同济大学高等数学第七版1.2-数列的极限.ppt

,第一章,一、数列极限的定义,第二节,数列的极限,二 、收敛数列的性质,如果按照某一法则，对每个,，对应着一个,确定的实数,，这些实数,按照下标n从小到大排列,得到的一个序列,就叫做数列，简记为数列 .,数列中的每一个数叫做数列的项，第n项 叫做数列的一般项或通项。,1、数列,定义,一 、数列极限的定义,例如,注意： (1).数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取,(2).数列是整标函数,(1) 有界性,数列xn有上界,即存在M, 使xnM (n=1,2,).,数列xn有下界,即存在m,使xn m(n=1,2,).,2.数列的性质,有界,有界,有界,无界,有界,判断下列数列,单调增加,单调减少,单调数列,(2) 单调性,单调增加,单调减少,判断下列数列的单调性,单调增加,无单调性,无单调性,L,L,数列(2)从原点的两侧无限地接近于0,3.数列极限的定义,当n无限增大时, 如果数列xn的一般项xn无限接近 于一个确定的常数a, 则常数a称为数列xn的极限, 或称数列xn收敛于a, 记为,或,如果数列没有极限，就说数列是发散的,例如,趋势不定,收 敛,发 散,问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.,通过观察:当n无限增大时,无限接近于1.,引例,观察数列,时的变化趋势.,100,1,给定,100,1,1,n,由,100,1,1,-,n,x,有,数列极限的精确定义,当n无限增大时, xn无限接近于a . 当n无限增大时, |xn-a|无限接近于0 . 当n无限增大时, |xn-a|可以任意小, 要多小就能有多小. 当n增大到一定程度以后, |xn-a|能小于事先给定的任意 小的正数.,或,只要n无限增大，xn 就会与1无限靠近。,引入符号N和来刻化无限增大和无限接近。,注：,就会暂时确定下来,一旦给定,以此来确定相应的N.,记作,此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 .,或,则称该数列,的极限为 a ,定义:设 为一数列,如果存在常数a,对于任意给,定的正数 (不论它多小)总存在正整数N,使得当nN,时,不等式,都成立，,数列极限的精确定义,都落在a点的邻域,因而在这个邻域之外至多能有数列中的有限个点,注意：,数列极限的定义未给出求极限的方法.,数列极限的几何意义,使得 N 项以后的所有项,注：,越小,表示,与a接近得越好.,OK! N找到了！,nN,目的：,NO, 有些点在条形域外面！,数列极限的演示,N,数列极限的演示,e 越来越小，N越来越大！,例1. 已知,证明数列,的极限为1.,证:,欲使,即,只要,因此 , 取,则当,时, 就有,故,N 与 有关, 但不唯一.,不一定取最小的 N .,注：,例2. 已知,证明,证:,欲使,只要,即,取,则当,时, 就有,故,故也可取,也可由,N 与 有关, 但不唯一.,不一定取最小的 N .,说明:,取,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 设,证明等比数列,证:,欲使,只要,即,亦即,因此 , 取, 则当 n N 时,就有,故,的极限为 0 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习1 用定义证明,证明 对于任意给定的 要使,只要,取自然数,则当 时，有 , 所以,注：,就会暂时确定下来,一旦给定,以此来确定相应的N.,二、收敛数列的性质,证: 用反证法.,及,且,取,因,故存在 N1 ,从而,同理, 因,故存在 N2 ,使当 n N2 时, 有,1. 收敛数列的极限唯一.,使当 n N1 时,假设,从而,矛盾.,因此收敛数列的极限必唯一.,则当 n N 时,故假设不真 !,满足的不等式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 收敛数列一定有界.,证: 设,取,则,当,时,从而有,取,则有,由此证明收敛数列必有界.,有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,收敛的数列必有界. 有界的数列不一定收敛. 无界的数列必发散 . 发散的数列不一定无界.,3. 收敛数列的保号性.,若,且,时, 有,证:,对 a 0 ,取,推论:,若数列从某项起,(用反证法证明),机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 数列极限的 “ N ” 定义及应用,2. 收敛数列的性质:,唯一性 ; 有界性 ; 保号性;,任一子数列收敛于同一极限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,刘徽(约225 295年),我国古代魏末晋初的杰出数学家.,他撰写的重,差对九章算术中的方法和公式作了全面的评,注,指出并纠正了其中的错误 ,在数学方法和数学,理论上作出了杰出的贡献 .,