2017年第34届全国中学生物理竞赛复赛.pdf

第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试 R 一、(40分)一个半径为r 、质量为m 的均质实心小圆柱被置于一个半径为R 、质量为M 的薄圆筒中，圆筒和小圆柱的中心轴均水平，横截面如图所示。重力加速度大小为g 。试在下述两种情形下，求小圆柱质心在其平衡位置附近做微振动的频率: (1) 圆筒固定，小圆柱在圆筒内底部附近作无滑滚动; (2) 圆筒可绕其固定的光滑中心细轴转动，小圆柱仍在圆筒内底部附近作无滑滚动。 第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试 R 1 (1)如图， 为在某时刻小圆柱质心在其横截面上到圆筒中 心轴的垂线与竖直方向的夹角。小圆柱受三个力作用：重 力，圆筒对小圆柱的支持力和静摩擦力。设圆筒对小圆柱 的静摩擦力大小为F ，方向沿两圆柱切点的切线方向(向右 为正)。考虑小圆柱质心的运动，由质心运动定理得 sinFmgma 式中， a 是小圆柱质心运动的加速度。 由于小圆柱与圆筒间作无滑滚动，小圆柱绕其中心轴转过 的角度1(规定小圆柱在最低点时1= 0)与之间的关系为 1 Rr 22 1 22 dd dd arRr tt 考虑小圆柱绕其自身轴的转动，由转动定理得 22 2 1 22 d1d d2d Rr rFJmr trt 2 2 d2 0 d3 g tRr sin 1 6 g f Rr 可得小圆柱质心在其平衡位置附近的微振动 是简谐振动，其振动频率为 联立上述方程 第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试 (2) 用F 表示小圆柱与圆筒之间的静摩擦力的大小， 1和 2分别为小圆柱与圆筒转过的角度(规定小圆柱相对于大 圆筒向右运动为正方向，开始时小圆柱处于最低点位置 1= 2= 0)。对于小圆柱和圆筒，由转动定理分别得 2 2 1 2 d1 2d rFmr t 2 2 2 2 d d RFMR t 22 12 22 dd21 dd FrR mMtt 设在圆柱横截面上小圆柱质心到圆筒中心轴的垂线与竖直 方向的夹角 ，由于小圆柱与圆筒间做无滑滚动，有 12 RrR 222 12 222 ddd ddd RrrR ttt 设小圆柱质心沿运动轨迹切线方向的 加速度为a ，由质心运动定理得 sinFmgma 2 2 d d aRr t 2 2 d2 0 d3 Mmg tMmRr sin 12 3 Mmg f MmRr 可得小圆柱质心在其平衡位置附近的微振动 是简谐振动，其振动频率为 联立上述方程 第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试 二、(40分) 星体P (行星或彗星) 绕 太阳运动的轨迹为圆锥曲线 1cos k r 式中，r 是P 到太阳S 的距离， 是矢径SP 相对于极轴SA 的夹角(以逆时针方向为正)， k = L2/(GMm2)，L 是P 相对于太阳的角动量，G = 6.67 10 11 m3 kg 1 s 2 为引力 常量， M 1.99 1030kg 为太阳的质量，m 和E 分别为P 的质量和机械能。假设有一 颗彗星绕太阳运动的轨道为抛物线，地球绕太阳运动的轨道可近似为圆，两轨道相交 于C、D 两点，如图所示。已知地球轨道半径RE 1.49 1011m，彗星轨道近日点A 到 太阳的距离为地球轨道半径的三分之一，不考虑地球和彗星之间的相互影响。求彗星 (1) 先后两次穿过地球轨道所用的时间； (2) 经过C、D 两点时速度的大小。 已知积分公式 ，偏心率 2 223 2 1 EL G M m 式中C 是任意常数。 31 22 d2 2 3 x x xaa xaC xa 第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试 (1) 由题设，彗星的运动轨道为抛物线，故1,0E 彗星绕太阳运动的轨 道方程为1cos k r 机械能守恒 2 2 2 1 0 22 rd LMm mvGE mrr 当彗星运动到近日点A 时，其 径向速度为零，设其到太阳的 距离为rmin，由上式可得 2 2 minmin 2 LMm G mrr 2 min 2 23 E RL r GMm 2 22 d 2 d rML vG trm r 2 22 d d 2 r t ML G rm r 设彗星由近日点A 运动 到与地球轨道的交点C 所需的时间为t ，对 上式两边积分得 minmin 2 22 dd 2 2 3 EE RR rr E rr r tGM R ML r G rm r 第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试 min 31 22 d22 22 3333 3 E R EE EEE r E RRr r tGMGMRRR R r 3 2 10 3 27 E R t GM 由对称性可知，彗星 两次穿越地球轨道所 用的时间间隔为 6 26.40 10 sTt (2)彗星在运动过程 中机械能守恒 2 1 0 2 Mm mvGE r 式中v 是彗星离太 阳的距离为r 时的 运行速度的大小。 2GM v r 当彗星经过C、D 处时 CDE rrR 联立上述方程，可得彗 星经过C、D 两点处的 速度的大小为 2 CD E GM vv R 4 4.22 10 m/s CD vv 第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试 三、(40 分)一质量为M 的载重卡车A 的水平车板上载有一质量为m 的重物B ，在 水平直公路上以速度 v0做匀速直线运动，重物与车厢前壁间的距离为L (L 0)。 因发生紧急情况，卡车突然制动。已知卡车车轮与地面间的动摩擦因数和最大静摩擦 因数均为 1，重物与车厢底板间的动摩擦因数和最大静摩擦因数均为 2(2 t t1，即卡车在t1时停下，重物B 继续运动，在t 时与车厢前壁发生碰撞 卡车停下的时间和向前滑动的距离分别为t1和s1，同时重物相对于地面滑动的距离是 重物相对于车厢向前滑动的距离是 2 1212 2 0 20 12 12 112 22 1 22 M Mm v sv ta t g Mm 22 12 00 2122 112 112 22 Mm MvvM sss Mmgg Mm 2121 ssLss 如果 22 1212 00 2 2112 112 22 Mm MMmvv L ggMm Mm 即 满足时，在车已停稳后重物仍会向前运动并且撞上车厢前壁。 第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试 从制动到重物B 与车厢前壁碰撞前，重物B 克服摩擦力做功。设在碰撞前的瞬间重物 B 相对地面的速度为v2，由动能定理有 22 2021 11 22 mvmvmg sL 2 1202 20212 112 22 Mm v vvg sLgL Mm 设碰撞后瞬间重物B 与卡车A 的速度均为v ，由于碰撞时间极短，碰撞前后动量守恒 2 mvMm v 2 120 22 112 2 Mm vmm vvgL MmMmMm 碰撞过程中重物B 对 车厢前壁的冲量为 2 120 2 112 02 Mm vMm IMvgL MmMm 第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试 碰撞后，卡车和重物又一起运动了一段时间 2 11 vvm t gMm g g 再移动了 一段路程 2 2 2 120 12 11112 1 2 22 Mm vvm sgL ggMmMm 才最终停止下来(对于卡车而言，这是第二次停下来)。 重物撞上车厢前壁的时间是 02 2 2 vv t g 所以，从卡车制动到车和重物 都停下所用的总时间为 i 022 2 21 vvvm ttt gMm g g 卡车移动的总路程为 22 2 1120 i 2 1112 1112 1 2 M Mmmv m L sss MmMm g Mm 第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试 (ii) 当 t t1，即卡车还未停下，重物就与车厢前壁发生碰撞，也可以表示为 2 12 0 212 112 2 Mm M v Lss g Mm 21 sts tL 22 0201 11 22 v ta tv tatL 1212 22LLM t aaMm g 在碰撞前的瞬间，卡车A 的速度v1和重物B 的速 度v2分别为 10101 12 2LM vvatva Mm g 20202 12 2LM vva tva Mm g 碰撞发生 的时间 第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试 由碰撞前后动量守恒，可得碰撞后重物B 和卡车A 的共同速度v 为 2121 0 12 2mvMvmaMaLM vv mMmMMm g 121 g mMmaMa 由冲量定理和以上两式得碰撞过程中重物B 对车厢前壁的冲量为 12 112 2 2 LMgMm IM vvaaLm MmMm 卡车运动时间为碰撞前后的两段时间之和 ii 0 11 vv tt gg 卡车总路程等于碰前和碰后两段路程之和 22 ii2 0 101 11 1 222 vvmL sv tat ggMm 第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试 另解，将卡车和重物视为一个系统，制动过程中它们之间的摩擦力和 碰撞时的相互作用力都是内力，水平外力只有地面作用于卡车的摩擦 力 ( M + m ) 1g 。在此力作用下系统质心做加速度大小为 1g 的匀 减速运动，从开始到卡车和重物都停止时所经历的时间为 ii 0 1 v t g 系统质心做匀减速运动的路程为 2 0 1 2 C v x g 设制动前卡车和重物的质心分别位于 x1和 x2；制动后到完全停下卡车运动了路程s1 (ii) ，两个质心分别位于 x1= x1+ s1 (ii)和 x2= x2+ s1 (ii)+ L 。于是有 ii 2 1 01212 1 2 C Mm smLvMxmxMxmx x MmMmMmg 由此可得 2 ii 0 1 1 2 vmL s gMm 第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试 四、(40 分) 如俯视图，在水平面内有两个分别以O 点与O1点为圆心的导电半圆弧内 切于M 点，半圆O 的半径为2a ，半圆O1的半径为a ；两个半圆弧和圆O 的半径ON 围 成的区域内充满垂直于水平面向下的匀强磁场(未画出)，磁感应强度大小为B ；其余 区域没有磁场。半径OP 为一均匀细金属棒，以恒定的角速度 绕O 点顺时针旋转， 旋转过程中金属棒OP 与两个半圆弧均接触良好。已知金属棒OP 电阻为R ，两个半圆 弧的电阻可忽略。开始时P 点与M 点重合。在 t (0 t ( / ) )时刻，半径OP 与半圆 O1交于Q 点。求 (1) 沿回路QPMQ 的感应电动势； (2) 金属棒OP 所受到的原磁场B 的作用力的大小。 MN OO1 P Q 第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试 MN OO1 P Q (1) 在 t (0 t ( / 2 ) )时刻，金属棒OP 扫过的面积 11 O QOOPMO QM SSSS 三角形扇形扇形 2 2 11 22sincos 22 Stat aatat 2 1 2sin2 2 Stt a 通过面积S 的磁通量为 m BS 由法拉第电磁感应定律得，沿回路QPMQ 的感应电动势为，负号表示感应电动势沿 回路逆时针方向(即沿回路QPMQ)，在 t (0 t ( / 2 ) ) )时刻 22 dd1 2sin21 cos2 dd2 m tt a Bta B tt 在 t ( / 2 ) t 0 )的离子，由静止开始被电场加速，经狭缝 中的O 点进入磁场区域，O 点到极板右端的距离 为D ，到出射孔P 的距离为bD (常数b 为大于2 的 自然数)。已知磁感应强度大小在零到 Bmax 之间 可调，离子从离子源上方的O 点射入磁场区域， 最终只能从出射孔P 射出。假设如果离子打到器 壁或离子源外壁则即被吸收。忽略相对论效应。 求 (1) 可能的磁感应强度B 的最小值； (2) 磁感应强度B 的其它所有可能值； (3) 出射离子的能量最大值。 第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试 (1) 设离子从O 点射入磁场时的速率为v ，由能量守恒得 2 1 2 qUmv 2qU v m 设离子在磁场中做匀速圆周运动 的轨迹半径为r ，有 2 v Bqvm r 12mU r Bq , 222 bDDbD rorr 则离子只能打到器壁或离子源外壁被 吸收，不能从P 射出。 若离子从O 射出后只运动半个圆周即从P 射出，则 2 bD r 电子能够从P 出射，可能的磁感应强度 B 的最小值为 min 22mU B bDq 第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试 (2) 若 则离子将穿过上极板进入电场区域，被减速到 零后，又重新反向加速至进入时的速率，从进 入处再回到磁场区域。设这样的过程进行了k 次，然后离子将绕过两极板右端从下极板进入 电场区域被加速，再穿过上极板进入磁场时能 量增加到2qU，运动半径增加到 2 D r O D bD s P 1 21 1rrr 这样加速n 次后，离子做圆周运动的半径 rn为 1 n rnr 当满足条件 1 2 n bD krrnk r 21 bD r nk 或者时，离子可从P 处射出。 第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试 另一方面，显然有k 1，且221krDkr 212 DD r kk 21 bD r nk 11 2122 DbDD nknk kk 2 2 2 1111bknbkb 212 DD r kk 12mU r Bq max max 2222 DBDqa k rmU 式中 rmax是当 B = Bmax时定出的。因此 k 为不大于 a / 2 的最大自然数 a / 2 1 2 n bD krrnk r 21 122 nk mUmU B rqbDq 第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试 21 122 nk mUmU B rqbDq 2222 2 222 222 2 222 222 2 222 222 111111212 212112121212 313113131312 1111112 22222 kn bbbb bbbbb bbbbb aaaaa bbbbb (3) 离子被电场加速了n + 1次后，其出射能量为1EnqU k 值满足 2 a k 2 max 12nbkb 可得出射离子的能 量最大值为 2 maxmax 111 2 a EnqUbbqU 第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试 六、(40 分) 1914 年，弗兰克-赫兹用电子碰撞原子的方法使原子从低能级激发到高能 级，从而证明了原子能级的存在。加速电子碰撞自由的氢原子，使某氢原子从基态激 发到激发态。该氢原子仅能发出一条可见光波长范围( 400nm - 760nm )内的光谱线。 仅考虑一维正碰。 (1) 求该氢原子能发出的可见光的波长； (2) 求加速后电子动能 Ek的范围； (3) 如果将电子改为质子，求加速质子的加速电压的范围。 已知hc = 1240 nmeV ，其中h 为普朗克常数，c 为真空中的光速；质子质量近似为电 子质量的1836 倍，氢原子在碰撞前的速度可忽略。 0 eV 0.85 eV 1.51 eV 3.40 eV 13.6 eV (1)由氢原子的能级公 式，可得氢原子的能 级图如图所示 2 13.6 eV,1,2,3, n En n 可见光光子能量的上限E1和下限E2分别为 1 min 1240nm eV=3.10eV 400nm hc E 2 max 1240nm eV=1.63eV 760nm hc E 第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试 要能观察到可见光范围内的光谱线，发生跃迁的两能级的 能量之差应在可见光的能量范围 1.63 eV3.10 eV 之间。 要仅能观察到一条可见光范围内的光谱线，由能级图可知 ，只能将氢原子激发到第二激发态，即能级 n = 3 。 0 eV 0.85 eV 1.51 eV 3.40 eV 13.60 eV 氢原子第二激发态(n = 3)到第一激发态(n = 2)的能量差为 3 232 1.51eV3.40eV1.89eVEEE 氢原子从第二激发态跃迁到第一激 发态所发出的可见光的波长为 3 2 656nm hc E (2) 要使氢原子能激发到能级 n = 3，需要提供的能量至少为 3 131 1.51eV13.60eV12.09eVEEE 设电子质量为me，电子碰撞前后的速度分别为v1和v2，氢原子碰撞前后的速度分别 为u1 0(由题意)和u2，电子因激发氢原子而损失的能量为E(被氢原子吸收为激发 能) 第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试 动量守恒和能量守恒关系 122ee m vm vMu 222 122 111 222 ee m vm vMuE 222 21 21 220 eeeee mMmvm v vmmM vM E 此式是关于 v2的一元二次方程。注意到 v2为实的常量，故方程的系数应满足条件 2 22 11 2420 eeeee m vmMmmmM vM E 2 1 1 1 2 e ke m Em vE M 要使原子从基态仅激发到第二激发态，E 应满足，E3-1 E E4-1 4 1 12.75eVE 3 1 12.09eVE 综上可得 3 14 1 11 ee k mm EEE MM 12.10eV12.76eV k E 第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试 (3) 将电子换为质子，可得 3 14 1 11 pp k mm EEE MM 式中 mp为质子的质量。由上式和题给条件得24.17eV25.49eV k E 设加速质子的加速电压为V 。由 k eVE(e 为质子电荷) 24.17V25.49VV 第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试 七、(40 分)如气体压强-体积图所示，摩尔数为 的双原子理想气体构成的系统经历一 正循环过程(正循环指沿图中箭头所示的循环)，其中自A 到B 为直线过程，自B 到A 为等温过程。双原子理想气体的定容摩尔热容为 (5/2)R ，R 为气体常量。 (1)求直线AB 过程中的最高温度； (2)求直线AB 过程中气体的摩尔热容量随气体体积变化的关系式，说明气体在直线 AB过程各段体积范围内是吸热过程还是放热过程，确定吸热和放热过程发生转变时 的温度c T ； (3)求整个直线AB 过程中所吸收的净热量和一个正循环过程中气体对外所作的净功。 第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试 (1) 直线AB 过程中任一平衡态的气体压强p 和体积V 满足方程 00 00 00 22 PPVV PV PV 0 0 0 3 2 P PPV V 根据理想气体状态方程有PVRT 式中T 是相应的绝对温度。 2 2 0000 00 00 1339 2416 PPPV TVPVVV RVRVR 根据上式可知，当 0 3 4 VV时，气体达到直线AB 过程中的最高温度 00 max 9 16 PV T R 第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试 (2) 直线AB 过程的摩尔热容量 Cm的定义有dd m QCT 由热力学第一定律有dddUQP V 由理想气体内能公式和题给数据有 5 ddd 2 V R UCTT 0 0 0 3 2 P PPV V 0 0 0 d531 d d22d mV PP VV CCRPV TVT 2 0 0 0 13 2 P TVPV RV 两边微分可得 0 00 2d d34 RVV TPVV 代入上式 0 0 2124 342 m VV R C VV 第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试 (2) 直线AB 过程的摩尔热容量 Cm的定义有dd m QCT 0 00 2d d34 RVV TPVV 0 0 2124 342 m VV R C VV 直线AB 过程中，体积V 变化如下 00 3 : 24 VV V dd 0,0,0 dd m TQ C VV 故，吸热 00 321 : 424 VV V dd 0,0,0 dd m TQ C VV 故，吸热 0 0 21 : 24 V VV dd 0,0,0 dd m TQ C VV 故，放热 系统从吸热到放热 转折点发生在 0 21 24 c V VV 2 0 0 0 13 2 P TVPV RV 00 35 64 c PV T R 第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试 (3) 直线AB 过程dd m QCT 0 00 2d d34 RVV TPVV 00 0 00 342124d ddd d3422 m PVVVVVR QCTV VVVRV 0 0 2124 342 m VV R C VV 0 0 216 dd 4 V QP V V 将此式两边对直线过程积分得，整个 直线AB 过程中所吸收的净热量为 0 0 0 0 2 0000 2 00 2 2162133 =d = 448 V V V V VV QP VPPV VV 直线 一个正循环过程中气体 对外所作的净功等于直 线AB 过程中气体对外 所作的功加上等温过程 中气体对外所作的功 0 0 0 0 2 00 00 2 000 00000 1 +=+d 222 3d3 ln2 8282 V V V V PV WWWPVP V VPVV PVPPV V 直线等温 第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试 八、(40 分)菲涅尔透镜又称同心圆阶梯透镜，它是由很多个同轴环带套在一起构成的 ，其迎光面是平面，折射面除中心是一个球冠外，其它环带分别是属于不同球面的球 台侧面，其纵剖面如右图所示。这样的结构可以避免普通大口径球面透镜既厚又重的 缺点。菲涅尔透镜的设计主要是确定每个环带的齿形(即它所属球面的球半径和球心)， 各环带都是一个独立的(部分)球面透镜，它们的焦距不同，但必须保证具有共同的焦点 (即图中F 点)。已知透镜材料的折射率为n ，从透镜中心O(球冠的顶点)到焦点F的距离( 焦距)为f (平行于光轴的平行光都能经环带折射后会聚到F 点)，相邻环带的间距为d ( d 很小，可忽略同一带内的球面像差； d 又不是非常小，可忽略衍射效应)。求 (1)每个环带所属球面的球半径和球心到焦点的距离； (2)该透镜的有效半径的最大值和有效环带的条数。 第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试 1: Cross section of a spherical Fresnel lens 2: Cross section of a conventional spherical plano-convex lens of equivalent power How a spherical Fresnel lens collimates light 菲涅尔透镜 (Fresnel lens) ，又名螺纹透镜，多是由聚烯烃材料注压而成的薄片，也有玻璃 制作的，镜片表面一面为光面，另一面刻录了由小到大的同心圆，它的纹理是根据光的干 涉及扰射以及相对灵敏度和接收角度要求来设计的。 第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试 特性 使用普通的凸透镜，会出现边角变暗、模糊的现象，这是因为光的折射只发生在介质的交 界面，凸透镜片较厚，光在玻璃中直线传播的部分会使得光线衰减。如果可以去掉直线传 播的部分，只保留发生折射的曲面，便能省下大量材料同时达到相同的聚光效果。菲涅耳 透镜就是采用这种原理的。菲涅尔透镜看上去像一片有无数多个同心圆纹路（即菲涅耳带 )的玻璃，却能达到凸透镜的效果，如果投射光源是平行光，汇聚投射后能够保持图像各 处亮度的一致。 其工作原理十分简单：假设一个透镜的折射能量仅仅发生在光 学表面（如：透镜表面），拿掉尽可能多的光学材料，而保留 表面的弯曲度。 另外一种理解就是，透镜连续表面部分“坍陷”到一个平面上 。从剖面看，其表面由一系列锯齿型凹槽组成，中心部分是椭 圆型弧线。每个凹槽都与相邻凹槽之间角度不同，但都将光线