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第 28 卷第2期 西南民族 学院学报 自然科学版 J O u r一lalofSo uthw estUniv ersit y f o r N a tion aIitie s Natur a l sci e nee E d iti o nMa y 2002 文章编号 : 10 0 3 一2 84 3( 2002殉2 0 13 9 0 5 MA T LA B 在数据包络分析中的应用 彭育威 , 徐小湛 2 , 吴守宪 ( 1 . 西南民族学院计葬机科学与技 术学院 , 成都6 10 04 1 : 2 . 四 川大学数学学院 , 成 都6 10 0 6 4) 摘要 : 用数学软件M叭T LAB编 写了方便 、 适用的DEA应用程序 , 较好地解决了DE A计算童大的问题 . 建立的程序为 DEA理论研究和实际应用提供了方便 、 有效 的计算工县 . 关键词 : 数据包络分析( D EA ) ; 线性规划; M叭TLA B 中图分类号: 022 1 , 0 2 4 5文献标识码 : A 1DEA 模型简介 数据包络分析 , 简称D EA( D a t a E nv e lo Pme ntA n 吻s i s) , 是以相对效率概念为基础 , 根据多指标投入(输入) 和 多指标产出(输出) , 对同类型的部门或单位(称为 决策单元( DMu进行相对有效性或效益评价的一种方法【 , z . D EA是由cha n le s等人于197 8 年提出的 3 . 该方法最初主要用于对一些非盈利部门( 如教育 、 卫生 、 政府机构) 的运转的有效性的评价 ; 后来 , DEA被用于更广泛的领域(如金融 、 经济 、 项目评估等等) . 一个部门的运转往往需要多项投入 , 也会有多项产出 . 例如 , 对大学的一个系的投入包括 : 教师 、 教师的 工资 、 办公经费 、 文献资料费等等 : 而这个系的产出包括 : 培养的本科生和研究生 、 发表的论文 、 完成的科研 项 目等等 . D E A可以对若干个同类型的这种部门或单位(它们有相同的目标和任务 、 有相同的输入和输出指标 、 有相同的外部环境)进行相对有效性的评价 . 设有 n 个决策单元DMU , ( l 。 i。 n ) . 每一个单元DMU ,有脚项输入尤, , x 2 i , , 耘 , 和s项输出y l, , 力 , , y s(其 中今 , y , i o) . 则有以下输入一输出矩阵 : DMU : “ - 一 DMU , DMU n x l nx Z n 输入 1 输入 2 万l二 劣l- 万21 . 劣2矛 孟- . - , . y y 。 输出 1 输出2 y11 二 yl 。 yZ I ” yZ n 将DMU 万 的输入和输出记为向量形式 : 为一 ( x 】, , x 2 , , x m办 T , y t 一 伽 。, 为 , , y si ) T 则以上矩阵可简记为 : _ _ _ _ _ _ ._ _p吵乙 _ _ , : _ p MU 老- 一 , : _ . _ 列四法 _ _ 输入 记X = x, x 2 x n , Y= ty , 力外 并称义为多指标输入矩阵 , 了为多指标输出矩阵 . 设 v= (v l , vZ, , 殊) T 和 u 二(。, , uZ, , u, ) T 收稿日期 : 2002 一03。04 作者简介 : 彭育威( 19 4 6 一). 男 , 西南民族学 院计算机科学与技术学院教授 . 140 西南民族学院学报 自然科学版第28卷 分别是输入和输 出的权向量 , 则DMU , 的总输入去和总输出O 分别 为: 去= vlxl+ 饮 + + 哺 , : = x 矛 v 和 O , 二。、夕1,+ u沙2,+ + u 必 二夕厂u 显然 , 总输入石越小 , 总输出口,越大 , 则DMU , 的效率越高 . 为此 , DEA用 总输出与 总输入之比的大小来 衡量DMU ; 的有效性 . 令 。 o , y厂 : 乙 , = 二一气了- I , 叮 v 瓦 , 称为DMU , 的效率评价指数 . 在上式中 , 权向量 u 和 v都是 待定的 , 它们的每一个分量都是非负的(记作u 。 认 v 。 0 ) . 对每一个DMu , , 我们求使瓦 达到最大值的权向量 . 因此 , 得到DEA的C ZR 模型(尸) : 对每一个DMu , , 解以下极大化问题 : 、矛 P 了 、 0 . m队 佘 一: “ 5 . t , 零 、, (1 . , . 。) , 。. 。 , v. 。 这是一个分式规划问题 . 若令 l t二 一气尸一 二 = t V 二 二tu T _ , . 一 F, . 一“ 石 v 则(尸)可化为等价的线性规划问题 ; ma x y厂 。 二 双 , s t . 可二 x 歹 . ( l . J . n ) , x 厂一 l , 二 0 , . 线性规划( P )的解 。,* 和 。 ,* 称为DMU , 的最佳权向量 , (P) 它们是使DMU , 的效率值瓦 , 达到最大值的权向量 . 注 意 : 作为线性规划的解 , 。 :* 和 。,* 不是唯一的 . 定义I z l ( l)若线性规划( P )的解 。 * , , 满足 : 瓦 , 二 可 。:* 一1 , 则称DMU 为弱DEA有效(C ZR ) 的; (2 ) 若线 性规划(P ) 的解中存在解 。 ,* 0 , 为了便于检验D EA的有效性 , ,* o并且瓦 , = y子 。 *一l, 则称D MU , 为DEA有效( C ZR ) 的 . 一般考虑( P)的对偶模型的等式形式(带有松弛变量且具有非阿基米德无穷小e ) : min(口一 : ( e石s 一 +e二s + ) 月 月 s 艺 “ ,x, + 、一 e x , 艺 “ , , , 一s =, : (D ) J=IJ“1 一 0 , s 一 0 , s+ . 0 其中 , 、一 (杯 , 朽 , , 编)是m项输入的松弛变量 ;: + = (衬 , 时 , , 叮)是 s项输出的松弛变量; 。 一 ( . 1,。: , , 。)是n 个DMu的组合系数 ;。不= (l , l , , l)、 x , , 。二一 (l , l , , l) 1 ,: ; : 是一个很小的正数(一般取 :一10 一6 ) . 定理I 2 设线性规划(De ) 的最优解为 。 气s * 一, s * + , , 则 0 )若 .*= l , 则oMu ,为弱o E A 有效(e ZR )的 : (2)若 一 二l且s* 一。 , 、*十一。 , 则nMu 为DEA有效(e , R )的 . 2 MAT LAB程序 由上一节 知 , 要 计算一个DMU *的相对效率值并讨论其(弱)有效性 , 须解一个线性规划 ; 若要计算所有DMU , 第2期 彭育威等:MAT LAB在数据 包络分析中的应用141 ( l 。 i . n ) 的相对效率值 , 则须解 n 个线性规划 , 其计算量比较大 , 一般须利用计算机进行计算 . 我们利用数学软 件M八TLAB编写 了解模型( P)和( D. ) 的程序 , 比较方便地解决了D EA的计算量大和计算复杂的问题 . M八TLAB是由Ma t hw or ks公 司用C语言编写的著名的工程数学应用软件 . 它自198 4年推向市场以来 , 历经十 几年的发展和竟争 , 现己成为国际认可的最优化的科技应用软件 . 目前 , M户TL AB已经成为世界上诸多科技领 域的基本应用软件 . 在国内 、 外的很多高等院校和科研机构 , MATLAB已经十分普及 . 熟练地运用N以JLA B已 成为高校师生及科研人员的基本技能1 4 . MATLA B强大的矩阵运算能力和方便 、 直观的编程功能是我们选择它作为编写D E A应用程序的原因 . 诚然 , LI NDO或L INGO是解线性规划问题的专业软件 , 但它们缺乏方便的编程功能和矩阵输入功能 , 在解一系列线性 规划时 , 它们不如MA T LAB方便 . 此外 , 它们的普及程度远不如M八丁LA B . 因此 , 我们认为M户 T LA B是编写DEA 应用程序的最佳软件之一 MAT LAB所解的线性规划的标准形式是极小化问题 : 黔认 A e q 一 ” e q ,“ “ 珊 (l) 其中 , w是变量 , f是目标函数的系数向量 , A是不等式约束的系数矩阵 , Ae q 是等式约束的系数矩阵 , LB和u B 分别是变量的下界和上界 . MA TLA B解线性规划(l)的语句为 : w = LI NPRO以f ,A , b , A s q , beq , LB , UB) 如果要解极大化问题ma x 户w , 只须解极小化问题mi n(. f ) *w . 下面 , 我们给出模型( P ) 和(D公的M八T LAB程序 . 程序I (模型( P )的MAILAB程序) elea r X=【 : %用户输入多指标输入矩阵X Y=【 1; %用户输入多指标输出矩阵Y n=siz e 以 , l);m =siz e 以 , l); s=size(丫l); A=卜X , Y ; b=z er o s(n , l); LB=z er o s(m+s , l);U B=; f o r i=1: n; f =【z er o s(l ,m ) 一Y ( : , i) ,; Aeq二区( : , i) , z er o s(l , s)1; b e q=l; w( :,i)= LI N p RO侧f ,A , b ,A eq ,b eq ,LB,U B); %解线性规划 , 得DMUi的最佳权向量w i E(i , i卜Y(: , i) ,* w( m + l:m+ s ,i); %求出DM U i的相对效率值E* e nd w %输出最佳权向量 E %输出相对效率值E i i 。m e g a = W( l : m , : ) %输出投入权向量 。 m u 翎( m + l: m怡, : ) %输出产出权向量 。 程序n(模型( De )的M户丁LA B程序) elea r X = 【】 ; %用户输入 多指标输入矩阵X Y= ; %用户输入多指标输出矩阵Y n=siz e 伏 , l);m= siz e 以 , l); s=siz e ( 丫l); 142 西南民族学院学报 自然科学版第28卷 epsilon= 10八 一 10; %定义非阿基米德无穷小。=10 一 0 卜z er o s(l ,n )七p silo n*on es(l , m +s)l; A= z e r os(l尹十m 她+l);b =0; LB二z er o s(n+m+s+ l , l);U B=口; LB( n+In 她+l)= -In f ; f o r 1 =1: n ; A eq : 区e y e( m ) zero s( m ,s ) X ( : , i) Y Zer os(s,m ) 一卿e ( s) z er o s(s, l); beq=Iz er o s( m , l) Y(: , i); w(: , i)二LI N pROG(f ,A ,b, A s q ,be q , LB ,U B); %解线性规划 , 得DMU 、 的最佳权向量w , end w %输出最佳权向量 la mb da, (l :n , :) %输出 。 * s- min u s= w ( n+ l:n+ In , :) %输出s* - s夕lu s= w ( n 切 + l:n恤+ s , :) %输出s犷 t h eta翎( n+m 始+l , :) %输出 。 * 以上两个程序+分便于使用 . 用户只须输入多指标输入矩阵拼口输出矩阵Y , 即可得到所需的结果 . 3 程序的应用 设有某大学的同类型的五个系DMU (1。 1 . 5 ) 在一学年内的投入和产 出的数据如下 : DMU - 教职工(人) 教职工 工资(万 元) 60 156 DMUZ 70 D NI J3 85 DMIJ;DMU S 1063 5 263 10 5 运转经 费(万元) 5018010086 30 毕业的本科生(人、 8060909 630 00汽 , , .几 发表的论文(篇) 完成的科研项目(项) 产出 425 其中 , 运转经费指一学年内维持该系正常运转的各种费用 , 如行政办公费 、 图书资料费 、 差旅费等等 . 由程序I , 得到各系的相对效率值 : E ll= 1 . 0000 马 2二 0 . 8 9 82 马 3“ l . 0000E响,0 . 8206E ss= 1 000 0 以及各项投入和产 出的权 向量 : DMIJIDMUZ 00143 0 . 0 000 0 . 000 () 0 . 0000 0 . 0 5 54 0 . 0 07 1 0 . 0 00 ( ) DMIJ3 0 .00 0 1 0 00 6 3 0 00 0 1 0 . 00 07 0 .02 0 3 0 . 0079 0 .0 819 DMU ; 0( X )00 0 . 0 0 14 0 . ( X ) 73 0 . 0 0 00 0 . 0 4 42 0 . ( X ) 00 0 . 0 138 DMU S 0 . 00 19 0加15 0刀257 0乃0 12 0 . 1177 0 . 00 11 0乃186 厂 . 又l 、 由定义 , DMU , , DMU 3和D MU S 至少是弱有效的; DMU Z和D M U 4 是非弱有效的 . 为了确认DMU , , DMU 3 和DMU S的有效性并分析D MU Z和D MU 4非有效的原因 , 须利用模型( D刁 . 由程序n , 得本问题的解 : 第2期彭育威等:MATLAB在数据包络分析中的应用143 二 s一 . + DMU - 1洲)00 0 ( 洲)0 0 0 , X)00 0 . 刃00 0 . 00 00 0 . 刃 00 0 . 0000 0 , 00 00 0 . X】 00 0 . 刀00 0 . 0000 0 . 峨X】00 1 . 以)00 DMU Z 0 . 84 72 0 . 00 00 0 . 1417 0 . 0000 0 . 00 00 0 . 00 00 252345 10 5 . 150 8 2 0 .5 278 0 . 0000 0 , 0000 2 . 0972 D卜nJ3 0 . 0000 0 . 0 洲 0 1 . 0000 0 0000 0 0 00 0 0 .0 00 0 0 .0 00 0 0 . 0 00 0 0 .0 00 0 0 .0 000 0 . 0000 0 .0 000 DMU4 1 . 0 9 6 4 0 一 的00 0 . 0 536 0 . 0 0 00 0 . 3 4 6 4 4 . 5 215 0 . 0 ( ) 0 0 0 . 0000 6 . 9 272 0 . 刀00 3 . 闷 礴54 0 . 犯00 r | |七r . 裙 . L 广 . 裙 .七 0 .8 9821 . 0 0000 . 8 206 DMU S 0 . 0( X )0 0 . 0( X )0 0 . 0( X )0 0 . 0( X )0 1 . 00 00 0 . 0( X )0 0 . 0田0 0 . 0 0 00 0 . 0( X )0 0 . 0的0 0 . 0( X )0 0 . 0的0 1 . 0( X )0 由以上解可看出 : DMU 、, DMU 3和D MU S的解中。= l 且松弛变量s , 一 。 , :, 十= 0 , 故 由定理知 , 这几个系是相 对有效的 . DMU Z和DM U 4 的非有效性也可 以在以上解中看得一清二楚 . 以DMU Z为例, 根据有效性的经济意义I z 1 , 在不减少各项输出的前提下 , 构造一个新的DMU Z: DMU Z= 0 . 847 2*DMU 一 均 . 14 17*DMU 3 = 162 . 5750 , 154 4053 , 56 5278 , 80 . 5278 , 13 , 00 00 , 250000 , 40972T 、一一洲 一一一一一 一一 一夕 投入 产 出 可使DMU Z 的投入按比例减少到原投入的0 . 8982 ( = 。:申)倍 , 并且(由非零的松弛变量可知)还可以进一步减少教职 工 工资2 5 . 234 5 万元 、 减少运转费用10 5 . 1508万元 、 多培养本科生加人 、 多完成2项科研项目 . 对DMU ; 的非有效 性可作类似的经济解释 . 4 结束语 本文利用数学软件M八TLAB编写了便于使用的DEA的计算程序 , 使DE A计算量大和计算复杂的问题得到较 好的解决 . 本文只对D E A 的C ZR 模型进行了讨论 . 对于D EA的另一个重要模型一CZGs Z 模型 , 只须在模型( D公 中增加约束条件艺凡 , 程序n作相应的修改即可 . 本文的MA T LA B 程序为D EA的理论研究和实际应用提供 了方便 、 快捷的杯 算 工具 . 参考文献 : 日 魏权龄 . 评价相对有效性的D EA方法 M . 北京:中国人民大学出版社 , 1 98 8 . 2 1