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第二节 复数的几何表示,一、复平面,二、复球面,三、小结与思考,一、复平面,1. 复平面的定义,2. 复数的模(或绝对值),显然下列各式成立,3. 复数的辐角,说明,辐角不确定.,顺时针角度为负,辐角主值的定义:,辐角主值与实部虚部关系,4. 利用平行四边形法求复数的和差,两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致.,5. 复数和差的模的性质,利用直角坐标与极坐标的关系,复数可以表示成,复数的三角表示式,再利用欧拉公式,复数可以表示成,复数的指数表示式,欧拉介绍,6.复数的三角表示和指数表示,例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式:,解,故三角表示式为,找出模与幅角,指数表示式为,故三角表示式为,指数表示式为,例2,解,(三角式),(指数式),例3,证,两边同时开方得,例4,证,两边平方, 并化简得,下面例子表明, 很多平面图形能用复数形式的方程(或不等式)来表示; 也可以由给定的复数形式的方程(或不等式)来确定它所表示的平面图形.,例5,解,所以它的复数形式的参数方程为,例6,证,两边同时平方,例7,求下列方程所表示的曲线:,解,化简后得,二、复球面,1. 南极、北极的定义,球面上的点, 除去北极 N 外, 与复平面内的点之间存在着一一对应的关系. 我们可以用球面上的点来表示复数.,球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应, 这样的球面称为复球面.,2. 复球面的定义,我们规定: 复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应, 记作 . 因而球面上的北极 N 就是复数无穷大 的几何表示.,3. 扩充复平面的定义,包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.,不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面, 或简称复平面.,复球面的优越处:,能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来.,对于复数 来说, 实部,虚部,辐角等概念均无意义, 它的模规定为正无穷大.,三、小结与思考,学习的主要内容有复数的模、辐角;复数的各种表示法. 并且介绍了复平面、复球面和扩充复平面.,注意：为了用球面上的点来表示复数，引入了无穷远点无穷远点与无穷大这个复数相对应, 所谓无穷大是指模为正无穷大（辐角无意义）的唯一的一个复数，不要与实数中的无穷大或正、负无穷大混为一谈,思考题,是否任意复数都有辐角?,思考题答案,否.,它的模为零而辐角不确定.,放映结束，按Esc退出.,Leonhard Euler,Born: 15 April 1707 in Basel, Switzer
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