国外小学数学常用的一种教具——奎逊耐木条

1 / 12 国外小学数学常用的一种教具 奎逊耐木条 近二、三十年，国外小学数学教学中，广泛使用一种教具，叫做奎逊耐木条。它是比利时一位小学校长乔治奎逊耐研制的。 这套教具由十种木条组成，分别涂上白、红、浅绿、紫、黄、深绿、黑、蓝、棕、橙等颜色。十种木条的截面都是 1 平方厘米的正方形、长度分别为 1、 2、 3、10厘米。显然，白色木条是一个正方体、其他各色木条都是长方体。 奎逊耐木条具有以下几个特点： （一）是一种多用途的教具。利用奎逊耐木条可以学习自然数、整数四则运算、分数的概念、分数四则运算等，还可以学习某些代数知识，如整式的运算，以及简单的几何形体的认识和面积、体积的计算等。因此在小学各年级数学课上都可以使用。 （二）是一种操作性的教具。它不只作为教师演示用的一种教具，更重要的是学生实际操作用的教具。通过操作，如排序、比较、合并、移动、均分等，学生不仅理解所学概念的意义，计算法则的来源，或某一性质的原理，而且发展了操作能力。上课时，通常发给每个学生一盒奎逊耐木条，每盒木条的数量大致如下： 2 / 12 （三）是一种探索性的教具。用这种教具大都不是直接向学生说明某一数学概念或计算法则，而是使学生 通过操作去探索和发现数学的规律。例如，要知道 5是哪两个数组成的，学生就要试着找出哪两个木条接起来跟黄木条等长，要找出所有可能的情况，并按照顺序排好，然后做出结论。学生在操作时会发现，用调换木条的顺序的方法可以较快地找出所有可能的情况，如找到一个白木条和一个紫木条（表示 1 和 4）合起来是 5，很快想到一个紫木条和一个木白条合起来也是 5。因而在操作中促进了学生思维能力的发展。 下面简单介绍如何使用奎逊耐木条教学数学概念和进行计算。 一 认识自然数 把白木条看作 1，通过与白木条的比较，可以引导儿童确定其他颜色的木条依次表示 2， 3， 4， 5， 10。例如（见下图），通过摆木条知道红木条表示 2，浅绿木条表示 3。 把 10 种木条按照由短到长的顺序排列成楼梯形状，就表示从 1到 10的自然数列。利用它可以学习 10以内的数3 / 12 的顺序和大小比较。还可以学数的序数含义。例如，向学生提问： 从左起第四个是什么颜色的木条？ 从右起第三个是什么颜色的木条？ 黄木条排在从左起第几个？排在从右起第几个？ 用木条还可以学习数的组成。例如，通过摆木条可以找出 5 的组成（见右图）有： 4 和 1、 3 和 2、 2 和 3 以及 1和 4。 利用木条还可以学习 100以内的数。 数 100 以内的数时，每数够 10 个白木条，可以用 1个橙木条代替；超过 40 的数，可以把不同颜色的木条接起来。如 1个蓝本条和 1个白木条， 1 个棕木条和 1个红木条，都表示 10。 两位以上的数也可以按照位值原则来摆。例如，红木条放在个位表示 2 个一，放在十位表示 2 个十，放在百位表示 2 个百。 二 整数加、减法 4 / 12 （一）做两个数的和不超过 10 的加法，先把表示这两个数的木条接起来，然后找出一个木条跟相接的两个木条等长，这 个木条所表示的数就是两个加数的和。例如，右图表示 3 5=8。 遇到和超过 10 的，可以拿 1 个橙木条和另一个木条接起来表示两个加数的和。例如：棕木条和紫木条接起来表示 8 4，要知和是多少，下面放 1 个橙木条和 1个红木条，容易看出和是 12。 （二）说明两位以上的数的加法，可以按照位值原则摆木条，然后逐位加，某位上两个数的和满 10，要在前一位增加一个单位。 （三）做两个 10 以内的数的减法，先找出两个木条分别表示被减数和减数，使它们的一端对齐，然后找出另一个木条和短木条（表示减数）接起 来跟长木条（表示被减数）等长。找出的木条所表示的数就是减得的差。例如右上图表示 7-3=4。 5 / 12 计算十几减几（退位）的减法，可以按照同样方法进行。 （四）两位以上的数的减法，要按照位值原则摆木条，然后逐位减，某位上的数不够减要从前一位退 1改作 10，再减。 （五）通过摆木条，还可以学习加减法的关系和加、减法的运算性质。例如： 再举其他类似的例子，最后引导学生概括出加法结合律又例如： 再举其他例子，最后引导学生做出概括：一个数减去两个数的和等于从这个数里依次减去 和里的各个加数。 三 整数乘、除法 （一）两个数相乘，先拿两个木条分别表示被乘数和乘数，摆成十字形；然后按照表示乘数的木条的长度连续摆满表示被乘数的木条，使表示被乘数的那几个木条的总宽度6 / 12 跟表示乘数的木条的长度正好相等。最后根据所摆的同样的几个木条的总长度，算出两数相乘的积。例如： （二）几个数连乘，要把表示相乘的几个数的木条摆成复合的十字形（又叫塔形），然后按前边的方法分步操作和计算。例如： （三）几个相同的数连乘，也就是一个数的若干次方，用奎逊耐木条摆成塔形，可以 很直观地表示出来。例如： （四）计算除法时，先拿两个木条分别表示被除数和除数，然后看用几个表示除数的木条接在一起眼表示被除数的木条等长，商就是几。 如果最后需要接的木条比表示除数的木条短，就表示除后有余数。例如，下图表示 17 3=5 2。 有时做较大的数的除法，被除数和除数可以用十字形7 / 12 或塔形表示。例如， 210 14，分别摆成 2 3 5 7 的塔形和 2 7的十字形，然后从被除数里拿掉 2 7，得到 3 5，就是商得 15。 （五）多位数乘除法，也可以用奎逊耐木条来说明。但是最好先了解乘除法的运算性质。 利用奎逊耐木条，可以这样说明乘法分配律： 根据乘法分配律，用木条可以说明笔算乘法的计算方法。例如， 24 13 可以看作是 3 个（ 20 4）和 10 个（ 20 4）的和，也就是 3 个 4、 3 个 20、 10 个 4 和 10 个 20 的和。 在摆木条的基础上总结乘法竖式的计算步骤如下： 根据和除以一个数的运算性质，用木条可以说明笔算除法的计算方法。例如， 432 2，可以把被除数分解成 400、20和 12，拿这 三个数依次除以 2（如下页图）。 8 / 12 在摆木条的基础上总结除法竖式的计算步骤如下： 四 分解质因数 （一）利用奎逊耐木条可以给学生建立因数、质数和合数的概念。例如： 通过摆木条，可以直观地了解， 12 可以分别由 1 个12、 2 个 6、 3 个 4、 4 个 3、 6 个 2 或 12 个 1 组成，也就是12能被 12、 6、 4、 3、 2、 1整除，由此也就知道这些数都是12 的约数（或因数），还可以了解 6、 3、 2、 1 都是 6 的约数（或因数）； 4、 2、 1 是 4的约数（或因数）；等等。 通过摆木条，学 生可以了解，有的数只能用它自身（表示该数的木条）和若干个 1（白木条）来表示。这就是说，这个数的约数只有它自身和 1，这样的数就叫做质数，如 2、3、 7等： 9 / 12 有的数除表示该数的木条自身和白木条以外，可以用其他木条表示，也就是说除该数自身和 1 外，还有其他约数。这样的数就是合数。如 12、 6、 4 等。有了木条帮助理解，学生对这些概念就不会感到抽象难懂了。 （二）利用奎逊耐木条可以说明把一个合数分解质因数。先说明，每个合数都可以用表示它的因数的木条摆成一个塔形，例如 12，首先用下面两个十字形来表示。 由于 4 和 6 都是合数，因此还可以用更短的木条组成塔形来表示。 因为这些木条所表示的数都是质数，所以这个塔形就叫质数塔形。把一个合数摆成质数塔形，说明这个数可以用几个质数相乘的形式来表示，就叫做把这个合数分解质因数，上页图的质数塔形表示： 12=3 2 2。 （三）通过摆质数塔形来把合数分解质因数后，很容易找出两个合数的公因数和最大公因数。例如 42和 30分别用下面的质数塔形来表示： 10 / 12 可以看出， 42和 30有公因数 2、 3 和 6，最大公因数是 6。 （四）通过摆质数塔形来 把合数分解质因数后，也很容易找出两个合数的最小公倍数。例如， 12 和 18，先分别用下面的质数塔形来表示： 然后参照这两个塔形，摆一个新塔形，要是原来 2 个质数塔形的公倍数，就要包含原来每个塔形的所有木条。具体地对 12 来说，所摆的这个新塔形至少必须包含两个红木条和一个浅绿木条。就是要包含的质因数至少必须有两个 2和一个 3；对 18来说，这个新塔形至少必须包含一个红木条和两个浅绿木条，就是要包含的质因数至少必须有一个 2 和两个 3。这样新塔形至少要包含两个红木条和两个浅绿木条，也就是两个 2和两个 3。由此得到 12 和 18的最小公倍数是：2 2 3 3= 36。 也可以按一般求最小公倍数的方法，先找两个数公有的质因数。于是断定新塔形要包含它们公有的一个红木条和一个浅绿木条；而新塔形要是 12 的倍数，至少还要有一个红木条；要是 18 的倍数，至少还要有一个浅绿木条。这样也可以断定新塔形至少要包含两个 2 和两个 3。 11 / 12 五 分数的概念 分数概念涉及到部分和整体的关系，一个分数表示某一部分是整体的几分之一或几分之几。因此可以从奎逊耐木条的长短的比较中引出分数。例如： 长木条在左，短木条在右，表示长木 条是短木条的几倍；反过来，短木条在左，长木条在右，表示短木条是长木条的几分之一或几分之几（都是以右边的木条作为比较的标准）。比较上面每一组的两个木条，可以看出，紫 如果选定某种颜色的木条作为单