《若尔当标准型》PPT课件.ppt

第八章 矩阵,2 矩阵 的标准形,3 不变因子,1 矩阵,4 矩阵相似的条件,6 若当(Jordan)标准形,5 初等因子,7 最小多项式,主要内容,第六节,Jordon形矩阵的定义,若尔当(Jordan)标准形,矩阵的Jordon标准形,矩阵相似的条件,从前面第七章的讨论可以知道，并不是对于每,一个线性变换都有一组基，使它在这组基下的矩阵,成为对角形.,下面先介绍一下，在适当选择的基下,一般的一个线性变换能化简成什么形状.,在这一节，我们的讨论限制在复数域中.,定义 1 形式为,的矩阵称为若尔当(Jordan)块，其中 是复数.,由若干个若尔当块组成的准对角矩阵称为若尔当,形矩阵，其一般形状如,一、定义,其中,并且 1 , 2 , s 中有一些可以相等.,例如,都是若尔当块，,是一个若尔当形矩阵.,而,1.一级若尔当块就是一级矩阵，因此若尔当形,矩阵中包括对角矩阵.,2.在一个线性变换的若尔当标准形中，主对角,线上的元素正是特征多项式的全部根(重根按重数,计算) .,注 意,二、若尔当标准形的初等因子,我们用初等因子的理论来解决若尔当标准形的,计算问题.,首先计算若尔当标准形的初等因子.,设有若尔当块,引理1,则其初等因子为 ( - 0)n .,证明,考虑它的特征矩阵,显然 | E - J0 | = ( - 0)n ，这就是 E - J0 的 n 级,行列式因子.,由于 E - J0 有一个 n - 1 级子式,所以它的 n - 1 级行列式因子是 1 ，从而它以下各,级的行列式因子全是 1 .,因此，它的不变因子为,d1() = = dn-1() = 1 , dn() = ( - 0)n .,由此即得， E - J0 的初等因子为 ( - 0)n .,证毕,设,是一个若尔当形矩阵，,引理2,其中,则J的初等因子为,既然 Ji 的初等因子是,所以 E- Ji 与,证明,等价.,于是,与,等价.,因此，J 的全部初等因子是：,2.每个若尔当形矩阵由若尔当块个数、各个若尔 当块的级数及对角线上元素决定，即它的全部初等 因子是由它的全部若尔当块的初等因子构成的.,1.每个若尔当块完全被它的级数 n 与主对角线上,元素0 所刻划，而这两个数都反映在它的初等因子,( - 0)n 中.,因此，若尔当块被它的初等因子唯一,决定.,由此可见，若尔当形矩阵除去其中若尔当,块排列的次序外是被它的初等因子唯一决定.,注 意,定理 1 (1)每个 n 级的复数矩阵 A 都与一个,若尔当形矩阵相似；(2)这个若尔当形矩阵除去其中,若尔当块的排列次序外是被矩阵 A 唯一决定的;,(3)称若尔当形矩阵为 A 的若尔当标准形.,证明,设 n 级矩阵 A 的初等因子为,其中 1 , 2 , , s 可能有相同的，指数 k1 , k2 , ,ks 也可能有相同的.,每一初等因子,对应,于一个若尔当块,这些若尔当块构成一若尔当形矩阵,根据以上的计算，J 的初等因子也是,因为 J 与 A 有相同的初等因子，所以它们相似.,如果另一若尔当形矩阵 J 与 A 相似，那么 J ,与 A 就有相同的初等因子，因此 J 与 J 除了其中,若尔当块排列的次序外是相同的, 由此即得唯一性.,证毕,步骤3 得出矩阵A的若尔当标准形.,求矩阵A的Jordan标准形的步骤,步骤1 求 E- A 的初等因子；,步骤2 写出每一个初等因子对应的若尔当块；,说 明,例 1 设 12 级矩阵A的不变因子是,( - 1 )2 ( + 1 )( 2 + 1 )2 .,按定义，它的初等因子有 7 个，即,( - 1 )2 , ( - 1 )2 , ( - 1 )2 , ( + 1 ) , ( + 1 ) ,( - i )2 , ( + i )2 .,于是其若尔当标准形为,求矩阵A的Jordan标准形.,解,例2 求矩阵A的若当标准形.,解：,的初等因子为,故 A的若当标准形为,换成线性变换的语言来说就是：,定理 2 设 A 是复数域上 n 维线性空间 V,的线性变换，,组基下的矩阵是若尔当形，,阵除去其中若尔当块的排列次序外是被 A 唯一决,定的.,在 V 中必定存在一组基，使 A 在这,并且这个若尔当形矩,证明,在 V 中任取一组基 1 , 2 , , n , 设,A 在这组基下的矩阵是 A .,由,存在可,逆矩阵 T，使 T-1AT 成若尔当形矩阵.,于是在由,(1 , 2 , , n ) = (1 , 2 , , n ) T,确定的基 1 , 2 , , n 下，线性变换 A 的矩阵,就是 T-1AT .,由定理 1，唯一性是显然的.,证毕,应该指出，若尔当形矩阵包括对角矩阵作为特,殊情形，那就是由一级若尔当块构成的若尔当形矩,阵，由此即得,定理 3 复数矩阵 A 与对角矩阵相似的充分,必要条件是，A 的初等因子全为一次的.,三、矩阵相似的条件,例3 证明矩阵 与对角阵相似 .,小 结,1.Jordon形矩阵的定义,2.矩阵的Jordon标准形,3.矩阵相似的条件,Smith标准形,Jordan标准形