加法结合律在有理数运算中的应用

1 / 7 加法结合律在有理数运算中的应用 加法结合律在有理数运算中的应用 江苏 新沂 刘凯 摘要：教师结合一些相关案例，主要阐述了应用加法结合律使有理数运算简便的几种常用方法：凑整结合法、同号结合法、同分母结合法、同形结合法、同和结合法、拆项分解相消法。 关键词：凑整；同形；同和 学生在初一学了加法结合律：（ a+b） +c=a+ （ b+c），可使复杂的计算题变得简单易做。比如计算 320+427+73，有三种方法：（ 1）（ 320+427） +73；（ 2）（ 320+73） +427；（ 3）320+（ 427+73）。我认为第三种方法最好，因为 427 与 73 相加可以凑成较整的数 500，再计算 500+320 就简单了。 经过多年教学经验的积累与不断的自我反思，我总结出以下几种结合的方法。 2 / 7 一、凑整结合法 有理数加减法中有能凑成较“整”的数，如 -12+32=1，2+98=100，需要学生仔细审题，独具慧眼，看破玄机，把有特殊关系的数有机结合起来，使计算简便。 例 1 计算： -23-51/2+ （ -77 ） = （ -23 ） +（ -77） -51/2=-100-512=-1051/2。 另外，“互为相反数的两数的和是零”是最常用的结合法，如 -6+6=0 等。 二、同号结合法 在有理数的加、减混合运算中经常用到的是同号结合法，即把正数与正数相加，负数与负数相加，然后再把所得的结果相加，学生很容易就能想到。 例 2 计算： 3 / 7 （ -40） -（ +27） +19-24-（ -32） =（ -40） +（ -27）+（ -24） +（ 19+32） =（ -91） +51=-40。 不过，这道题还有更简便的结合方法： 解：原式 =（ -40） +（ -27） +19+（ -24） +32=（ -40）+（ -27） +（ -24） +（ 19+32） =（ -40） +（ -51） +51=（ -40）+（ -51） +51=-40+0=-40。 但是，这样的结合方法很少有学生能想到，这就需要教师要培养学生的观察与判断能力。 三、同分母结合法 分数的加减是一个难点问题，包括同分母和异分母相加减。同分母分数相加减相对来说比较简单。因此，如果在计算时遇到有同分母分数相加减就可以把它们结合在一起，使运算简便。 例 3 计算： （ 1） 2 7 18+31 4+1 1 18-23 4+5 6=（ 2 74 / 7 18+1 1 18） +（ 31 4-23 4） +5 6=3 8 18+1 2+5 6=3 8 18+ 91 8+ 5 18=4 79。 （ 2） 1 4-（ -2 3） +2 7+ 5 12+（ - 3 14） =1 4+2 3+2 7+ 51 2（ - 31 4） =（ 1 4+2 3+ 5 12）+（ 2 7- 3 14）。 （注： 1 4、 2 3、 5 12结合在一起通分比较容易，2 7、 3 14结合在一起通分比较容易） 此例分数之间的结合不明显，值得我们推敲一下。 四、同形结合法 在求几个分数和其他类数字和差时，把分数与其他同类型的数分别结合，使计算简便。 例 4 计算： -+4 3+（ -2） +2 3+（ -5） =（ -） +（ -2） +（ -5） + （ 4 3+2 3） =-+2=-。 5 / 7 （注：分数结合在一起，整数与小数结合） 五 、同和结合法 此法适用于拓展和找规律类问题。这类问题一般项数比较多，如果从左向右依次运算是非常麻烦的，这就需要我们把思维打开，充分发挥观察能力，并且能够进行尝试解析，总结出一些恰当的规律来，使运算简便。 例 5 快速计算： -1+3-5+7- -17+19。 通过观察可以发现，此例中奇数项都是负数，偶数项则都是正数，并且发现： -1+3=2， -5+7=2， -17+19=2，也就是从第一项开始，每两项的和都等于 2，一共有 10 个 2 相加。这样，我们就发现 了此题的规律，可以快速并且准确地解决问题了。具体的过程如下所示： 解：原式 =（ -1+3） +（ -5+7） + +（ -17+19） =2+2+2=2 5=10。 6 / 7 六、拆项分解相消法 这个方法适用与一些探究性比较强的问题，而且难度比较大，能掌握这种方法的学生不是很多。解决这类问题，需要我们具有“一分为二”的数学思想，比如 12 可以写成11 2，接着可以拆分成 11-12，即 1-12的形式； 16可以写成 12 3，可以拆分成 12-13 的形式例 6 计算： 1/13+ 1/3 5+ 1/5 7+ + 1/99 101。 本题与第一题形似，但又有细微的区别 本题中的分母是相邻两个奇数的乘积。这两题的解法相同，但存在细节上的差异： 解：原式 =1/2（ 1-1/3） +1/2（ 1/3-1/5） + +1/2（ 1/99- 1/101） =1/2 （ 1-1/3） +（ 1/3-1/5） + +（ 1/99-1/10