基于合理均衡的试卷分配和评判优化模型.doc

评阅号：_评阅人得分评语：基于合理均衡的试卷分配和分数评判优化模型摘要本文主要研究试卷的合理分配问题，为使数学建模竞赛评卷具有公平性，给评卷老师分配试卷时必须满足公平原则，即使得每个评委既避开本校试卷又评判尽可能多的其它学校的试卷，并使每个评委的评卷数尽量相等。本文就试卷评阅的几个方面作了对比分析，在试卷分配方面利用0-1规划的分层多目标规划解决了试卷的合理分配问题，利用熵值法得到权重，有效地避免了评委打分的尺度偏差问题。 针对问题一，本文结合题目中的要求，设置约束条件，利用0-1整数规划，实现了试卷分配均衡分散性好，其中在每份试卷由3 位评委进行评阅的情况下，无评委评阅自己学校的试卷，通过MATLAB编程解决了试卷的合理均衡分配问题。针对问题二，传统评价方式中去掉一个最低分有可能把有效地数据忽略掉，而且还有可能使某个评委在最终的评判成绩中所占的比重过大。为了避免出现这种现象我们建立了基于模糊数学的试卷评判模型。首先，在模糊数学的基础上，我们利用熵值法得到直接的权重；然后得到无量纲化原始矩阵；接着建立优属度排序模型得到合理的试卷相对分数。针对问题三，本文基于问题二中构建的完全打分矩阵引入偏差度，建立识别评委作用的反馈控制，给出了对评委打分排名的反评判指标体系，将各位评委的打分进行整合，得出各评委的偏差并赋予权重。相应地，本文加入权重，得到阅卷评分最终的分数调整公式，并将其与传统打分、比例打分进行比较分析。关键词：合理均衡分配 MATLAB 模糊数学 偏差度一、问题重述信息化条件下，如何较为客观评价一次考试或者考核成绩成为确定人才培养最终效果的重要依据。很多时候，我们的各项成绩确定往往需要多项指标共同确定，以建模竞赛为例，假设有n篇论文提交，m个阅卷评委，要求每一篇论文需要被多个（以3个为例）阅卷评委审阅打分，现实的情况是，不同的阅卷评委的评分标准不尽相同，有的评委阅卷比较严格，每一分都有自己的想法；也有的评委评分比较随意，所有的分都差不多等等。问题一：建立一个合理的分配模型，首先确定每一位阅卷评委的具体阅卷论文是哪些？问题二：建立一个可视化的分数回收模型，实时收集专家打分，如何将三个成绩规范为一个标准分？最后形成每一篇论文的最终成绩。问题三：在评分过程中，由于不同专家评分特点或是其他原因导致多个（以3个为例）成绩差异较大，此时如何修正模型？问题四：你有没有更好的评分策略，提出自己的想法并修改模型。比如在问题一中如何人工调控来让误差尽可能减小？二、问题分析问题一，本题要求完成试卷的分配任务，建立分配的数学模型并对给出的实例进行解答，本文根据题中抽象出的约束条件建立基于0-1整数分层多目标规划，首先应对各因素统一编号，能更好的反映其中的关系，建立分层多目标优化模型较好的实现了试卷分配的均衡分散原则。问题二，综合考虑各个评委的意见，评判标准不能使某个评委出局，但又避免某个评委评分在最终的成绩中所占比重过大，利用熵值法定权确定各个分数的权重，建立指标特征值矩阵进行无量纲化处理，接着建立优属度排序模型得到合理的试卷相对分数。问题三，为了有效地避免各评委的尺度偏差及水平不一的问题，我们引入比例系数和偏度差，将评委的各个分数比例化，再计算偏度差，确定各评委的排名，继而得到各评委的权重，创建了对评委的反评价体系和比例权重打分法，评委偏差度大则说明评委水平低，公平性低；评委偏差度小则说明评委水平高，公平性高，我们按评委偏差度给评委排名，赋权重。三、模型假设假设1、每个学校的试卷随机分配。假设2、每个评委来自的学校确定 。假设3、对于评阅同一份试卷的几个评委，假设其中大部分评委评判的分数是公平的。假设4、假设各个评委在评卷过程中不会交流评卷业务以外的试卷信息，对于评判同一份,试卷的评委不会交流各自所评的分数，每个评委都独立自主评出每份试卷的分数。四、符号约定符号含义M评委数N参赛人数K参赛学校数P每份试卷需评委数目R1每份试卷由p位不同的评委评阅R2每个评委只能评阅非本单位的试卷D1各评委评阅的试卷数量应尽可能均衡D2任意两份试卷不能由相同的p位评委评阅，并应尽量减少有两位或三位评委相同的情况D3同一单位的试卷在评委中分布应尽量均衡五、模型的建立与求解5.1基于0-1规划的试卷分配数模竞赛一般采取多位评委打分的方式确定名次，评委大都来自各参赛高校。竞赛规则规定：R1.每份试卷由p位不同的评委评阅。R2.每个评委只能评阅非本单位的试卷。同时，为了保证最终阅卷结果的客观性与公正性，竞赛组委认为一个理想的试卷分配方案应满足如下要求：D1. 各评委评阅的试卷数量应尽可能均衡。D2. 任意两份试卷不能由相同的p位评委评阅，并应尽量减少有两位或三位评委相同的情况。D3. 同一单位的试卷在评委中的分布应尽量均衡。5.1.1各因素的统一编号因为所给的学校、试卷、评委等都是有一定联系的，为了更好的反应其中的关系便于统一使用，需要对3者进行统一的编号。1.学校编号按上交试卷份数的多少排序，如上交份数最多的学校为01号，依次类推，直至号。见表1：表1学校编号学校编号0102030405060708学校代码0605664402455433学校编号0910111213141516学校代码4027228213724662学校编号1718192021222324学校代码2811303134391956学校编号2526272829303132学校代码5512415071219017学校编号3334353637学校代码09427536702.试卷编号试卷号码编排分为两个步骤：一是试卷评阅委员会给各学校分号段；二是各学校根据评委会分得的号段给各个参赛队编号，再将具体编号信息反馈给评委会。如评委会将0169号段分给01号学校，01号学校在将自己学校的69份试卷从0169编号，并将具体信息反馈给评委会。各学校参赛人数为，见表2：表2 各学校参赛人数学校编号0102030405060708学校代码0605664402455433参赛人数2301881789689796040学校编号0910111213141516学校代码4027228213724662参赛人数3936343029282626学校编号1718192021222324学校代码2811303134391956参赛人数2522212017171414学校编号2526272829303132学校代码5512415071219017参赛人校编号3334353637学校代码0942753670参赛人数444323.评委编号评委编号都与其出自的学校编号一致，即来自01号学校的评委编号为01号。见表3：表3 评委编号评委编号010203040506评委学校代码060566440245评委编号070809101112评委学校代码543340272282评委编号131415161718评委学校代码137246622811评委编号192021222324评委学校代码303134391956评委编号252627282930评委学校代码551241507121评委编号32353637评委学校代码177536705.1.2目标与约束条件的解释根据题中信息提取出了2个目标和3个约束条件，现对其解释如下：1.目标1均衡分散原则1：任意两份试卷出现的相同评委越少越好。2.目标2均衡分散原则2：分配在每一个评委手中的试卷质量最好是好、中、差分布较为均匀。虽然没有直接给出分试卷的质量等级，但是各个学校的水平是有差距的，可以以学校的平均质量来衡量分试卷的质量，如果01学校的水平高，则认为01学校的试卷质量普遍好于其他学校。所以在分配试卷时只要实现每个学校的试卷被均衡分配到各评委（自己学校的评委不能参评）即可认为每个评委手中的试卷质量是均匀的。（1）约束1回避原则：评委不能评阅自己学校的试卷。即01号评委不能评阅01号试卷。（2）约束2多人评阅原则：为了体现评阅的公正性，每份试卷都需要被多位评委评阅。即每份试卷被评阅的次数等于参与评阅的评委人数p。根据同种所给为p取值为35。（3）约束3均衡原则：评委工作量要均衡，即每位评委评阅的试卷份数要形同。结合约束2知：每个评委需要评阅的试卷份数为： 我们采用matlab进行编程，程序见附录， 该程序运行流程图如下：开始输入参数 P,M,K,各学校参赛人数建立评委与学校间的约束处理回避原则统计各评委评卷工作量并求D1选出符合标准的矩阵结束图1 程序运行流程图5.2基于模糊数学的试卷评判模型5.2.1合理的试卷评判标准应该满足两个条件：1、综合考虑各个评委的意见，评判标准不能使某个评委出局。在传统的评价方式（若取3个评委，则去掉一个最低分按剩下的有效分求和，按分数排名决定名次）中，如果某个评委的评分普遍较低，则每次都有可能将其所评分数舍去，此时此评委相当于没发挥作用。2、避免某个评委评分在最终的成绩中所占比重过大。考虑到上述条件，我们建立了基于模糊数学的试卷排序模型。每份试卷有个评委打分，分数不同，我们将每份试卷的分数从小到大排序，则每份试卷的最后得分都由p个有差别的指标决定。这样综合考虑了各个评分因素，避免了出局现象的出现。另外在模型中我们采用了熵值法确定各个分数的权重，又避免某个评委评分在最终的成绩中所占比重过大。5.2.2模型步骤如下：（1）建立指标特征值矩阵；将每份试卷得分数从小到大排序，生成矩阵。有份试卷组成的排序集，由个评价指标构成的指标集。式中为第个对象第个指标的特征值。（2）数据无量纲化；为了消除量纲效应,建模前对各指标数据进行无量纲化处理得到归一化矩阵,文中选用的无量纲化公式如下: 为第() 个对象第()个指标的特征值，和为第j个指标的最大值和最小值。（3）熵值法定权：熵值法定权是一种根据各项指标观测值所提供的信息大小来确定指标权重的方法。在信息论中,熵意味着平均信息量,信息熵越大其信息的效用值越小,反之信息的效用值越大。利用熵的概念,确定指标权重的计算公式如下:式中: 为第项指标下第个评价对象的权重；为第项指标的熵值；为第项指标的差异性系数；为第项指标的权重。（4）模糊排序模型；根据相对隶属度定义,劣、优指标相对优选度向量分别为被则对象的优选度为：式中:为距离参数(为海明距离，为欧氏距离,通常取)；为广义权距离。为（2）中无量纲化得到的矩阵。越接近于1,其相应对象的优选度越高。即为优选矩阵，对优选矩阵中的数据进行排序即得到试卷的分数排名。5.3基于权重的打分制因为评委对每份试卷的评分与该试卷的实际分数都会存在一定的偏差，因此，我们可以用每份试卷的每个分数与这份试卷的准确的水平之间的距离来表这种偏差，即用表示评委评分的准确性矩阵，其中， ，。显然，如果越大，则越小，表明评委的给分与试卷的实际水平相差较大，评委的评卷水平较低；反之越大，则评委的给分与试卷的实际水平的相符程度越高，评委的评卷水平越高。如果，则取得最大值1。令，则，则其中的值即可表示第个评委的评分准确性，值越小则该评委的评分准确性越低，值越大则该评委的评分准确性越高。知道了每位评委的评分准确性向量,将其归一化为，则可以作为第个评委的打分的准确性权重，将5个评委的打分与此权重之积进行线性求和，则得到带有评委评分准确性反馈的试卷得分与排名，其数学模型表示为：，其中，最后,分数得分为各评委打的分数乘以相应权重之和。六、模型评价与改进6.1问题一评价：问题一建立了多目标规划模型，将均衡分散的两个原则作为两个目标评价因素，其他准则作为严格约束的条件，模型以一般形式表达，适用性广且修改升级方便。引入0-1变量，表示方便简洁，对较大规模的问题也能通过计算机快速解答。 改进：因为题中并没有给出两个目标的重要程度关系，所以采用了分层的方式，这也造成了计算机搜索结果可能并非最优解，对于更实际的情况，如果明确知道目标的重要程度关系或者还能增加约束条件，则将能够给出更好的解。本文中的评委的产生式通过构建评委库并从中随机产生，但是实际中评委产生的方法有很多，比如从交试卷最多的学校中产生。如果在评卷之初通过建立不同的评委产生机制进行模型的求解，找到最合适的评委产生机制，进而在制定具体的评委产生方案，是阅卷工作更公平公正。6.2问题二和问题三评价：在传统的评卷系统中，由于是评委的评分是不完全评分矩阵，所以评委的评分尺度和误判都将对试卷的排名产生较大的影响。问题二通过建立的基于关联度分析的映射体系将不完全评分矩阵转化成完全评分矩阵，消除了评委的评分尺度的不同对试卷排名的影响；同时也证明了在新模型下一个评委的误判对试卷的排名几乎没有影响。模型的准确性和实用性比较强。问题三在问题二的基础上实现了对评委的打分准确性的排名，进而将这一排名做为反馈因子反馈到试卷的分数上，对试卷重新建立更科学的排名。改进：在将问题三中的对评委打分准确性的因素作为反馈因子反馈回试卷分数统计时，只迭代一次可能效果并不太好，可以进行多次迭代，知道达到比较理想的结果，具体可以通过概率检验实现。基于对评委打分的关联度分析矩阵可以实现对评委误判的报警提示，如果评委与其他任何评委的关联度都比较低的时候，说明该评委打分存在误判，发出报警提示。参考文献1何延张,张浩,李碧漪.试卷的合理均衡分配与评判和反评判指标体系的构建的优化模型J.2易昆男.残缺数据的论文名次及评委水平的评判与逆判J.湘潭大学自然科学学报.2005年.3李平平.竞赛中的公平性分析J.天津理工学院学报.2003年底,19卷第3期.4唐小我,王景,曹长修.一种新的模糊自适应变权重组合预测算法J.电子科技大学学报.1997年6月, 第26卷第3期.附录：试卷的合理均匀分配的MATLAB程序function f=jhfp()clcclear allm=input(请输入评委数 M:);k=input(请输入参赛学校数 K:);p=input(请输入每份试卷需评委数目 P:);n=input(请输入参赛人数 N:);ss=input(需要筛选的随机矩阵数ss:);d11=input(输入对d1的约束上限：);d22=input(输入对d2的约束上限:);xp=0;%建立学校与评委间的联系chushibianhao(1)=0;for i=1:k%学校编号 l(i)=input(请按学校编号依次输入参赛人数:); ml(i)=input(若该学校有老师参与评卷，请输入1,否则输入0:); chushibianhao(i+1)=chushibianhao(i)+l(i);%i+1对应-i if(ml(i)=1) xp=xp+1;%评委编号 pingweino(xp)=i;%pingweino存储评委对应的学校编号 endendsizeconfirm=size(pingweino);if sizeconfirm(2)=m disp(输入有误，关闭程序重新输入)endaverage=n*p/m;a=zeros(ss,n,m);for i=1:m%评委/此循环是为了制造条件 %刻画该评委不能评的试卷编号组 %与下面的nrand.保证某学校试卷不被该学校老师评/建立评委与学校间的约束 sum1(i)=0;sum2(i)=0; for r=1:pingweino(i) sum2(i)=sum2(i)+l(r); end sum1(i)=sum2(i)-l(r)+1; %每一个评委对应一个不可及范围-第sum1+1到第sum2号试卷endfor x=1:ss%生成_个矩阵 for j=1:n%试卷按学校顺序编号，同一份试卷只对应p个评委 ，产生对第 %随机生成一个不重复数序（1-n），保证刚好被第k个评委评到 nrand=randperm(m);%产生一个1到m的随机顺序 for s=1:p%n选前p个或p+1个%选试卷的评委 a(x,j,nrand(s)=1;%此位置与对应评委位置为1，先概全，再剔除 flag1=0;flag2=0; %为了控制第i个评委为0,查询位置 for i=1:m if(sum1(i)=j)%对于一份试卷j，每一次都你能找到不多于一个范围并对应一个评委i，记为jl flag1=1;jl=i; if nrand(s)=jl %检验随机获取的前p个数据中是否包含评委jl flag2=1; end end end d=nrand(s); if flag1 a(x,j,jl)=0;%利用查询位置做处理，此位置必须为0（可以覆盖前面的0） end if flag1&flag2%若包含jl v=nrand(p+1); a(x,j,nrand(p+1)=