2019届安徽省高三皖南八校第一次联考数学(理)(解析版).doc

“皖南八校”2019届高三第一次联考数学（理科）第卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题題5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设集合，则ABA. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法化简集合，由交集的定义可得结果.【详解】因为集合 或，所以，故选D.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.2.设是虚数单位，且，则实数kA. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】C【解析】【分析】由虚数单位的运算法则化简，利用复数相等的性质可得结果.【详解】因为 ，所以可得，故选C.【点睛】本题主要考查虚数单位的运算法则以及复数相等的性质，属于简单题3.函数且是增函数的一个充分不必要条件是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用指数函数的单调性，结合充分条件与必要条件的定义求解即可.【详解】与是函数且为增函数的既不充分又不必要条件；是函数且为增函数的充要条件；可得，不等得到，所以是函数且是增函数的一个充分不必要条件，故选C.【点睛】判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.4.偶函数在上是增函数，且，则满足的实数的取值范围是A. (1,2) B. (-1,0) C. (0,1) D. (-1,1)【答案】A【解析】【分析】由偶函数在上是增函数，可得函数在上是减函数，结合，原不等式转化为，根据绝对值不等式的解法与指数函数的性质可得结果.【详解】因为偶函数在上是增函数，所以函数在上是减函数，由且满足，等价于，可得，实数的取值范围是,故选A.【点睛】本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查是，一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.5.如图在直角梯形ABCD中，AB2AD2DC，E为BC边上一点，F为AE的中点，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接根据平面向量加法与减法的运算法则化简求解即可.【详解】根据平面向量的运算法则；因为所以,故选B.【点睛】本题主要考查向量的几何运算及外接圆的性质、向量的夹角，属于难题向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）6.若函数在区间（a，a）上是单调函数，则实数a的取值范围是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求出函数在上递增，由可得结果.【详解】函数函数可化为，由可得函数的单调增区间为由可得，实数的取值范围是，故选D.【点睛】函数的单调区间的求法：(1) 代换法：若,把看作是一个整体，由 求得函数的减区间，求得增区间；若,则利用诱导公式先将的符号化为正，再利用的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.7.设不等式组，所表示的平面区城为M，若直线的图象经过区域M，则实数k的取值范围是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域，将问题转化为可行域内的点与连线的斜率的范围求解即可.【详解】画出不等式组表示的可行域，如图，恒过，即为可行域内的点与连线的斜率，由图可知，即实数的取值范围是，故选A.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移或旋转变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.8.设是等差数列，且，则A. 59 B. 64 C. 78 D. 86【答案】D【解析】【分析】由可得，利用“累加法”，结合等差数列的求和公式可得结果.【详解】设的公差为，则，又，时，故选D.【点睛】等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，另外，解等差数列问题要注意应用等差数列的性质（）与前 项和的关系.9.函数的图象恒过定点A，若点A在直线上，且m0，n0，则3mn的最小值为A. 13 B. 16 C. D. 28【答案】B【解析】【分析】由函数的图象恒过，可得，则，利用基本不等式可得结果.【详解】函数的图象恒过，由点A在直线上可得，即，故，因为，所以（当且仅当，即时取等号），故，故选B.【点睛】本题主要考查对数函数的性质以及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.10.函数的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的图象则）图象的一条对称轴为直线A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由最值求，由周期求，利用特殊点求，从而可得结果.【详解】由图象可知，所以，可得，故选D.【点睛】本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用最值求出 ,利用图象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求是解题的关键.求解析时求参数是确定函数解析式的关键，由特殊点求时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点， 用五点法求值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口，“第一点”(即图象上升时与轴的交点) 时11.已知函数是定义在上的单调函数，若对任意恒成立，则的值是A. 5 B. 6 C. 7 D. 8【答案】C【解析】 因为函数在定义域上是单调函数， 且，所以为一个常数，则， 令这个常数为，则有，且，将代入上式可得，解得，所以，所以，故选B.12.设函数在R上存在导数，对任意的，有，且时，若，则实数a的取值范围为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】构造函数，由可得在上是增函数，在上单调递减，原不等式等价于，从而可得结果.【详解】设，则时，为偶函数，在上是增函数，时单调递减.所以可得，即，实数的取值范围为，故选A.【点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.第卷（非选择题共90分）二填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.已知是第二象限角，且，则【答案】【答题空13-1】 【解析】【分析】直接利用同角三角函数之间的关系以及两角和的正弦函数公式求解即可.【详解】因为是第二象限角，且，所以，故，故答案为.【点睛】本题主要考查同角三角函数之间的关系以及两角和的正弦函数公式，意在考查综合应用所学知识解决问题的能力，属于简单题.14.用表示a、b两个数中的最小，设，则由函数的图象，x轴与直线x和直线x2所围成的封闭图形的面积为_。【答案】 【解析】【分析】将围成封闭图形转化为，利用定积分求解即可.【详解】由题意，围成封闭图形如图中阴影部分，由题意，故答案为.【点睛】本题主要考查定积分的几何意义，属于中档题.一般情况下，定积分的几何意义是介于轴、曲线 以及直线之间的曲边梯形面积的代数和 ，其中在轴上方的面积等于该区间上的积分值，在轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数,所以在用定积分求曲边形面积时，一定要分清面积与定积分是相等还是互为相反数；两条曲线之间的面积可以用两曲线差的定积分来求解.15.设函数的最大值为M，最小值为N，则MN=_。【答案】5 【解析】【分析】由可得，从而可得，进而可得结果.【详解】,是奇函数，即，故答案为.【点睛】本题主要考查函数的解析式以及函数奇偶性的判断与应用，意在考查灵活应用所学知识解决问题的能力，属于难题.16.已知高数的周期为4，且时，,，若方程恰有5个实数解（其中m0），则m的取值范围为_。【答案】 【解析】【分析】有5个解，等价于为与的图象有5个交点，利用数形结合可得结果.【详解】有5个解，等价于为与的图象有5个交点，在同一坐标系内画出函数与的图象，如图.求出直线过点和直线与半圆相切时的的值分别为，由图可得时，与的图象有5个交点，故答案为.【点睛】函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤17.已知向量，函数（1）求函数的最小正周期及单调递减区间（2）当时，求函数的值域【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据平面向量数量积公式，利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为.，利用正弦函数的周期公式可得函数的周期，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数的递减区间；（2）由可得，从而可得结果.【详解】，. （1）的最小正周期.由得的单调减区间为.（2），.，即的值域为.【点睛】以平面向量为载体，三角恒等变换为手段，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.18.数列的前n项和记为，且1，（1）求证：数列是等比数列（2）求数列的通项公式【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）把，化为化简整理得，进而可推出是以1为首项2为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式即可得出；（2）由，结合（1）可得，当时，.【详解】（1），又.是以1为首项2为公比的等比数列（2）是以1为首项2为公比的等比数列，即，当时， 也符合，所以，【点睛】本题主要考查数列的通项公式与前项和公式之间的关系，属于中档题. 已知数列前项和与第项关系，求数列通项公式，常用公式，将所给条件化为关于前项和的递推关系或是关于第项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式. 在利用与通项的关系求的过程中，一定要注意 的情况.19.在斜ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且（1）求A的大小（2）若，求B的取值范围【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，利用余弦走理，结合二倍角的正弦公式,可得,即可求角；（2）若,则甶余弦走理可得,求得即可得.【详解】（1），由为斜三角形，.（2）， 由（1）知，即 【点睛】本题主要考查余弦定理及三角函数的恒等变换，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.20.命题P：有意义；命题q：函数在上是单调函数（1）写出命题，若p为真命题，求实数a的取值范围（2）若为真命题，为假命题，求实数a的取值范围【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用全称命题的否定可得无意义，为真命题时，分类讨论可得，；（2）为真命题时，化简命题可得或，由为真命题，为假命题，可得一真一假，分两种情况讨论，对于真假以及假真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数的取值范围.【详解】（1）无意义，P为真命题时，.当时，有意义.当时，有意义.p为真命题时，. （2）为真命题时， q为真命题时，由函数在上是单调函数，或在时成立，或. 为真命题，为假命题，与q一真一假， 当为真命题时，q为假命题时，.当为假命题时，q为真命题时，. 的取值范围是.【点睛】本题通过判断或命题、且命题以及非命题的真假，综合考查函数的单调性以及不等式恒成立问题，属于中档题.解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”.21.已知函数（1）求证：对任意，有（2）若在实数集内有两个零点，求实数a的取值范围【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，由单调性可得时，；（2）由. 若，则恒成立，在R内递增，不可能有2个零点，若利用导数可得在内递减，在内递增，由题意，则，利用导数结合零点存在定理可得结果.【详解】（1）.令，解得.x0+0极大值1在内是增函数，在内是减函数. 时，（2）. 若，则恒成立，在R内递增，不可能有2个零点若得令得； 令得.在内递减，在内递增，由题意，则. 下证：时，有2个零点，由及单调性知在内有1个零点. 时，取，则，.由（1）知，取，则，由的单调性知在内有1个零点， 有2个零点时，.【点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.22.设函数（1）若曲线在点处的切线在x轴上的截距为一2，在y轴上的截距为2，求a与b的值（2）若对任意，都存在（e为自然对数的底数）