反比例函数的图象为什么是双曲线.doc

反比例函数的图象为什么是双曲线浙江龙泉一中 李好孺 前段日子，我化了一个月的时间，读完了刘鸿坤编著的解析几何基础一书，颇多感慨，其中之一就是反比例函数的图象为什么是双曲线。这一个问题，是我从教三十年以来，第一次生出这样的疑问，并通过阅读全书得到析疑。以往，在初中反比例函数的教学当中，总是提“反比例函数y=（k0）的图象叫做双曲线，”注意这里的“叫做”二字，至于“为什么是双曲线，”直到今日才得以知晓。内心的深处实在是先惭愧于读书既少又迟，后惭愧于笔头既懒又疏。 1回顾 先回顾初中数学的反比例函数的教学过程：（1）反比例函数的定义 函数y=（k是不等于零的常数）叫做反比例函数。k叫做反比例系数，这里x是自变量。例如函数t=，h=，y=，y=，它们都是反比例函数，比例系数分别为200，50，-，。（2）反比例函数的图象以函数y=为例，画出它的图象，总结出它的画法。选取自变量x的一些值，算出y的对应值，列表如下：x-6-5-4-3-2-1123456y-1-1.2-1.5-2-3-66321.51.21y=图1xOy 以表中各组对应值为点的坐标，先描出在第一象限内 的点，并按照自变量由小到大的顺序用光滑曲线把它们连结起来，得到图象的一个分支； 用与相同的方法，在 第三象限画出图象的另一个分支。这两个分支合起来，就是反比例函数y=图象（图1）。 从上述画法中，我们可以看到，画反比例函数的图象，要经过列表、描点、连线三个步骤，这种描图象的方法叫做描点法。显然，用描点法所画的图象一般是近似的。若要使画出的图象越精确，需要画出图象上的点也就越多。 反比例函数y=（k0）的图象叫做双曲线。（3）反比例函数的性质反比例函数y=有下列性质： 当k0时，函数图象的两个分支分别位于第一、三象限内，在每一个象限内，y随x的增大而减少；当k0时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限内，在每一个象限内，y随x的增大而增大。 两个分支都无限接近但永远不能达到x轴和y轴。 再来回顾高中解析几何有关双曲线的教学过程：（1）双曲线的定义 平面内与两个定点F、F的距离的差的绝对值是常数（小于| FF|）的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距。（2）双曲线的标准方程 -=1，这个方程叫做双曲线的标准方程，它所表示的双曲线的焦点在x轴上，焦点是F（-c，0）、F（c，0），这里c=a+b。（3）双曲线的几何性质标准方程-=1图形xOy顶点坐标（a，0）（-a，0）对称轴x轴，实轴长2ay轴，虚轴长2b焦点坐标（c，0），（-c，0），这里c=a+b离心率e=，e1准线x=渐近线y=x（4）等轴双曲线 在方程-=1中，如果a=b，那么双曲线方程为x-y=a，它的实轴和虚轴的长都等于2a。这时，四条直线x=a，y=a围成正方形，渐近线方程成为x=y，它们互相垂直，并且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角。这种实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。 2析疑 经过了以上两个回顾，我们如果把反比例函数的图象称为彼双曲线，而把解析几何当中的双曲线称为此双曲线，那么彼双曲线与此双曲线是否如出一辙？（1）坐标轴的旋转图2NMyOP 如果原点不动，两条坐标轴按同一个方向绕原点转动同一个角度，这种坐标变换称为坐标轴的旋转。 如图2，Ox，Oy是原坐标轴， Ox，Oy是坐标轴按逆时针旋转 角后的新坐标轴，设P是平面内 任意一点，它在旧坐标系xOy中的坐标是（x，y），在新坐标系xOyx中的坐标是（x，y），现在我们来研究同一个点P在新旧两个坐标系 里的坐标的关系。 作PMOx，PNOx，并设Ox与OP的夹角为，那么， x=ON=|OP|cos， y=NP=|OP|sin，所以x=OM=|OP|cos（+）=|OP|（coscos-sinsin）=xcos-ysin； y=MP=|OP|sin（+）=|OP|（sincos+cossin） =xsin+ycos。于是，我们得到了点P在不同坐标系下，它的坐标（x，y）和（x，y）之间有如下的关系： 我们把它叫做转轴公式。这个公式是用点的新坐标（x，y）来表示它的旧坐标（x，y）。（2）研究xy=k的图形（不妨设k0） 设坐标轴旋转角，把坐标旋转公式 代入方程xy=k，得 （xcos-ysin）（xsin+ycos）=k，即 cossin-sincos+（cos-sin）=k。要使新方程中无项，只要cos-sin=0，即cos2=0，=。因此，当坐标轴旋转时，所得新方程无项，此时以cos=sin=代入原方程，得 -=2k。Oxy图3 这是一条等轴双曲线，旧坐标轴 是它的渐近线（图3）。 方程xy=k（k0）的图形是以坐 标轴为渐进线的等轴双曲线，这个方 程又可以写成y=的形式，它所表示的x，y间的关系就是反比例关系。因 此，方程xy=k（k0）或者函数y=（k0）都可以统一说成双曲线xy=k（k0）。 3，双曲线xy=k（k0）的性质 我们根据方程-=2k（k0），结合转轴公式 或 不难得到双曲线xy=k（k0）的性质。（1）代数性质定义域是x0；值域是y0；函数在区间（-，0）和（0，）内是减函数；是奇函数；它的反函数是本身。（2）几何性质图象是等轴双曲线；图象的对称中心是坐标原点O，对称轴方程是xy=0；顶点是A（-，-）和A（，）；实半轴长和虚半轴长是，半焦距是2；实轴所在直线为x-y=0，虚轴所在直线为x+y=0；焦点是F（-，-）和F（，）；渐进线是x轴和y轴，其方程为y=0和x=0；准线方程是x+y-=0和x+y+=0；准线与对称轴的交点是E（-，-）和E（，）；离心率e=。 4引深一例例：讨论y=的图象，其中adbc。思路：先用平移消去一次项，然后用旋转消去xy项。解：先进行平移。设新原点的坐标是（m，n），那么平移公式为 代入原方程，化简得c+（cn-a）+（cm+d）+cmn-am