二项式定理的性质.ppt

二项式定理的性质,学海导航:了解杨辉三角,掌握二项式的几个重要性质,复习回顾:,二项式定理及展开式:,(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6,=,=,=,=,=,=,a + b,a3+3a2b+3ab2+b3,a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4,a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5,a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6,a2+2ab+b2,二、新课,(a+b)1 = 1a + 1b (a+b)2= 1a2+2ab+1b2 (a+b)3= 1a3+3a2b+3ab2+1b3 (a+b)4= 1a4+4a3b+6a2b2+4ab3+1b4 (a+b)5= 1a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b5 (a+b)6= 1a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+1b6 (a+b)7= ? (a+b)8= ? (a+b)n= ?,(a+b)1 _ (a+b)2 _ (a+b)3 _ (a+b)4 _ (a+b)5 _ (a+b)6 _ (a+b)n _ (a+b)n+1_,1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1,1 C C C C 1,1 C C C 1, ,杨辉三角,(a+b)1 _ (a+b)2 _ (a+b)3 _ (a+b)4 _ (a+b)5 _ (a+b)6 _ (a+b)n _ (a+b)n+1_,1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1,1 C C C C 1,1 C C C 1, ,杨辉三角,详解九章算法中记载的表,这样的二项式系数表，早在我国南宋数学家杨辉1261 年所著的 详解九章算法一书里就已经出现了，在这本书里，记载着类似左面的表：,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,性质1：对称性,二 项 式 系 数 的 性 质,由于：,所以 相对于 的增减情况由 决定,性质2：增减性与最大值,由：,可知，当 时，,二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。,当n= 6时,其图象是7个孤立点,20,10,30,35,O,n,f（r）,n为奇数,n为偶数,在二项式定理中，令 ，则：,这就是说， 的展开式的各二项式系数的和等于：,同时由于 ，上式还可以写成：,这是组合总数公式,性质3：各二项式系数的和,性质4:,在(ab)n展开式中,奇数项的二项 式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.,例1：求(1+2x)8 的展开式中二项式系数最大的项,解：已知二项式幂指数是偶数，展开式共项，依二 项式系数性质 中间一项的二项式系数最大，则： T5=C84(2x)4=7016x4=1120x4,三、例题,解：依题意, n 为偶数，且,例2 已知 展开式中只有第10 项系数最大，求第五项。,例、已知(1-2x)7= a0+ a1x + a2x2 + + a7x7 ,则 (1)a1+a2+a3+a7=_ (2)a1+a3+a5+a7 =_,分析：求解二项式系数和时，灵活运用赋值 法可以使问题简单化。通常选取赋值时取1，1。,2、在(ab)10展开式中，二项式系数最大 的项是( ).,1、在(ab)20展开式中，与第五项二项式 系数相同的项是( ).,A,A.第6项 B.第7项 C.第6项和第7项 D.第5项和第7项,C,A.第15项 B.第16项 C.第17项 D.第18项,此种类型的题目应该先找准r的值，然后再确定第几项。,注：,四、练习,3.(a+b)n展开式中第四项与第六项的系数相等，则n为 A.8 B.9 C.10 D.11 4.二项式(1-x)4n+1的展开式系数最大的项是（ ） A.第2n+1项 B. 第2n+2项 C. 第2n项 D第2n+1项或2n+2项 5.若(a+b)n的展开式中，各项的二项式系数和为8192， 则n的值为 （ ） A16 B.15 C.14 D.13,A,A,D,（3） 数学方法 ： 赋值法 、递推法,（1）二项式系数的三个性质,五、小结,二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。,第3课时 二项式定理,基础知识梳理,基础知识梳理,思考？,在公式中，交换a，b的顺序对其二项展开式是否有影响？,基础知识梳理,二项展开式,r1,(4)在二项式定理中，如果设a1，bx，则得到公式(1x)n .,基础知识梳理,基础知识梳理,距首末两端等距离的两项的二项式系数相等,基础知识梳理,递减的,递增的,基础知识梳理,基础知识梳理,2n1,2n,A15 B20 C15 D20 答案：B,三基能力强化,答案：C,三基能力强化,3二项式(13x)6的展开式中系数最大的项是( ) A第3项 B第4项 C第5项 D第6项 答案：C,三基能力强化,4(2008年高考安徽卷改编)设(1x)7a0a1xa7x7，则a0，a1，a7中所有奇数的和为_ 答案：128,三基能力强化,答案：5,三基能力强化,课堂互动讲练,求二项展开式中的特定项，一定要抓住展开式中的通项Tk1Cnkankbk，要注意通项是(ab)n的展开式的第k1项，而不是第k项，这里k0,1，n.求解时要将通项化成常数乘一个未知数多少次方的形式，然后根据需要求适合条件的项,课堂互动讲练,(1)求n； (2)求含x2项的系数； (3)求展开式中所有的有理项,课堂互动讲练,【思路点拨】 利用通项确定n，进而根据特定项的特征求解,课堂互动讲练,课堂互动讲练,课堂互动讲练,【误区警示】 这类带有减号的二项展开式最容易出现的问题就是忽视了(1)r这个因素，导致最后结果产生符号的差异，出现错误,课堂互动讲练,课堂互动讲练,互动探究,课堂互动讲练,要使展开式中的项为有理项，只要x的指数为整数， 则r0,4,8. 所以第1项，第5项与第9项为有理项，它们分别是x4,70x，x2.,课堂互动讲练,二项式定理实质是关于a，b，n的恒等式，除了正用、逆用这个恒等式，还可根据要求系数和的特征，让a、b取相应的特殊值，至于特殊值a、b如何选取，视具体问题而定没有一成不变的规律,课堂互动讲练,课堂互动讲练,课堂互动讲练,课堂互动讲练,【答案】 C,课堂互动讲练,【名师点评】 本题主要使用赋值的办法来解决,2若(3x1)7a7x7a6x6a1xa0，求： (1)a7a6a1； (2)a7a5a3a1； (3)a6a4a2a0； (4)|a7|a6|a0|.,课堂互动讲练,跟踪训练,解：(1)令x0，则a01； 令x1，则a7a6a1a027128， a7a6a1129. (2)令x1， 则a7a6a5a4a3a2a1a0(4)7.,课堂互动讲练,课堂互动讲练,(4)(3x1)7展开式中，a7、a5、a3、a1均大于零，而a6、a4、a2、a0均小于零， |a7|a6|a0| (a1a3a5a7)(a0a2a4a6) 8256(8128)16384.,课堂互动讲练,1根据二项式系数的性质，n为奇数时中间两项的二项式系数最大，n为偶数时中间一项的二项式系数最大 2求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项不同，求展开式中系数最大项的步骤是：先假定第r1项系数最大，则它比相邻两项的系数都不小，列出不等式并解此不等式组求得,课堂互动讲练,课堂互动讲练,【思路点拨】 根据二项式系数的性质，列方程求n，系数最大问题需列不等式组求解,课堂互动讲练,课堂互动讲练,课堂互动讲练,课堂互动讲练,课堂互动讲练,课堂互动讲练,课堂互动讲练,跟踪训练,课堂互动讲练,课堂互动讲练,1二项式定理的一个重要用途是做近似计算；当n不很大，|x|比较小时，(1x)n1nx. 2利用二项式定理还可以证明整除问题或求余数问题，在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式，要注意变形的技巧,课堂互动讲练,3由于(ab)n的展开式共有n1项，故可通过对某些项的取舍来放缩，从而达到证明不等式的目的，而对于整除问题，关键是拆成两项后利用二项式定理展开，然后说明各项是否能被整除,课堂互动讲练,课堂互动讲练,(满分展示)(本题满分12分) (1)已知nN，求证：12222325n1能被31整除； (2)求0.9986的近似值，使误差小于0.001.,【思路点拨】 (1)要先用等比数列的前n项和公式，然后应用二项式定理转化成含31的倍数的关系式； (2)把0.998变成10.002，然后应用二项式定理展开,课堂互动讲练,32n1 3分 (311)n1 31nCn131n1Cn231n2Cnn13111 31(31n1Cn131n2Cnn1)， 显然括号内的数为正整数， 5分 故原式能被31整除. 6分,课堂互动讲练,(2)0.9986(10.002)6 1C61(0.002)C62(0.002)2C63(0.002)3 8分 第三项T315(0.002)2 0.000060.001，以后各项更小， 0.998610.0120.988. 12分 【反思感悟】 在解答第(2)问时，不需全部展开，直到满足项比0.001还小即可,课堂互动讲练,4(本题满分12分)设函数f(x)满足f(0)1，且对任意x，yR，f(xy1)f(x)f(y)f(y)x2恒成立 (1)求f(x)的解析式； (2)若数列an满足：an13f(an)1(nN)，且a11，求数列an的通项；,课堂互动讲练,自我挑战,解：(1)f(0)1，令xy0得 f(1)f(0)f(0)f(0)022， 又令y0，得f(1)f(x)f(0)f(0)x2， f(x)x1，xR. 2分 (2)f(x)x1， an13f(an)13(an1)1(nN)，,课堂互动讲练,an113(an1)(nN)， 数列an1是公比为3的等比数列. 4分 a112，an123n1(nN)， an23n11(nN). 7分,课堂互动讲练,课堂互动讲练,课堂互动讲练,1二项式定理及通项公式的应用 (1)对于二项式定理，不仅要掌握其正向运用，而且应学会逆向运用与变形运用有时先作适当变形后再展开较为简便，有时需适当配凑后逆用二项式定理,规律方法总结,(2)运用二项式定理一定要牢记通项Tk1Cnkankbk，注意(ab)n与(ba)n虽然相同，但用二项式定理展开后，具体到它们展开式的某一项时是不相同的，一定要注意顺序问题 (3)在通项公式Tk1Cnkankbk(nN)中，要注意有nN，kN，kn，即k0,1,2，n.,规律方法总结,2项的系数与项的二项式系数的区别 利用通项公式求二项展开式中指定的项(如常数项、系数最大项、有理项等)或某些项的系数是本节重点内容，解题时，要正确区分展开式中的“项”、“项的系数”、“项的二项式系