浅析欧拉角与四元数.ppt

Machine Perception and Interaction Group (MPIG) ,zxh,欧拉角和四元数,郑雪鹤,MPIG Seminar 0048,Machine Perception and Interaction Group (MPIG) ,zxh,郑雪鹤,MPIG Seminar 0048,欧拉角的基本概念,1.描述定点转动刚体的位形需要三个独立坐标变量。 2.描述定轴转动刚体的位形只需要一个独立坐标变量，即转角。 3.将定点转动的过程分解为三个相互独立的定轴转动，相应的三个相互独立的转角，即欧拉角。,欧拉角的基本概念,(1) Roll 滚转角,欧拉角的基本概念,(2) Pitch 俯仰角,欧拉角的基本概念,(3) Yaw 偏航角 ,三个欧拉角的独立性,Roll Pitch Yaw,欧拉角表示旋转矩阵,绕Z轴旋转,欧拉角表示旋转矩阵,绕Y轴旋转,欧拉角表示旋转矩阵,绕X轴旋转,欧拉角表示旋转矩阵,旋转顺序下的旋转矩阵,欧拉角表示旋转矩阵,旋转顺序下的旋转矩阵,总结,确定欧拉角 在任意时刻的大小，也就确定了刚体在任意时刻的位形,总结,确定欧拉角 在任意时刻的大小，也就确定了刚体在任意时刻的位形,奇异点,不唯一,总结,确定欧拉角 在任意时刻的大小，也就确定了刚体在任意时刻的位形,总结,确定欧拉角 在任意时刻的大小，也就确定了刚体在任意时刻的位形,奇异点,万向 节锁,不唯一,总结,确定欧拉角 在任意时刻的大小，也就确定了刚体在任意时刻的位形,总结,理论上，欧拉旋转可以靠这种顺序让一个物体指到任何一个想要的方向 但如果在旋转中不幸让某些坐标轴重合了就会发生万向节锁 这时就会丢失一个方向上的旋转能力 也就是说在这种状态下我们无论怎么旋转（当然还是要原先的顺序）都不可能得到某些想要的旋转效果 除非我们打破原先的旋转顺序或者同时旋转3个坐标轴 由于万向节锁的存在，欧拉旋转无法实现球面平滑插值。,四元数,四元数,quaternion,四元数,其中i，j，k为四元数的三个虚部，这三个虚部满足关系式：,四元数的基本性质,1. 加法和减法,2.乘法,四元数的基本性质,乘法,四元数的基本性质,乘法,由于最后一项外积的存在，该乘法通常是不可交换的，除非共线,四元数的基本性质,3. 共轭,4. 模长,5.两个四元数乘积的模即为模的乘积， 这保证单位四元数 相乘后仍是单位四元数。,四元数的基本性质,6. 逆,（1） 四元数和自己的逆的乘积为实四元数1：,（2） 单位四元数的逆等于共轭,四元数表示旋转,逆时针方向旋转,四元数表示旋转,假设某个旋转是绕单位向量：,则描述该转动的四元数可以表示成:,反之，我们亦可通过任意一个长度为1的四元数，计算对应旋转轴与夹角,右手法则旋转,四元数表示旋转,用一个虚四元数来描述一个三维空间点：,用另一个四元数表示旋转：,旋转后的点 可以表示为：,欧拉角转四元数,设三次旋转对应的四元数分别为：,则：,绕x轴单位向量(1, 0, 0)旋转角度,绕z轴单位向量(1, 0, 0)旋转角度,绕y轴单位向量(1, 0, 0)旋转角度,欧拉角转四元数,设三次旋转对应