《概率论与数理统计》韩旭里谢永钦版习题五及答案.pdf

1 习题五 习题五 1.一颗骰子连续掷 4 次，点数总和记为 X.估计 P10 100 0.3871(0.387)0.348, 10 20 12 V P = = 3 即有 PV1050.348 5. 有一批建筑房屋用的木柱，其中 80%的长度不小于 3m.现从这批木柱中随机地取出 100 根，问其中至少有 30 根短于 3m 的概率是多少？ 【解】【解】设 100 根中有 X 根短于 3m，则 XB（100，0.2） 从而 30 100 0.2 301301 100 0.2 0.8 P XP X = = 1( 1.25)(1.25)0.8944.= = = （2） XB（100,0.7） ， 100 1 75 100 0.7 751751 100 0.7 0.3 i i PXP X = = 5 1()1(1.09)0.1379. 21 = = = 7. 用 Laplace 中心极限定理近似计算从一批废品率为 0.05 的产品中，任取 1000 件，其中有 20 件废品的概率. 【解】【解】令 1000 件中废品数 X，则 p=0.05,n=1000,XB（1000,0.05） ， E（X）=50，D（X）=47.5. 故 12050130 20 6.8956.89547.547.5 P X = 4 6 130 4.5 10 . 6.8956.895 = 8. 设有 30 个电子器件.它们的使用寿命 T1，T30服从参数 =0.1单位： （小时）-1的指数 分布，其使用情况是第一个损坏第二个立即使用，以此类推.令 T 为 30 个器件使用的总 计时间，求 T 超过 350 小时的概率. 【解】【解】 11 ( )10, 0.1 i E T = 2 1 ( )100, i D T = ( )10 30300,E T = ( )3000.D T = 故 3503005 350111(0.913)0.1814. 300030 P T = = = 9. 上题中的电子器件若每件为 a 元，那么在年计划中一年至少需多少元才能以 95%的概率 保证够用（假定一年有 306 个工作日，每个工作日为 8 小时）. 【解】【解】设至少需 n 件才够用.则 E（Ti）=10，D（Ti）=100， E（T）=10n，D（T）=100n. 从而 1 306 80.95, n i i PT = = 即 306 8 10 0.05. 10 n n 故 102448244.8 0.95,1.64,272. 10 nn n nn = = 所以需 272a 元. 10. 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、1 名家长、2 名家长来参加会议的概率分别为 0.05,0.8,0.15.若学校共有 400 名学生，设各 学生参加会议的家长数相与独立，且服从同一分布. （1） 求参加会议的家长数 X 超过 450 的概率？ （2） 求有 1 名家长来参加会议的学生数不多于 340 的概率. 【解】【解】 （1） 以 Xi（i=1,2,400）记第 i 个学生来参加会议的家长数.则 Xi的分布律为 Xi 0 1 2 P 0.05 0.8 0.15 易知 E（Xi=1.1）,D（Xi）=0.19,i=1,2,400. 而 400 i i XX=,由中心极限定理得 400 400 1.1 400 1.1 (0,1). 400 0.194 19 i i X X N = 近似地 于是 450400 1.1 45014501 4 19 P XP X = 5 1(1.147)0.1357.= = （2） 以 Y 记有一名家长来参加会议的学生数.则 YB（400,0.8） 由拉普拉斯中心极限定 理得 340400 0.8 340(2.5)0.9938. 400 0.8 0.2 P Y = = 11. 设男孩出生率为 0.515，求在 10000 个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率？ 【解】【解】用 X 表 10000 个婴儿中男孩的个数，则 XB（10000，0.515） 要求女孩个数不少于 男孩个数的概率，即求 PX5000. 由中心极限定理有 5000 10000 0.515 5000( 3)1(3)0.00135. 10000 0.515 0.485 P X = = = 12. 设有 1000 个人独立行动，每个人能够按时进入掩蔽体的概率为 0.9.以 95%概率估计， 在一次行动中： （1）至少有多少个人能够进入？ （2）至多有多少人能够进入？ 【解】【解】用 Xi表第 i 个人能够按时进入掩蔽体（i=1,2,1000）. 令 Sn=X1+X2+X1000. （1） 设至少有 m 人能够进入掩蔽体，要求 PmSn10000.95，事件 9001000 0.9 . 1000 0.9 0.190 n n Sm