信号与系统第三章答案.pdf

3.7 一连续周期信号( )f t，周期 T=8，已知其非零傅里叶复系数是： 11 2FF-=， 33 4FFj * - =，试将( )f t展开成三角型傅里叶级数，求 n A并画出单边幅度谱和相 位谱。 解：根据复指数形式的傅里叶级数与三角型傅里叶级数的关系 n j nn FF e j = 1 2 nn FA= 可得： 31 0 2 1133 13 24j 24 j jjj FF eeFF ee FF p jj = = 2 = 4 = = Q 1313 480 2 AA p jj= = = = 单边幅度谱（即 n A对应的函数波形） 0 nw n A单边幅度频谱 0 nw n j单边相位谱 2 p 3.8 已知连续周期信号 25 ( )2cos()4sin() 33 f ttt pp =+， 将其表示成复指数信号形 式，求 0 () n Fjnw，并画出双边幅度谱和相位谱。 解：由三角关系式sin( )cos() 2 p aa=-可将原式化为： 25 ( )2cos()4cos() 332 f ttt ppp =+- 式中每一项的频率都应该是基频的整数倍，因此基频是 2 3 p 、 5 3 p 的最大公约数。 求得基频为 0 3 p w=。 根据幅度谱和相位谱的定义可得： 025 5 214 0 2 AAA p jj 2 = = = = = - 根据单边谱和双边谱的关系， n 1 2 nn FFA - =， 双边相位谱是单边相位谱关于原 点奇对称，可得： 22 5 0 2 2222 2222 5 5555 2 55 1 0 22 11 22 2 222 0 jj j j FA A FF FF eFFe A FF FF eejF jj p j jj pp jj - - - - - - = 2 = = = = = = = = - = = = 2= -2 52 55 2 j j Feej p j- - = = 2= 因此，( )f t写成复指数形式： 0 0000 5225 52025 525 3333 ( ) 11 222 22 jnt n n jtjtjtjt jtjtjtjt f tF e F eF eFF eF e jeeeje w wwww pppp =- - - - = =+ =+- 0 5w 1 2 0 5w- 1 2 0 2w- 0 2w 0 0 n 双边相位频谱 0 5w 0 5w- n j 2 p - 2 p 注：也可利用欧拉公式将三角形式表达式直接转换成复指数形式。 3.24 求下列信号的傅里叶变换 2(1) (2)(1)(4)(2)(6)(1)(8)( )(3) 2 jtt t UetetU tU tdd - - - - - 解： 0 0 2 2 (2)(1) 2 1 ( )( ) 1 (1)( )()() 11 (1)2(2 )()() 22 1 ()( ) 2(2 )2 j tj j j t U U t j U tef tteF j j t Uef atF j jaa a a e ww w w pd w w pd ww w w pdw w dwd w pdwp - - - - + -+ -+ = = Q 时移性： 时频展缩： 根据冲激函数的性质： 0 22 (2 )( ) 11 2(2 )( ) 2 jj ee jj w ww dwpd w pdwpd w ww = - = += + 0 2 2 2222(1) 2(1) 0 (4)(2) (2)(2) ( )1 (2) (2) (2) ()() jt jtj j jjjj jtj j t et etet t te eteee ete f tteF j w ww w w d dd d d d d w - - - -+ -+ - - =- - - = - Q 解法一： 时移性 线性 综上： 解法二： 根据傅里叶变换的性质 时移： 0 0 2 2(1) ( )( () ( )1 (2) (2) jt j jtj f t eF j t te ete w w w ww d d d - -+ - - m频移： 可得： 0 2(1) 0 2(1) 2(1) (6)(1) ()() (1)(1) ( )1 (1) (1) t j t t j tj et f tteF j ett t te ete w w w d w dd d d d - - - - - -=- - - Q 根据傅里叶变换的性质 可得： 冲激函数的相乘特性 3 3 3 2 3 3 (8)( )(3) 3 ( )(3)() 2 3 ( )3() 2 33 ()3() 22 1 ( )( ) 1 (3)( ) j j U tU t U tU tg t g tSa g tSae U t j U te j w w w w p d w w p d w w - - - - =- - + - + Q 解法一： 时移性 解法二： 根据傅里叶变换的线性性质可得： 时移性 333 3 3 11 ( )( ) 11 ( )(3)( )( ) 1 ) jjj j j eee jj U tU te jj e j www w w p d wp d w ww p d wp d w ww w - - - = + = + - +- - =(1- 冲激函数相乘特性 线性 333 222 3 2 3 2 1 ) 13 2 sin() 2 33 sin() 3/22 jjj j j eee j ej j e www w w w w w w w - - - =(- = = 欧拉公式 3 2 3 3() 2 j Sae w w - = 3.27 已知( )()f tF jw，利用傅里叶变换的性质，求下列信号的傅里叶变换。 (1)(35)(2) (1)(3)(3 )(4)(32 ) (5)(1) (1)(6)(22) ( ) jt ftfttfte ft t fttf t - - - - - 解： 0 0 5 5 3 (1)(35) ()() 1 ()() (5)() 1 (35)() 33 j t j j ft f tteF j f atF j aa f teF j fteF j w w w w w w w - - - - - 根据傅里叶变换的性质 可得： 0 0 (2) (1) ()() ()() (1) (1) j t j j ft f tteF j ftFj fte fte w w w w w - - - + - 根据傅里叶变换的性质 可得： (3)(3 ) 1 ()() ()( )() 1 (3 )() 33 1 (3 )() 33 (3 )() 33 n n n tft f atF j aa d -jtf tF j d ftF j d jtftF j d j d tftF j d w w w w w w w w - 根据傅里叶变换的性质 可得： 0 0 0 0 3 3 2 3 2 3( 1) 2 (4)(32 ) ()() 1 ()() ()() ( )( () (3)() 1 (32 )() 22 1 (32 )() 22 1(1) (32 )() 22 jt j t jt j j j j jt e ft f tteF j f atF j aa ftFj f t eF j f teF j fteF j fteFj e fteFj w w w w w w w w w ww w w w w - - - - + + - - - m 根据傅里叶变换的性质 可得： 0 0 (5)(1) (1) ()() 1 ()() ()( )() ( )() ( )() j t b j a n n n t ft f tteF j f atbeF j aa d -jtf tF j d d jtf tF j d d tf tjF j d w w w w w w w w w w - + - 解法一： 根据傅里叶变换的性质 可得： (1) (1)() (1) (1)() () (1) (1)(1)(1) (1)() () (1)() j j j jj d tf tjeF j d d t ftjeFj d t ftfttft ftFje dFj jtfteFjje d w w w ww w w w w w w w w - - - + - - -=- - - - 解法二： 时频展缩特性 时域微分 () (1)() () (1)(1)()() () () () jj jjj j dFj tftjeFje d dFj fttftFjejeFje d dFj je d dFj je d ww www w w w w w ww w w w w w - - - - -+- - - - - - = - 特性 线性 = jw- (6)(22) ( ) ( )() 2 ( )2() (22) ( )2 ( )2 ( )2()2 () tf t d tf tjF j d d tf tjF j d d tf ttf tf tjF jF j d w w w w ww w - -=- 由题（5）可得： 根据傅里叶变换的线性性质： 3.36 已知 LTI 系统