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文档简介

,设曲面方程为,过曲面上点 任作一条在曲面上的曲线 ，设其方程为,显然有,在上式两端对 求导，得,从而曲面在 点的切平面方程为,由于 的任意性，可见曲面上过 的任一条曲线 在该点的切线都与 正交，因此这些切线应在同一平面上，这个平面称为曲面在 点的切平面，而 就是切平面的法向量。,在 点（设 点对应于参数 ）有,过 点与切平面垂直的直线，称为曲面在 点的法线，其方程为,该法线的一组方向数为：,综上所述若曲面方程为,则该曲面在 点的切平面方程为,过 点的法线方程为,设 分别为曲面在 点的法线与 轴正向之间的夹角，那末在 点的法线方向余弦为,若曲面方程为,容易把它化成刚才讨论过的情形：,于是曲面在 （这里 ）点的切平面方程为,法线方程为,若曲面方程为参数形式：,如果由方程组 可以确定两个函数：,于是可以将 看成 的函数，从而可以将问题化为刚才已经讨论过的情形。,代入方程 ，得,因此需分别计算 对 的偏导数。,将 分别对 求导，注意到 为 的函数按隐函数求导法则有,解方程组，得,法线方程,于是曲面在 点的切平面方程为,例 1 求球面 在点 的切平面及法线方程.,解,设,则,所以在点 处 球面的切平面方程为,法线方程,曲面的夹角,两个曲面在交线上某点处的两个法线的夹角称为这两个曲 面在该点的夹角。,如果两个曲面在该点的夹角等于 90 度，则称这两个曲面在 该点正交。若两曲面在交线的每一点都正交，则称这两曲 面为正交曲面。,例 2 证明对任意常数 ，球面 与锥 面 是正交的。,即,证明,球面 的法线方向数为,锥面 的法线方向数为,在两曲面交线上的任一点 处，两法向量的内积,因 在曲面上，上式右端等于 0 ，所以曲面与锥面正交。,解,切平面方程为,法线方程为,解,令,切平面方程,法线方程,解,设 为曲面上的切点,切平面方程为,依题意，切平面方
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