于D、E两点，利用线段垂直平分线的性质，可得AE=BE，即可求得ABE的度数，又由AB=AC，即可求得ABC的度数，继而求得答案【解答】解：DE垂直平分AB分别交AB、AC于D、E两点，AE=BE，ABE=A=40，AB=AC，ABC=C=70，EBC=ABCABE=30故答案为：30【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用16（2015春宁化县校级月考）如图，ABC=70，A=50，AB的垂直平分线交AC于D，则DBC=20【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD，则ABD=A=50，结合图形易求DBC=ABCABD=20【解答】解：如图，AB的垂直平分线交AC于D，AD=BD，ABD=A又DBC=ABCABD，ABC=70，A=50，DBC=ABCABD=7050=20，故答案是：20【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质；此题设计巧妙，将等腰三角形、垂直平分线等知识有机的融合在一起，考查了同学们的分析能力及逻辑推理能力17（2015秋滨湖区期中）如图，在RtABC中，AC=4，BC=3，若点M、N分别是线段AB、AC上的两个动点，则CM+MN的最小值为【分析】首先作C关于AB的对称点D，作DNA于点N，交AB于点M，则此时CM+MN有最小值，且CM+MN=DM，然后利用直角三角形的性质，求得CD的长，继而证得DCNABC，利用相似三角形的对应边成比例，求得答案【解答】解：作C关于AB的对称点D，作DNA于点N，交于AB于点M，则此时CM+MN的最小值，且CM+MN=DM，在RtABC中，AC=4，BC=3，AB=5，CE=，CDD=2CE=，D+ACE=A+ACE=90，A=D，CND=ACB=90，DCNABC，即，DN=CM+MN的最小值为：故答案为：【点评】此题考查了最短路径问题、勾股定理、直角三角形的性质以及相似三角形的判定与性质注意准确找到M，N的位置是解此题的关键18（2015秋常熟市月考）如图，在ABC中，ACB=130，AC、BC的垂直平分线分别交AB于点M、N，则MCN=80【分析】首先由在ABC中，ACB=130，可求得A+B的度数，然后由AC、BC的垂直平分线分别交AB于点M、N，根据线段垂直平分线的性质，可得AM=CM，BN=CN，即可得ACM=A，BCN=B，继而求得ACM+BCN的度数，则可求得答案【解答】解：在ABC中，ACB=130，A+B=50，AC、BC的垂直平分线分别交AB于点M、N，AM=CM，BN=CN，ACM=A，BCN=B，ACM+BCN=A+B=50，CMN=ACB（ACM+BCN）=80故答案为：80【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质注意求得ACM+BCN=A+B是关键三解答题（共12小题）19（2016常州）如图，已知ABC中，AB=AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O（1）求证：OB=OC；（2）若ABC=50，求BOC的度数【分析】（1）首先根据等腰三角形的性质得到ABC=ACB，然后利用高线的定义得到ECB=DBC，从而得证；（2）首先求出A的度数，进而求出BOC的度数【解答】（1）证明：AB=AC，ABC=ACB，BD、CE是ABC的两条高线，DBC=ECB，OB=OC；（2）ABC=50，AB=AC，A=180250=80，BOC=18080=100【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；关键是掌握等腰三角形等角对等边20（2016宁夏）在等边ABC中，点D，E分别在边BC、AC上，若CD=2，过点D作DEAB，过点E作EFDE，交BC的延长线于点F，求EF的长【分析】先证明DEC是等边三角形，再在RTDEC中求出EF即可解决问题【解答】解：ABC是等边三角形，B=ACB=60，DEAB，EDC=B=60，EDC是等边三角形，DE=DC=2，在RTDEC中，DEC=90，DE=2，DF=2DE=4，EF=2【点评】不同考查等边三角形的性质、直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理等知识，解题的关键是利用特殊三角形解决问题，属于中考常考题型21（2016临夏州）如图，在平面直角坐标系中，ABC的顶点A（0，1），B（3，2），C（1，4）均在正方形网格的格点上（1）画出ABC关于x轴的对称图形A1B1C1；（2）将A1B1C1沿x轴方向向左平移3个单位后得到A2B2C2，写出顶点A2，B2，C2的坐标【分析】（1）直接利用关于x轴对称点的性质得出各对应点位置进而得出答案；（2）直接利用平移的性质得出各对应点位置进而得出答案【解答】解：（1）如图所示：A1B1C1，即为所求；（2）如图所示：A2B2C2，即为所求，点A2（3，1），B2（0，2），C2（2，4）【点评】此题主要考查了轴对称变换和平移变换，根据题意得出对应点位置是解题关键22（2016怀柔区一模）如图，在RtABC中，C=90，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D求证：CAB=AED【分析】根据线段垂直平分线的性质得出AE=BE，再由直角三角形的性质即可得出结论【解答】证明：DE是线段AB的垂直平分线，AE=BE，ADE=90，EAB=B在RtABC中，C=90，CAB+B=90在RtADE中，ADE=90，AED+EAB=90，CAB=AED【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键23（2015宿迁）如图，已知AB=AC=AD，且ADBC，求证：C=2D【分析】首先根据AB=AC=AD，可得C=ABC，D=ABD，ABC=CBD+D；然后根据ADBC，可得CBD=D，据此判断出ABC=2D，再根据C=ABC，即可判断出C=2D【解答】证明：AB=AC=AD，C=ABC，D=ABD，ABC=CBD+D，ADBC，CBD=D，ABC=D+D=2D，又C=ABC，C=2D【点评】（1）此题主要考查了等腰三角形的性质和应用，考查了分类讨论思想的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：等腰三角形的两腰相等等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（2）此题还考查了平行线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等简单说成：两直线平行，同位角相等定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补简单说成：两直线平行，同旁内角互补定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等简单说成：两直线平行，内错角相等24如图，XOY内有一点P，在射线OX上找出一点M，在射线OY上找出一点N，使PM+MN+NP最短【分析】分别以直线OX、OY为对称轴，作点P的对应点P1与P2，连接P1P2交OX于M，交OY于N，则PM+MN+NP最短【解答】解：如图所示：分别以直线OX、OY为对称轴，作点P的对应点P1与P2，连接P1P2交OX于M，交OY于N，则PM+MN+NP最短【点评】本题主要利用了两点之间线段最短的性质通过轴对称图形的性质确定三角形的另两点25已知：如图，在ABC中，ABC=3C，1=2，BEAE求证：ACAB=2BE【分析】延长BE交AC于M，利用三角形内角和定理，得出3=4，AB=AM，ACAB=ACAM=CM再利用4是BCM的外角，再利用等腰三角形对边相等，CM=BM利用等量代换即可求证【解答】证明：延长BE交AC于MBEAE，AEB=AEM=90在ABE中，1+3+AEB=180，3=901同理，4=9021=2，3=4，AB=AMBEAE，BM=2BE，ACAB=ACAM=CM，4是BCM的外角4=5+CABC=3C，ABC=3+5=4+53C=4+5=25+C5=CCM=BMACAB=BM=2BE【点评】此题考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，此题的关键是作好辅助线，延长BE交AC于M，利用三角形内角和定理，三角形外角的性质，考查的知识点较多，是一道难题26（2012常州）如图，在四边形ABCD中，ADBC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂线分别与AD、BC相交于点E、F，连接AF求证：AE=AF【分析】方法一：连接CE，由与EF是线段AC的垂直平分线，故AE=CE，再由AEBC可知ACB=DAC，故可得出AOECOF，故AE=CF，所以四边形AFCE是平行四边形，再根据AE=CE可知四边形AFCE是菱形，故可得出结论方法二：首先证明AOECOF，可得OE=OF，进而得到AC垂直平分EF，再根据线段垂直平分线的性质可得AE=AF【解答】证明：连接CE，EF是线段AC的垂直平分线，AE=CE，OA=OC，AEBC，ACB=DAC，在AOE与COF中，AOECOF，AE=CF，四边形AFCE是平行四边形，AE=CE，四边形AFCE是菱形，AE=AF另法：ADBC，EAO=FCO，AEO=CFO，AOECOFASA，OE=OF，AC垂直平分EF，AE=AF【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质及菱形的判定定理，根据题意作出辅助线，构造出平行四边形是解答此题的关键27（2011梅州）如图1，已知线段AB的长为2a，点P是AB上的动点（P不与A，B重合），分别以AP、PB为边向线段AB的同一侧作正APC和正PBD（1）当APC与PBD的面积之和取最小值时，AP=a；（直接写结果）（2）连接AD、BC，相交于点Q，设AQC=，那么的大小是否会随点P的移动面变化？请说明理由；（3）如图2，若点P固定，将PBD绕点P按顺时针方向旋转（旋转角小于180），此时的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）【分析】（1）设AP的长是x，然后利用x表示出两个三角形的面积的和，利用二次函数的性质即可求得x的值；（2）首先证得APDCPB，然后根据三角形的外角的性质即可求解；（3）旋转的过程中，（2）中得两个三角形的全等关系不变，因而角度不会变化【解答】解：（1）设AP的长是x，则BP=2ax，SAPC+SPBD=xx+（2ax）（2ax）=x2ax+a2，当x=a时APC与PBD的面积之和取最小值，故答案为：a；（2）的大小不会随点P的移动而变化，理由：APC是等边三角形，PA=PC，APC=60，BDP是等边三角形，PB=PD，BPD=60，APC=BPD，APD=CPB，APDCPB，PAD=PCB，QAP+QAC+ACP=120，QCP+QAC+ACP=120，AQC=180120=60；（3）此时的大小不会发生改变，始终等于60理由：APC是等边三角形，PA=PC，APC=60，BDP是等边三角形，PB=PD，BPD=60，APC=BPD，APD=CPB，APDCPB，PAD=PCB，QAP+QAC+ACP=120，QCP+QAC+ACP=120，AQC=180120=60【点评】本题考查了旋转的性质，以及全等三角形的判定与性质，正确证明两个三角形全等是解题的关键28（2012凉山州）在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题如图（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法他把管道l看成一条直线（图（2），问题就转化为，要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小他的做法是这样的：作点B关于直线l的对称点B连接AB交直线l于点P，则点P为所求请你参考小华的做法解决下列问题如图在ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC=6，BC边上的高为4，请