《静电场基本方程》PPT课件.ppt

1,第一章 静电场,实验基础与理论基础,静电场的基本方程,基本方程的解,应用,1.1 电场强度，电位,1.2 高斯定律 1.3 静电场的基本方程， 分界面上的衔接条件,1.4 静电场边值问题，唯一性定理 1.5 分离变量法 1.6 有限差分法 1.7 镜像法和电轴法,1.8 电容和部分电容 1.9 静电能量与力,2,1.3 静电场的基本方程，分界面衔接条件,1.3.2 分界面上的衔接条件,1.3.1 静电场的基本方程,3,一、基本方程：,二、静电场的性质：,旋度：静电场为无旋场；,积分形式,微分形式,环路特性：场强的环路线积分为0(保守场),高斯定理：电位移的闭合面积分为面内包含的总自由电荷；,散度：静电场为有源场，电位移的源为自由电荷；,1.3.1 静电场的基本方程,4,解：,例1：已知 ，问：是否可能为静电场？,=0,可能为静电场。,5,半径为a的球中充满密度为(r)的电荷，已知电场为,求电荷密度 (r) 。（书P20例19）,解：,例2,6,1、电位移D的边界条件：,1,2,P,l,1,2,D2n D1n = ,证明：作一圆柱体， 设高l0， 底面S上D均匀,S,右=q= S +(1+ 2) (lS) /2,D2 cos 2 D1 cos 1 = ,为分界面上分布的自由电荷的面密度,结论：,n为介质1的外法线方向,1.3.2 分界面上的衔接条件,7,2、电场强度E的边界条件：,E1t = E2t,证明：作一矩形为闭合回路， 设边l20，边l1上E均匀,右=0,1,2,P,E2n,E1n,E2t,E1t,结论：,场强的切向分量连续，与面电荷无关,8,3、折射定理：,E1t = E2t,设两种电介质1 、2均为线性、各向同性，分界面上无自由电荷,结论：,D2n D1n = =0,1 E1cos 1= 2 E2cos 2,D1 = 1 E1,D2 = 2 E2,E1sin 1= E2sin 2,tg 1 /tg 2 = 1 / 2,9,4、电位的边界条件：,E1t = E2t,设在分界面两侧各取两点A、B，间距为d 0,结论：,1,2,D2n D1n = , 1, 2,2=1,10,5、导体(1)与电介质(2)的分界面：,E1t = E2t,结论：,导体,电介质,D2n D1n = ,D2n = ,E2t =0,2=1,2=1 = c,（1）导体表面是一等位面；电力线与导体表面垂直，电场仅有法向分量； （2）导体表面上任一点的D 就等于该点的自由电荷面密度。,11,例1、两平行板电容器，两区域的场强E 、电位移D是否相等？分别求其中的电场强度。（书P22例1-11）,图a,图b,解a：,E1 E2 D1 = D2,12,解b：,(1)E1= E2 D1 D2,图b,13,1、长 直 同 轴 圆 柱 电 容 器 ，内 外 导 体 单 位 长 度 带 电 荷 量 分 别 为+与+内 外 导 体 之 间 充 满 两 种 电 介 质， 内 层 为1外 层 为 2 ,分 界 面 是 以 为 半 径 的 柱 面， 如 图 所 示。 则 两 种 介 质 分 界 面 上 的 电 场 强 度 E和 电 通 密 度（ 电 位 移）D的 关 系 为：,A.,B.,C.,答：（ ）,14,2、板 间 介 质 为 空 气， 板 间 距 离 为d的 平 行 板 电 容 器 ， 两 板 分 别 与 恒 定 电 压 源的两 极 相 连 ， 设 此 时 电 容 器 极 板 间 电 场 强 度 为 E0， 现 将 该 电 容 器 的 一 半 空 间 填 以r2的 电 介 质， 且 保 持 介 质 分 界 面 与 极 板 平 面 平 行， 忽 略 端 部 的 边 缘 效 应， 此 时 电 容 器 极 板 间 的 电 场 强 度 为：,空 气 中 的 电 场 强 度 为E0，介 质 中 的 电 场 强 度 为 E0/2 B. 空 气 中 的 电 场 强 度 为4E0/3，介 质 中 的 电 场 强 度 为2E0/3 C. 空 气 中 的 电 场 强 度 为 5E0/3， 介 质 中 的 电 场 强 度 为E0/3，,答：（B）,15,3、 两 个 板 间 距 相 同 的 平 行 板 电 容 器， 如 图 所 示。 内 部 充 满 两 种 介 质， 介 电 常 数 如 图 中 所 标， 若 介 质 的 击 穿 场 强 都 一 样 时， 且 两 个 电 容 上 的U0都 以 同 一 比 例 逐 渐 增 大， 则 首 先 被 击 穿 的 介 质 是,A. 介 质 B. 介 质 C. 介 质 ,答：（C ）,16,解a：,例2、如图，两区域的场强E 、电位移D是否相等？若改变一个 区域的r，场强、两极板间的电压会改变吗？,(1)E1= E2 D1 D2,1,2,+q,-q,(2)若2增大，场强减小，电压减小。,1,2,+q,-q,解b：,图a,图b,(1)E1= E2 D1 D2,(2)若2增大，场强减小，电压减小。,17,例3：两种介质分界面是平面，已知1=40，2=20，且分界面一侧的电场E1=100V/m,其方向与分界面的法线成45o角，求分界面另一侧电场E2的值。（书P24 1-3-3）,解:,18,已证明：在两种不同电介质的分界面上，即：E1n E2n， （1）能求出E2nE1n的值吗？ （2）并由此说明在两种介质的分界面上， 电场强度产生突变的原因。 （P66思考题123）,结论：在两种介质的分界面上，电场强度产生突变的原因是在分界面上存在自由电荷面密度和束缚电荷面密度,19,1.4 静电场边值问题 唯一性定理,20,1、泊松方程、拉普拉斯方程的推导：,若=0,（均匀电介质）,泊松方程,拉普拉斯方程, 2 = - / , 2 = 0,2:拉普拉斯算子。 在直角坐标系下：,1.4.1 泊松方程和拉普拉斯方程,21,举例说明边界条件和分界面上的衔接条件在静电场分析计算中的应用。(书P66思考题1-25）,要确定泊松方程或拉普拉斯方程通解的待定系数，必须利用场域的边界条件和分界面上的衔接条件。,22,1、一般的微分方程的定解问题：,微分方程,（泊松、拉普拉斯方程）,初始条件,边界条件,（静电场不考虑）,1.4.2 静电场边值问题,2、静电场边值问题的类型：,23,电荷分布在有限区域，则无限远处电位有限,边值问题,已知场域边界上各点电位的法向导数,已知场域边界 上各点电位值 |S = f1(s),一、二类边界条件的线性组合，即,如：已知导体表面 电荷密度,如：已知导体电位,如：已知一些带电体电位和另外 一些带电体的电荷面密度,24,根据场域边界面上给定的边界条件的方式不同，把边值问题分为：, |S = f1(s),第一类边值问题：已知 边界面S上各点电位。,2. 第二类边值问题：已知 边界面S上各点电位法向导数值。,3. 第三类边值问题混合边值问题) 已知边界面S上各点电位和 电位法向导数值的线性组合值。,4. 自然边界条件：电荷分布在有限区域， 则无限远处电位有限。,如：已知导体表面 电荷密度,如：已知导体电位,如：已知一些带电体电位和另外 一些带电体的电荷面密度,25,边值问题 研究方法,26,一、唯一性定理内容：,在静电场中，凡满足电位微分方程、给定的边界条件（包括不同介质的分界面衔接条件及其场域的边界条件）的解是给定场的唯一解。,方程一定,二、唯一性定理证明：略,三、唯一性定理意义：殊途同归,1.4.3 唯一性定理,边界一定,解唯一,静电场,不同介质的分界面衔接条件,场域的边界条件,27,（1）采用任何一种方法求解静电场问题，只要解满足唯一性定理的条件，这个解就是我们要求的静电场的解。如镜像法和电轴法就是以唯一性定理为依据的。 （2）检验解的正确性。,唯一性定理在静电场的分析计算中起什么作用？ 试举例说明。(书P66思考题1-27),28,解：将其视为无限大平板的情况，则仅为x的函数。,例1、平板空气电容器中分布有体密度为的电荷，尺寸如图， 两板间电压为U0 ，求电场分布。（书P26例1-13）, |(x=0) =0, |(x=d) = U0,解微分方程，得通解：, = - x2/20+Bx+C,由二边界条件，得：,C=0,U0=-d2/20+Bd+C,C=0,B=U0/d+d/(20), = - x2/20+ U0/d+d/(20) x,29,解：由于场分布的对称性，取整个场域的1/4计算。,例2：长直同轴电缆尺寸如图。写出静电场边值问题。(书P26例1-12),U0,a,0,x,y,b, |(x=b,0yb) = |(y=b,0xb)=U0,Ex = 0,Ey = 0,30,写出图示矩形导电片的边值问题，并求出电位分布。,两 侧 边 为 电 流 线。,31,解：由对称性，仅为r的函数。用圆柱坐标系求解。,例3、长直同轴电缆尺寸如图，电压为U0，求场分布、电荷分布。,= 0, 2,微分方程,边界条件, |(r= R1) =0, |(r= R2) = U0,解微分方程，得通解：, ( r ) =A lnr + B,由二边界条件，得：,A ln R1 + B=0,A ln R1 + B=U0,A,B,( r )= U0 ln(r/ R1)/ ln( R2 / R1 ),R1,R2,U0,在导体表面 =D,(R1) = - U0 /R1 ln(R2 / R1),(R2) = + U0 /R2 ln(R2 / R1 ),32,课堂练习,(书P29 1-4-2)两平行导体平板，相距为d，板的尺寸远大于d，一板电位为0，另一板电位为V0，两板间充满电荷，电荷体密